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前缀和篇——繁星斗斗数字交织中，觅得效率明月辉光（1）

news 来源：原创 2025/5/16 3:17:18

在这里插入图片描述

前言

在这片无边无际的数字海洋中，如何从中提取出有价值的讯息，成为了计算机科学中的一项重要课题。前缀和算法，作为一种巧妙的技术，恰如其名——通过计算序列中各个元素的前缀和，能够为我们提供一种高效的查询方式，避免了重复计算的复杂度。在这篇博客中，我们将一起探索前缀和算法的奥秘，揭开它在数据处理中的应用与优势。

一. 算法简介与原理分析

1.1 原理讲解

前缀和算法的核心思想是：***对于一个数组，预先计算出数组从第一个元素到当前元素的累积和。这种累积和的结果，能够帮助我们快速计算出数组任意区间内的和。** 举个简单的例子，假设有一个数组 A，其元素为： 
A = [a1, a2, a3, ..., an]

那么，前缀和数组 S 就是一个满足如下关系的数组：

S[i] = A[1] + A[2] + ... + A[i]，(1 <= i <= n)

通过这个预处理步骤，我们能够将任何区间 [l, r] 内的和，通过以下公式迅速计算得到：

sum(l, r) = S[r] - S[l-1]

这一公式的妙处在于，无论查询的区间多么广泛，计算时间始终是常数级别的 O(1)，只需要在预处理阶段做 O(n) 的计算。

1.2 应用方面

前缀和算法在多个领域都得到了广泛的应用，尤其是在处理数组、字符串等数据结构时，展现出了巨大的优势。以下是几种典型的应用场景：

  • 区间求和问题：
    这是前缀和算法最常见的应用。在给定一个数组时，我们常常需要求解数组中某一范围内所有元素的和。通过前缀和算法，可以将时间复杂度从 O(n) 降低到 O(1)。

  • 数组的频率统计：
    如果我们对数组中的某些元素出现的频率感兴趣，前缀和算法也可以轻松处理。例如，统计一个数组中，某个数值在前缀中的出现次数。

  • 二维数组的区域查询：
    扩展到二维数组时，前缀和算法同样表现出了强大的能力。通过二维前缀和数组，可以在常数时间内查询任意矩形区域的和。

  • 字符串匹配与模式识别：
    在字符串处理中，前缀和可以用来快速计算子串的哈希值，从而加速字符串匹配算法。

1.3 优劣势分析

优势：

  • 时间效率高：
    前缀和算法的预处理时间是 O(n)，而查询区间和的时间复杂度是 O(1)，在需要大量查询时，能显著提升效率。

  • 空间效率适中：
    前缀和算法的空间复杂度为 O(n)，对于大多数情况来说，这个空间开销是可以接受的。

劣势：

  • 只能处理静态问题：
    前缀和算法的局限性在于它仅适用于静态数组。对于动态数组（例如频繁更新的数组），前缀和需要进行复杂的重新计算，效率会大打折扣。

  • 不适用于非线性数据结构：
    前缀和算法主要针对一维和二维数组等线性数据结构，对于树、图等非线性数据结构的处理，前缀和的优势不明显。

1.4 改进拓展

前缀和算法的改进与扩展 在一些特殊场景下，前缀和算法也有不少改进和扩展的方案。例如：

  • 差分数组： 在处理区间更新问题时，可以结合差分数组与前缀和算法，在 O(1) 时间内进行区间更新。

  • 二维前缀和： 对于二维数组，前缀和算法的扩展可以帮助我们高效地查询任意矩形区域的和，常见于图像处理等领域。

  • 树状数组与线段树： 在需要支持动态更新的情况下，树状数组和线段树是前缀和算法的常见替代品，能够在动态环境中提供类似的查询和更新效率。

下面我们结合具体题目进行理解运用。

二. 【模板】前缀和

2.1 题目链接：

https://www.nowcoder.com/practice/acead2f4c28c401889915da98ecdc6bf?tpId=230&tqId=2021480&ru=/exam/oj&qru=/ta/dynamic-programming/question-ranking&sourceUrl=%2Fexam%2Foj%3Fpage%3D1%26tab%3D%25E7%25AE%2597%25E6%25B3%2595%25E7%25AF%2587%26topicId%3D196

2.2 题目分析：

该题是典型的IO型题目（输入输出），下面我们来分析具体输入输出要求：

  1. 第一行内输入两个正整数，n表示数组长度，q表示要输出的行数
  2. 第二行内需要输入n个整数，即数组内的各个元素
  3. 接下来需要输入q行，每一行输入两个数，分别表示计算和的起点和终点。
    注意：此时的起点终点指的是第i个数，而非元素的下标！！！
  4. 输出q行，每一行为该区间内元素的和

示例如图：
在这里插入图片描述

2.3 算法讲解：

暴力解法（会超时）：
该题的思路不难，可以采取每次逐个遍历该区间累加的方式进行输出，但是如此操作，会造成极大的时间和空间冗余。

前缀和：
. 先预处理出来⼀个「前缀和」数组：

  • ⽤ dp[i] 表⽰： [1, i] 区间内所有元素的和，那么 dp[i - 1] ⾥⾯存的就是 [1, i - 1] 区间内所有元素的和，那么：可得递推公式： dp[i] = dp[i - 1] + arr[i] ；
  • 使⽤前缀和数组，「快速」求出「某⼀个区间内」所有元素的和：当询问的区间是 [l, r] 时：区间内所有元素的和为： dp[r] - dp[l - 1] 。

2.4 代码实现

#include <iostream>using namespace std;
const int N=100010;
long long nums[N], sums[N];
int main() {int n,p;cin>>n>>p;//输入for(int i=1;i<=n;i++){cin>>nums[i];}//输入各个元素for(int i=1;i<=n;i++){sums[i]=sums[i-1]+nums[i];}//计算前缀和while(p--){int l,r;cin>>l>>r;cout<<sums[r]-sums[l-1]<<endl;}return 0;}
// 64 位输出请用 printf("%lld")

三. 【模板】二维前缀和

3.1 题目链接：

https://www.nowcoder.com/practice/99eb8040d116414ea3296467ce81cbbc?tpId=230&tqId=2023819&ru=/exam/oj&qru=/ta/dynamic-programming/question-ranking&sourceUrl=%2Fexam%2Foj%3Fpage%3D1%26tab%3D%25E7%25AE%2597%25E6%25B3%2595%25E7%25AF%2587%26topicId%3D196

3.2 题目分析：

本题为IO型，我们先来具体分析输入输出要求：

  1. 本题存在一个nxm的矩阵，且下标从1开始
  2. 第一行输入三个整数n,m,q,其中n和m表示矩阵规格，q则表示需要做q行输出
  3. 之后输入q行下标，分别为x1,y1,x2,y2，求取以 (x1, y1) 为左上角 , (x2,y2) 为右下角的子矩阵的和
    注意：此处下标的顺序切勿混淆！！！
  4. 输出q行上述和

3.3 思路讲解：

以此图为例，以 (x1, y1) 为左上角 , (x2,y2) 为右下角的子矩阵的和即为D所表示的区域。
在这里插入图片描述
类⽐于⼀维数组的形式，如果我们能处理出来从 [0, 0] 位置到 [i, j] 位置这⽚区域内所有
元素的累加和，就可以在 O(1) 的时间内，搞定矩阵内任意区域内所有元素的累加和。因此我们
接下来仅需完成两步即可：

  • 第⼀步：构建前缀和矩阵
    这⾥就要⽤到⼀维数组⾥⾯的拓展知识，我们要在矩阵的最上⾯和最左边添加上⼀⾏和⼀列
    0，这样我们就可以省去⾮常多的边界条件的处理（可以⾃⾏尝试直接搞出来前缀和矩
    阵，边界条件的处理会令人崩溃）。处理后的矩阵就像这样：
    在这里插入图片描述
    这样，我们填写前缀和矩阵数组的时候，下标直接从 1 开始，能⼤胆使⽤ i - 1 , j - 1 位
    置的值。
    注意 dp 表与原数组 matrix 内的元素的映射关系：
    i. 从 dp 表到 matrix 矩阵，横纵坐标减⼀；
    ii. 从 matrix 矩阵到 dp 表，横纵坐标加⼀。

前缀和矩阵中 sum[i][j] 的含义，以及如何递推⼆维前缀和⽅程：
a. sum[i][j] 的含义：

sum[i][j] 表⽰，从 [0, 0] 位置到 [i, j] 位置这段区域内，所有元素的累加和，即下图红黄绿蓝四个区域相加之和。

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下面我们逐个分析这四个区域：

  • 黄色：即矩阵martix[i-1][j-1]，注意映射关系
  • 红色：可直接求出，即sum[i-1][j-1]
  • 蓝色：不好直接求出，但是红+蓝=sum[i-1][j]，蓝色只需令和再减去红色即可
  • 绿色：原理同上，红+绿=sum[i][j-1]
综上,sum[i][j]=红+绿+红+蓝+黄-红=sum[i][j-1]+sum[i-1][j]+martix[i-1][j-1]-sum[i-1][j-1].
  • 第⼆步：使⽤前缀和矩阵
    题⽬的接⼝中提供的参数是原始矩阵的下标，为了避免下标映射错误，这⾥直接先把下标映射成
    dp 表⾥⾯对应的下标： row1++, col1++, row2++, col2++

接下来分析如何使⽤这个前缀和矩阵，如下图（注意这⾥的 row 和 col 都处理过了，对应的正
是 sum 矩阵中的下标）：
在这里插入图片描述
对于左上⻆ (row1, col1) 、右下⻆ (row2, col2) 围成的区域，正好是红⾊的部分。因
此我们要求的就是红⾊部分的⾯积，继续分析⼏个区域：
i. ⻩⾊，能直接求出来，就是 sum[row1 - 1, col1 - 1] （为什么减⼀？因为要剔除
掉 row 这⼀⾏和 col 这⼀列）
ii. 绿⾊，直接求不好求，但是和⻩⾊拼起来，正好是 sum 表内 sum[row1 - 1][col2]
的数据；
iii. 同理，蓝⾊不好求，但是 蓝 + ⻩ = sum[row2][col1 - 1] ；
iv. 再看看整个⾯积，好求嘛？⾮常好求，正好是 sum[row2][col2] ；
v. 那么，红⾊就 = 整个⾯积 - ⻩ - 绿 - 蓝，但是绿蓝不好求，我们可以这样减：整个⾯积 -（绿

  • ⻩ ）-（蓝 + ⻩），这样相当于多减去了⼀个⻩，再加上即可
    综上所述：红 = 整个⾯积 - （绿 + ⻩）- （蓝 + ⻩）+ ⻩，从⽽可得红⾊区域内的元素总和为：
sum[row2][col2]-sum[row2][col1 - 1]-sum[row1 - 1][col2]+sum[row1 - 1][col1 - 1]

3.4 代码实现：

#include <iostream>
using namespace std;
const int N=1010;
int arr[N][N];
long long dp[N][N];//数组与前缀和数组int main() {//输入数据int n,m,q;cin>>n>>m>>q;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){cin>>arr[i][j];}}//处理前缀和数组for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]+arr[i][j]-dp[i-1][j-1];}}//使用前缀和数组while(q--){int x1,y1,x2,y2;cin>>x1>>y1>>x2>>y2;cout<<dp[x2][y2] - dp[x1 - 1][y2] - dp[x2][y1 - 1] + dp[x1 - 1][y1 - 1]<<endl;}//输出数据return 0;
}
// 64 位输出请用 printf("%lld")

小结

本篇关于前缀和的介绍讲解较为基础，将于后续文章中结合进阶难度的题目循序渐进，希望能对大家的学习产生帮助，欢迎各位佬前来支持斧正！！！
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编程日记 2025/5/5 1:57:19

洛谷P1827 [USACO3.4] 美国血统 American Heritage（c嘎嘎）

题目链接&#xff1a;P1827 [USACO3.4] 美国血统 American Heritage - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 题目难度&#xff1a;普及 首先介绍下二叉树的遍历&#xff1a; 学过数据结构都知道二叉树有三种遍历&#xff1a; 1.前序遍历&#xff1a;根左右 2.中序遍历&#xff1a;左根…...

编程日记 2025/5/14 17:21:07

YOLOv8模型pytorch格式转为onnx格式

一、YOLOv8的Pytorch网络结构 model DetectionModel((model): Sequential((0): Conv((conv): Conv2d(3, 64, kernel_size(3, 3), stride(2, 2), padding(1, 1))(act): SiLU(inplaceTrue))(1): Conv((conv): Conv2d(64, 128, kernel_size(3, 3), stride(2, 2), padding(1, 1))(a…...

编程日记 2025/5/15 20:32:25

工业—使用Flink处理Kafka中的数据_ProduceRecord1

1 、 使用 Flink 消费 Kafka 中 ProduceRecord 主题的数据&#xff0c;统计在已经检验的产品中&#xff0c;各设备每 5 分钟 生产产品总数&#xff0c;将结果存入Redis 中&#xff0c; key 值为 “totalproduce” &#xff0c; value 值为 “ 设备 id &#xff0c;最近五分钟生…...

编程日记 2025/5/13 1:30:58

RNACOS：用Rust实现的Nacos服务

RNACOS是一个使用Rust语言开发的Nacos服务实现&#xff0c;它继承了Nacos的所有核心功能&#xff0c;并在此基础上进行了优化和改进。作为一个轻量级、快速、稳定且高性能的服务&#xff0c;RNACOS不仅包含了注册中心、配置中心和Web管理控制台的功能&#xff0c;还支持单机和集…...

编程日记 2025/5/14 10:32:50

响应式编程一、Reactor核心

目录 一、前置知识1、Lambda表达式2、函数式接口 Function3、StreamAPI4、Reactive-Stream1&#xff09;几个实际的问题2&#xff09;Reactive-Stream是什么&#xff1f;3&#xff09;核心接口4&#xff09;处理器 Processor5&#xff09;总结 二、Reactor核心1、Reactor1&…...

编程日记 2025/5/12 4:04:22

聚簇索引与非聚簇索引

目录 一、聚簇索引&#xff08;Clustered Index&#xff09; 二、非聚簇索引&#xff08;Non-Clustered Index&#xff09; 三、示例说明 一、聚簇索引&#xff08;Clustered Index&#xff09; 定义&#xff1a; 聚簇索引是一种将数据存储和索引合为一体的索引方式。 表中…...

编程日记 2025/5/16 2:50:07

鸿蒙 Next 可兼容运行 Android App，还支持出海 GMS？

最近 「出境易」和 「卓易通」 应该算是鸿蒙和 Android 开发圈“突如其来”的热门话题&#xff0c;而 「出境易」可能更高频一些&#xff0c;主要也是 Next 5.0 被大家发现刚上架了一个名为「出境易」的应用&#xff0c;通过这个 App 用户可以直接运行不兼容 Next 的 Android A…...

编程日记 2025/5/15 14:22:32

opencv常用图像处理操作

OpenCV 处理图像的通用流程通常包括以下几个步骤&#xff0c;根据具体需求可以调整或跳过某些步骤。以下是一个通用的框架&#xff1a; 读取图像 加载图像文件到内存中以进行后续处理。 import cv2 读取图像 image cv2.imread(‘image.jpg’) # 彩色图像 gray_image cv2…...

编程日记 2025/5/14 23:41:38

＜三＞51单片机PWM开发SG90和超声测距

目录 1,PWM开发SG90 1.1简介 1.2控制舵机 1.3编程实现 2,超声测距 2.1简介 2.2,超声波测距代码实现 1,PWM开发SG90 1.1简介 PWM&#xff0c;英文名Pulse Width Modulation&#xff0c;是脉冲宽度调制缩写&#xff0c;它是通过对一系列脉冲的宽度进 行调制&#xff0c;等…...

编程日记 2025/5/12 2:14:22

如何加强游戏安全，防止定制外挂影响游戏公平性

在现如今的游戏环境中&#xff0c;外挂始终是一个困扰玩家和开发者的问题。尤其是定制挂&#xff08;Customized Cheats&#xff09;&#xff0c;它不仅复杂且隐蔽&#xff0c;更能针对性地绕过传统的反作弊系统&#xff0c;对游戏安全带来极大威胁。定制挂通常是根据玩家的需求…...

编程日记 2025/5/14 2:31:54

《矿物学报》

1 简介 《矿物学报》由中国科学院地球化学研究所和中国矿物岩石地球化学学会联合主办&#xff0c;1981年创刊&#xff0c;目前是双月刊&#xff0c;国内外公开发行。主要报道矿物学及相关学科的高水平研究成果&#xff0c;矿物学研究的现状综述和动态分析&#xff0c;以及国内…...

编程日记 2025/5/13 14:31:01

如何将快捷指令添加到启动台

如何将快捷指令添加到启动台/Finder/访达&#xff08;Mac&#xff09; 1. 打开快捷指令创建快捷指令 示例创建了一个文件操作测试的快捷指令。 2. 右键选择添加到程序坞 鼠标放在待添加的快捷指令上。 3. 右键添加到访达 鼠标放在待添加的快捷指令上。 之后就可以在启…...

编程日记 2025/5/2 5:31:17

Python NumPy学习指南：从入门到精通

Python NumPy学习指南&#xff1a;从入门到精通 第一部分&#xff1a;NumPy简介与安装 1. 什么是NumPy&#xff1f; NumPy&#xff0c;即Numerical Python&#xff0c;是Python中最为常用的科学计算库之一。它提供了强大的多维数组对象ndarray&#xff0c;并支持大量的数学函…...

编程日记 2025/5/12 13:31:09

rabbitmq 安装延时队列插件rabbitmq_delayer_message_exchange（linux centOS 7）

1.插件版本 插件地址&#xff1a;Community Plugins | RabbitMQ rabbitmq插件需要对应的版本&#xff0c;根据插件地址找到插件 rabbitmq_delayer_message_exchange 点击Releases 因为我rabbitmq客户端显示的版本是&#xff1a; 所以我选择插件版本是&#xff1a; 下载 .ez文…...

编程日记 2025/5/14 4:37:57

【C++】new与malloc、三种传参、函数重载及内联函数

一、new-delete以及malloc-freequbie 1.new&#xff1a; &#xff08;1&#xff09;运算符&#xff0c;没有返回值概念&#xff0c;但开出来空间有类型&#xff0c;不需要设置大小 &#xff08;2&#xff09;可以在堆区动态开辟空间&#xff0c;并且可以默认执…...

编程日记 2025/5/13 5:03:31

C语言实例_23之计算阶乘和(5!+4!+…+1!)

1. 题目 计算阶乘和(5! 4! … 1!)&#xff0c;即先分别计算出从1到5每个数的阶乘&#xff0c;再将这些阶乘值进行累加求和。 2. 阶乘概念及分析 实现主要是迭代和递归&#xff1a; - 迭代实现思路&#xff1a; - 可以通过两层循环来实现&#xff0c;外层循环控制数字从5到…...

编程日记 2025/5/15 14:21:02