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算法训练之贪心

news 来源：原创 2025/9/1 18:05:59

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在前面的博客中，我们已经学习了部分算法思路，可以解决一些问题了，这一篇博客我们来展开一个新的算法思想——贪心，准备好了吗~我们发车去探索奥秘啦~🚗🚗🚗🚗🚗🚗

前置知识

什么是贪心算法?

举例

找零钱问题

最小路径和问题

贪心算法的特点

柠檬水找零

将数组和减半的最小操作数

priority_queue

核心特性

常用操作

前置知识

在真正开始贪心算法题目练习之前，我们首先要了解什么是贪心算法？贪心算法有什么特点？

什么是贪心算法?

我们可以用一句话来概括：贪婪+鼠目寸光

贪心策略: 解决问题的策略，由局部最优——>全局最优

具体步骤：

1.把解决问题的过程分为若干步;
2.解决每一步的时候，都选择当前看起来"最优的"解法;（鼠目寸光）
3."希望"得到全局最优解。（不一定就是最优解）

光光看这些步骤会有一点抽象，我们来结合具体例子来看~

举例

找零钱问题

将要解决的问题分为几步，从最大的面值开始计算，找当前花的最少张数，显然答案是正确的，后续我们会进行证明~

最小路径和问题

在前面动态规划我们提到过这个问题，这一次我们试一下使用贪心算法可不可以解决~

从左上角开始，我们每一步都按当前位置的最优选择（局部最优解）进行，但是不难发现结果是错误的~所以我们是"希望"得到全局最优解，但是结果不一定近人意，我们就需要更改我们的贪心策略~

贪心算法的特点

结合前面的例子，我们可以发现贪心算法有下面的特点：

一、贪心策略的提出
1.贪心策略的提出是没有标准以及模板的

2.可能每一道题的贪心策略都是不同的

二、贪心策略的正确性
"贪心策略"可能是一个错误的方法；正确的贪心策略，我们是需要"证明的"。

常用的证明的方法:数学中见过的所有证明方法

接下来，我们就来证明找零钱问题贪心策略的正确性：

我们首先假设最优解得到的面值为20、10、5、1的张数分别为A、B、C、D，我们首先来看看它们的特点/性质：

相同的分析可以得到B、C、D满足B<=1,C<=1,D<=4

我们继续来看，假设贪心算法得到的面值为20、10、5、1的张数分别为a、b、c、d~

既然最优解是最少的张数的话，那么我们显然a>=A的，那么我们来分析一下a>A的情况，a大于A说明还有20需要其他面值凑出来，但是B、C、D满足B<=1,C<=1,D<=4，所以最多就是19，不能凑出来20，那么就说明a==A，同理可以得到b==B，c==C，d==D，所以最优解的答案和贪心得到的答案是一样的，那么也就说明是正确的~

因此，正确的贪心策略，我们是需要"证明的"，证明结果正确才代表贪心策略正确，证明贪心策略不正确，只需要举一个反例，那么这个时候就需要我们对贪心策略进行调整了~

有了前面的这些小知识点，接下来，我们就来在题目中进行实际应用贪心算法~

柠檬水找零

这个题目告诉了我们一杯柠檬水5美元，顾客可能给5美元/10美元/20美元，最开始我们手上没有任何的美元，这也就说明我们只能利用顾客给我们的钱进行找零~并且顾客是排队购买的，必须成功找了零钱才能继续收下一个顾客的钱~

我们来进行分类讨论：

1、如果顾客给的钱是5美元——直接收下

2、如果顾客给的钱是10美元——需要找5美元

3、如果顾客给的钱是20美元——需要找15美元（这里的十五美元就有两种选择了）

①10 + 5 ②5 + 5 + 5

我们主要来分析一下第三种情况，我们优先选择第一种还是第二种呢？

答案是第一种，我们不难发现5美元是有很大用处的，10美元可以找，20美元也可以找，结合我们的生活经验，我们应该尽可能的保留5美元~这里就体现了我们贪心思想，优先选择当前情况下的最优解，最终得到全局的最优解~

有了前面的分析，这道题目的代码实现就比较简单了~

代码实现：

//柠檬水找零
class Solution
{
public:bool lemonadeChange(vector<int>& bills){int n = bills.size();int five = 0, ten = 0;//统计可以找的钱for (auto x : bills){if (x == 5)//是5元直接收下{five++;}else if (x == 10)//10元需要找5元{//判断是否有五元if (five){five--;ten++;}elsereturn false;}else//20元需要找15元{//贪心思想//优先10+5if (five && ten){five--;ten--;}//其次5+5+5else if (five >= 3){five -= 3;}//找不了就return falseelsereturn false;}}return true;}
};

顺利通过~

将数组和减半的最小操作数

题目要求是比较简单的，我们这里就直接来说一下我们的贪心策略：

贪心策略：

每一次找到数组中最大的数(我们可以使用大根堆）进行减半操作，再把减半的数重新放入数组中，重复操作，找到整个数组和减少一半为止~

贪心策略知道了，代码实现也就更加简单了~

代码实现：


class Solution
{
public:int halveArray(vector<int>& nums){//使用大根堆——每次找到最大值减少一半int n = nums.size();//减半之后可能是小数，使用double存储priority_queue<double> heap;//插入数据+统计数组和double sum = 0;for (auto e : nums){heap.push(e);sum += e;}sum /= 2.0;//和先除2int count = 0;//计数while (sum > 0)//当减半和>0,进入循环{//找到堆顶元素减少一半重新插入double tmp = heap.top() / 2;heap.pop();sum -= tmp;heap.push(tmp);count++;}return count;}
};

顺利通过~接下来对我们的贪心策略进行简单的证明~

交换论证法证明：

        贪心解选择的数据：A 、B 、C 、D 、E.....x....

        最优解选择的数据：a 、 b 、c 、 d、 e......y...

贪心解每一次都是选择最大的数进行减半操作，那么说明贪心解选择的数据 >= 最优解选择的数据,数据相同的情况，我们就不需要处理了，如果说贪心解选择的数据（x）>最优解选择的数据（y）——分情况讨论

1、如果这个数据没有使用过，因为x > y,那么把最优解里面的数据y替换成x，肯定是可以达到数组和减少一半的操作的

2、如果这个数据使用过了，我们也可以把最优解里面的数据y替换成x，只不过更改一下顺序就可以了

        最终进行不断地替换完成之后，我们不难发现贪心解和最优解选择的数据个数是相等的，也就是我们想要的结果~

        证明结束~

此外，这一篇文章提到的priority_queue也在这里进行简单介绍

priority_queue

priority_queue（优先队列）是一个基于堆（Heap）结构的容器适配器，用于高效管理元素的优先级。以下是关键点介绍：

核心特性

默认最大堆：默认使用大顶堆（最大元素在队首），可通过比较函数改为小顶堆。

默认大顶堆：priority_queue<int> pqmax;
小顶堆：priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> pqmin;

高效操作：插入（push）和删除（pop）的时间复杂度为 O(log n)，访问队首元素（top）为 O(1)
不支持遍历：内部通过堆实现，直接遍历无法得到有序序列。

常用操作

插入元素：pq.push(value);
删除队首：pq.pop();
访问队首：int top = pq.top();
判空：pq.empty()
大小：pq.size()

如果想了解更加具体的可以访问cplusplus——priority_queue

♥♥♥本篇博客内容结束，期待与各位优秀程序员交流，有什么问题请私信♥♥♥

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前置知识

什么是贪心算法?

举例

找零钱问题

最小路径和问题

贪心算法的特点

柠檬水找零

将数组和减半的最小操作数

priority_queue

核心特性

常用操作

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