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算法题-图论

news 来源：原创 2025/7/15 9:30:12

图的表示

207.课程表
127.单词接龙

图的遍历

DFS
递归。。。
200.岛屿数量
239.矩阵中的最长递增路径
BFS
102.二叉树的层序遍历
看到最短，首先想到的是BFS
542.01矩阵
207.课程表
127.单词接龙

拓扑排序

对于一个有向无环图G进行拓扑排序，是将G中所有节点排成一个线性序列，该序列满足以下两个条件：① 每个节点有且仅出现一次 ② 若存在一条从节点A到节点B的路径，则在序列中A一定出现在B前面。

求一个有向无环图的拓扑排序步骤：
1.在图中找到一个没有前驱(入度为0)的节点，然后输出
2.从图中删除该节点和所有以它为起点的有向边（使边到达的节点 v 的入度-1）
3.重复操作1和操作2，直到图为空或当前图不存在无前驱的顶点为止（图存在环）

210.课程表||

图的应用

最小生成树

最小生成树 (MST) 是连接了图中所有节点且没有环，而且这些边的权值和最小

1584.连接所有点的最小费用
1631.最小体力消耗路径

普利姆Prim算法
将顶点分为两类，一类是树顶点（加入树里的顶点），一类是非树顶点（不在树里面的）。首先任选一个顶点加入树里，然后遍历每个树顶点到非树顶点的距离，选最短距离的那个非树顶点加入，然后重复这个过程，直到每个顶点都在树里。
克鲁斯卡尔Kruskal算法
首先按照边的权值进行从小到大开始排序，每次从剩余的边中选择权值较小的且边的两个顶点不在同一个集合（连在一起的顶点属于一个集合）内的边，加入到生成树，直到n-1条边为止。

并查集

并查集（Union-Find），又称不相交集合（Disjoint Set Union, DSU），是一种用于处理不相交集合的合并与查询问题的数据结构。它支持两种主要操作：

查找（Find）：确定一个元素属于哪个集合。
合并（Union）：将两个不同的集合合并成一个集合。

最短路径

迪杰斯特拉Dijkstra算法
单源最短路径，计算一个节点到其他所有节点的最短路径：

将所有的顶点分为两部分，也就是已知最短路程的顶点集合P和未知最短路径的顶点集合Q。最开始，已知最短路径的顶点集合P中只有源点一个顶点。我们这里用一个vis[ i ]数组来记录哪些点在集合P中，源点对应的是1，表示存在。用dis[i]数组记录源点到自己的最短距离，初始化为一个很大值，源点对应的是0。
在集合Q的所有顶点中选择一个离源点最近的顶点u（即dis[u]最小）加入到集合P。并考察所有以点u为起点的边，对每一条边进行松弛操作。例如存在一条从u到v的边，且v不在集合P中，那么可以通过将边u->v添加到尾部来拓展一条从s到v的路径，这条路径的长度是dis[u]+e[u][v]。如果这个值比目前已知的dis[v]的值要小，我们可以用新值来替代当前dis[v]中的值。
重复2过程，直到所有顶点添加到P中

743.网络延迟时间

弗洛伊德Floyd算法
多源最短路径
贝尔曼福特Bellman-Ford算法

用于求解单源、有负权边的最短路问题
“求出从起点到终点不超过m条边构成的最短路径”
其优于Dijkstra的方面是边的权值可以为负数、实现简单，缺点是时间复杂度过高。时间复杂度是O(nm)

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3.1 与迪杰斯特拉算法的区别：

迪杰斯特拉算法是借助贪心思想，每次选取一个未处理的最近的结点，去对与他相连接的边进行松弛操作；贝尔曼福特算法是直接对所有边进行N-1遍松弛操作
迪杰斯特拉算法要求边的权值不能是负数；贝尔曼福特算法边的权值可以为负数，并可检测负权回路

3.2 算法步骤
- 初始化：将起点到所有其他顶点的距离初始化为无穷大（INF），起点到自身的距离初始化为 0。
- 松弛操作：对图中的每一条边进行 V-1 次松弛操作（V 是图中顶点的数量）。松弛操作的定义是：对于边 (u, v)，如果 distance[u] + weight(u, v) < distance[v]，则更新 distance[v] = distance[u] + weight(u, v)。
- 检测负权环：再进行一次松弛操作，如果还能找到更短的路径，则说明图中存在负权环。

3.3 为什么对每一条边进行v-1次松弛操作，每个可到达的节点都可以得到最短路径？
在一个无负权环的图中，每次松弛操作相当于“尝试”通过当前边 (u, v) 缩短 v 的最短路径，最坏情况下，最多经过 v-1 次松弛，所有节点的最短路径一定会被找到。

3.4 为什么可以检测负权图？
如果图中没有负权环，经过 V-1 次松弛后，所有最短路径都已经确定，不会再被更新。
如果还能继续松弛，说明存在一个环，使得路径可以无限缩短（因为负权环的总权重为负，绕环越多，路径越短）。

3.5 怎么求出不超过m条边的最短路径
每次松弛操作相当于“尝试”通过当前边 (u, v) 缩短 v 的最短路径，假设a->b->c->d，三条边由最后往前依次给出，那么遍历三次，所有的顶点的最短路径才找到，要“求出从起点到终点不超过m条边构成的最短路径”，最多经过m次对所有边的松弛操作就可以找到到终点不超过m条边构成的最短路径，再多一次可能变成超过m条的最短路径了。

3.6 优化SPFA算法
Bellman-Ford 的朴素实现是 O(VE)，但实际中很多边不会被松弛。SPFA（Shortest Path Faster Algorithm）是 Bellman-Ford 的优化版本，使用队列来只松弛那些可能被更新的顶点，平均时间复杂度可以接近 O(E)，但在最坏情况下仍然是 O(VE)。