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[预备知识]4. 概率基础

news 来源：原创 2025/7/17 1:32:09

人工智能

概率基础

本章节介绍深度学习中的概率基础知识，包括基本概念、概率分布和统计推断。

1. 概率基础

1.1 基本概念

随机变量：可以取不同值的变量，其值由随机试验的结果决定
概率分布：描述随机变量取值的可能性分布
条件概率：在给定某事件发生的条件下，另一事件发生的概率

概率基础

本章节介绍深度学习中的概率基础知识，包括基本概念、概率分布和统计推断。

1. 概率基础

1.1 基本概念

概率公理

概率论的基础由以下三条公理构成，这些公理为所有概率计算提供了数学基础：

非负性：
$\geq 0$
任何事件的概率都是非负的。例如，抛硬币出现正面的概率不可能是负数。
规范性：
$P(\Omega) = 1$
所有可能事件的概率总和为1。例如，抛硬币（正面或反面）的概率总和必然为1。
可列可加性：
$P\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) = \sum_{i=1}^\infty P(A_i) \quad \text{（当事件 } A_i \text{ 互斥时）}$
互斥事件（即不同时发生的事件）的并集概率等于各事件概率之和。例如，抛一次骰子出现1点或2点的概率是 $1/6 + 1/6 = 1/3$ 。

# 示例：计算骰子概率
dice_outcomes = [1, 2, 3, 4, 5, 6]
prob_even = 3 / 6  # 偶数事件（2,4,6）的概率
print(f"骰子出现偶数的概率: {prob_even}")  # 输出 0.5（符合规范性）

1.2 联合概率与条件概率

联合概率

联合概率 $P (X = x, Y = y)$ 表示两个事件同时发生的概率。例如，同时抛硬币和骰子，硬币为正面且骰子为3的概率。

条件概率

条件概率 $P (Y = y ∣ X = x)$ 表示在已知事件 $X = x$ 发生的条件下，事件 $Y = y$ 发生的概率。其计算公式为：
$\frac{P(X=x, Y=y)}{P(X=x)}$

示例：在天气预测中，已知今天下雨的条件下，明天下雨的概率。

# 联合概率表（X: 天气，Y: 是否带伞）
#          带伞(Y=0)  不带伞(Y=1)
# 晴天(X=0)   0.1        0.5
# 雨天(X=1)   0.3        0.1
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
import torch
joint_probs = torch.tensor([[0.1, 0.5], [0.3, 0.1]])# 计算边缘概率 P(X=雨天)
p_rain = joint_probs[1, :].sum()  # 0.3 + 0.1 = 0.4# 计算条件概率 P(带伞 | 雨天)
p_umbrella_given_rain = joint_probs[1, 0] / p_rain  # 0.3 / 0.4 = 0.75
print(f"雨天带伞的条件概率: {p_umbrella_given_rain:.2f}")
plt.figure(figsize=(8,6))
sns.heatmap(joint_probs.numpy(), annot=True, fmt=".2f",cmap="YlGnBu",xticklabels=['Y=0', 'Y=1'],yticklabels=['X=0', 'X=1'])
plt.title("联合概率分布热力图 P(X,Y)", fontsize=14)
plt.xlabel("Y变量", fontsize=12)
plt.ylabel("X变量", fontsize=12)
plt.show()

2. 概率分布

2.1 离散分布

2.1.1 伯努利分布

定义：描述单次二元试验（成功/失败）的概率分布。
概率质量函数（PMF）：
$\begin{cases} p & \text{if } k=1 \quad (\text{成功}) \\ 1-p & \text{if } k=0 \quad (\text{失败}) \end{cases}$

参数：

$p$ ：成功的概率（如抛硬币正面的概率）

p = 0.6  # 成功概率为60%
bern_dist = torch.distributions.Bernoulli(probs=p)
samples = bern_dist.sample((1000,))  # 生成1000次试验样本print(f"理论成功概率: {p}")
print(f"实际样本成功比例: {samples.float().mean():.2f}")  # 约0.6

2.1.2 二项分布

定义：描述 $n$ 次独立伯努利试验中成功次数的分布。
PMF：
$P(X=k) = C(n, k) p^k (1-p)^{n-k}$
其中 $\frac{n!}{k!(n-k)!}$ 是组合数。

参数：

$n$ ：试验次数
$p$ ：单次成功的概率

应用场景：

抛10次硬币出现正面的次数
100件产品中的次品数量

n, p = 10, 0.3
binom_dist = torch.distributions.Binomial(n, probs=p)
k = 4  # 成功4次的概率
prob_k = binom_dist.log_prob(k).exp()  # 计算P(X=4)print(f"在{n}次试验中成功{k}次的概率: {prob_k:.3f}")  # 约0.200

2.2 连续分布

2.2.1 正态分布（高斯分布）

定义：自然界中大量现象服从的分布（如身高、测量误差）。
概率密度函数（PDF）：
$\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

参数：

$\mu$ ：均值（分布中心）
$\sigma$ ：标准差（分布宽度）

特性：

68% 的数据落在 $[\mu-\sigma, \mu+\sigma]$
95% 的数据落在 $[\mu-2\sigma, \mu+2\sigma]$

mu, sigma = 0.0, 1.0
normal_dist = torch.distributions.Normal(mu, sigma)# 计算区间概率
x1, x2 = -1, 1
prob = normal_dist.cdf(torch.tensor(x2)) - normal_dist.cdf(torch.tensor(x1))
print(f"数据在[{x1}, {x2}]的概率: {prob:.3f}")  # 输出约0.682

2.2.2 均匀分布

定义：在区间 $[a, b]$ 内所有值出现的概率相等。
PDF：
$\begin{cases} \frac{1}{b-a} & a \leq x \leq b \\ 0 & \text{其他} \end{cases}$

应用场景：

随机数生成
无先验知识时的默认分布

a, b = 2.0, 5.0
uniform_dist = torch.distributions.Uniform(a, b)# 计算概率密度在区间内的值
x = 3.5
pdf_value = torch.exp(uniform_dist.log_prob(x))
print(f"x=3.5处的概率密度: {pdf_value:.3f}")  # 1/(5-2) ≈ 0.333s

3. 统计推断

3.1 最大似然估计（MLE）

核心思想：选择使观测数据出现概率最大的参数。
数学形式：
$\hat{\theta}_{\text{MLE}} = \arg\max_\theta \prod_{i=1}^n P(x_i | \theta)$

示例：估计正态分布的均值和方差
假设数据 ${x_1, ..., x_n\}$ 服从 $N(\mu, \sigma^2)$ ，MLE估计为：
$\hat{\mu} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i, \quad \hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \hat{\mu})^2$

# 生成正态分布样本
true_mu, true_sigma = 5.0, 2.0
data = torch.normal(true_mu, true_sigma, size=(1000,))# MLE估计参数
mu_hat = data.mean()
sigma_hat = torch.sqrt(torch.mean((data - mu_hat)**2))  # 注意这是有偏估计print(f"真实参数: μ={true_mu}, σ={true_sigma}")
print(f"MLE估计: μ̂={mu_hat:.3f}, σ̂={sigma_hat:.3f}")  # 结果接近真实值

3.2 假设检验（t检验）

目的：判断两组数据的均值是否有显著差异。
t统计量公式：
$\frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}}$
其中 $\bar{x}_i$ 为样本均值， $s_i^2$ 为样本方差， $n_i$ 为样本量。

结果解读：

p值：若 p < 0.05，拒绝原假设（认为均值不同）
t值：绝对值越大，差异越显著

# 生成两组数据（假设是模型A和模型B的准确率）
model_A = torch.normal(0.85, 0.1, (100,))  # 均值85%，标准差10%
model_B = torch.normal(0.88, 0.1, (100,))  # 均值88%# 独立双样本t检验
from scipy.stats import ttest_ind
t_stat, p_value = ttest_ind(model_A.numpy(), model_B.numpy())print(f"t统计量: {t_stat:.3f}")
print(f"p值: {p_value:.3f}")
if p_value < 0.05:print("结论: 模型B的准确率显著高于模型A")
else:print("结论: 无显著差异")

4. 深度学习中的概率应用

4.1 交叉熵损失

数学定义：衡量预测分布 $q$ 与真实分布 $p$ 的差异：
$-\sum_{i=1}^C p_i \log q_i$

在分类任务中的应用：

真实分布 $p$ 是 one-hot 编码（如标签 [0, 1, 0]）
预测分布 $q$ 是 softmax 输出（如 [0.2, 0.7, 0.1]）

# 三分类任务示例
logits = torch.tensor([[1.2, 3.0, 0.5], [0.5, 2.0, 1.5]])  # 模型原始输出
targets = torch.tensor([1, 2])  # 真实类别索引# 计算交叉熵损失
loss = F.cross_entropy(logits, targets)
print(f"交叉熵损失: {loss:.3f}")  # 输出约0.551# 手动验证
probs = F.softmax(logits, dim=1)  # 转换为概率
true_probs = torch.zeros_like(probs).scatter(1, targets.unsqueeze(1), 1.0)
manual_loss = - (true_probs * torch.log(probs)).sum(dim=1).mean()
print(f"手动计算损失: {manual_loss:.3f}")  # 应与上述结果一致

4.2 变分自编码器（VAE）

核心思想：通过概率模型学习数据的潜在表示。
变分下界（ELBO）：
$\mathcal{L} = \mathbb{E}_{q(z|x)}[\log p(x|z)] - \text{KL}(q(z|x) \| p(z))$

第一项：重构损失，要求解码后的数据与输入相似
第二项：KL散度，约束潜在变量分布接近先验分布（通常为标准正态）

class VAE(nn.Module):def __init__(self, input_dim=784, latent_dim=20):super().__init__()# 编码器：输入 -> 潜在分布的参数 (μ, logσ²)self.encoder = nn.Linear(input_dim, latent_dim*2)# 解码器：潜在变量 -> 重构数据self.decoder = nn.Sequential(nn.Linear(latent_dim, 512),nn.ReLU(),nn.Linear(512, input_dim),nn.Sigmoid())def reparameterize(self, mu, logvar):std = torch.exp(0.5*logvar)  # 标准差eps = torch.randn_like(std)   # 随机噪声return mu + eps * std        # 重参数化技巧def forward(self, x):# 编码h = self.encoder(x)mu, logvar = h.chunk(2, dim=1)# 采样潜在变量z = self.reparameterize(mu, logvar)# 解码重构x_recon = self.decoder(z)return x_recon, mu, logvar# 损失函数计算
def vae_loss(recon_x, x, mu, logvar):BCE = F.binary_cross_entropy(recon_x, x, reduction='sum')  # 重构损失KLD = -0.5 * torch.sum(1 + logvar - mu.pow(2) - logvar.exp())  # KL散度return BCE + KLD

import numpy as np
import torch
import matplotlib.pyplot as plt# 模拟抛硬币实验
num_flips = 1000
flips = np.random.choice(['正面', '反面'], size=num_flips)# 计算概率
prob_head = np.mean(flips == '正面')
print(f"正面概率: {prob_head:.3f}")

本章介绍了概率分布和统计推断的基本概念，以及在深度学习中的应用。通过这些内容，我们可以更好地理解和利用概率模型，为深度学习模型的训练和评估提供基础。

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LoRA：低秩适应性微调技术详解文章目录 LoRA：低秩适应性微调技术详解1. 引言2. LoRA原理解析2.1 核心思想2.2 数学表达 3. LoRA实现细节3.1 适用层选择3.2 缩放因子3.3 初始化策略 4. 代码实现示例5. LoRA在实际应用中的优势5.1 内存效率5.2 训练速度5.3…...

编程日记 2025/7/16 19:48:47

研发效率破局之道阅读总结(3)工程优化

研发效率破局之道阅读总结(3)工程优化 Author: Once Day Date: 2025年4月22日一位热衷于Linux学习和开发的菜鸟，试图谱写一场冒险之旅，也许终点只是一场白日梦… 漫漫长路，有人对你微笑过嘛… 全系列文章可参考专栏: 程序的艺术_Once-Day…...

编程日记 2025/7/14 22:55:55

树莓派超全系列教程文档--(40)树莓派config.txt旧版GPIO控制、超频及条件过滤器

树莓派config.txt旧版GPIO控制、超频及条件过滤器传统GPIO控制enable_jtag_gpio 传统超频选项超频never_over_voltagedisable_auto_turbo 遗留条件过滤器The [HDMI:*] 过滤器文章来源： http://raspberry.dns8844.cn/documentation 原文网址传统GPIO控制 &…...

编程日记 2025/7/16 23:57:48

网络基础概念（下）

网络基础概念（上）https://blog.csdn.net/Small_entreprene/article/details/147261091?sharetypeblogdetail&sharerId147261091&sharereferPC&sharesourceSmall_entreprene&sharefrommp_from_link 网络传输的基本流程局域网网络传输流…...

编程日记 2025/7/16 1:41:15

DES、3DES、SM4 加密算法简介

1. DES（Data Encryption Standard） 设计时间：1975 年（IBM 开发，1977 年被 NIST 采纳为美国联邦标准）。密钥长度：64 位（实际有效 56 位 8 位校验）。分组长度&#xf…...

编程日记 2025/7/9 18:23:31

如何在 Ansys Icepak AEDT 中设置多个流程以加快仿真速度？

您将学习如何进行正确的设置，以通过增加进程数量来加快仿真速度。 Ansys Icepak AEDT 需要与 Icepak Classic 不同的设置。要设置要在 Ansys Icepak AEDT 中使用的进程数，您需要按照以下步骤作： 首先，转到“工具 - >选项 - …...

编程日记 2025/7/12 1:51:22

【MCP Node.js SDK 全栈进阶指南】初级篇（2）：MCP基础服务器开发

引言在上一篇文章中，我们详细介绍了MCP开发环境的搭建。本文作为MCP TypeScript-SDK系列的第二篇，将深入探讨MCP基础服务器开发的核心内容，包括服务器创建与生命周期管理、McpServer与Server的区别与选择、各种配置选项的详解，以及基本启动与调试技巧。通过本文学习，你将…...

编程日记 2025/7/11 1:16:47

客户端 AI 与服务器端 AI 的深度比较及实践建议？

1. 性能与延迟客户端AI（In-Browser AI）： // 使用TensorFlow.js在浏览器中进行图像分类 const model await tf.loadLayersModel(local-model/model.json);// 实时摄像头处理 const video document.getElementById(webcam); const…...

编程日记 2025/7/8 1:43:41

【（保姆级教程）Ubuntu24.10下部署Dify】

目录一、下载Ubuntu二、安装Ubuntu三、在 Ubuntu 上安装 Docker Engine1、设置Docker的apt仓库2、安装 Docker 包四、在 Ubuntu 上安装 Docker Desktop1、先决条件2、下载最新 DEB 包3、安装软件包4、启动 Docker Desktop5、检查版本五、克隆 Dify 代码仓库六、启动 Dify1、…...

编程日记 2025/7/16 7:31:36

概率基础

1. 概率基础

1.1 基本概念

概率基础

1. 概率基础

1.1 基本概念

概率公理

1.2 联合概率与条件概率

联合概率

条件概率

2. 概率分布

2.1 离散分布

2.1.1 伯努利分布

2.1.2 二项分布

2.2 连续分布

2.2.1 正态分布（高斯分布）

2.2.2 均匀分布

3. 统计推断

3.1 最大似然估计（MLE）

3.2 假设检验（t检验）

4. 深度学习中的概率应用

4.1 交叉熵损失

4.2 变分自编码器（VAE）

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