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【数据结构】排序算法（下篇·开端）·深剖数据难点

news 来源：原创 2025/8/22 13:20:12

前引：前面我们通过层层学习，也就了解了Hoare大佬的排序思想，今天我们学习的东西可能稍微有点难度，因此我们必须学会思想，我很受感慨，因此借此分享一下：【用1520分钟去调试】，如果我们遇到了任何问题，必须先学会自己能不能解决，调试是每次代码找错的一个途径。通过每次调试，看它的数据变化是否达到了目前应该的预期，然后我们找到了错误，应该如何改进！下面小编通过拆分思想，一步步带你深解这些算法思想的奥妙！

快排（双指针·递归）

算法思想：

实现步骤：

复杂度分析：

代码实现：

单趟实现：

递归实现：

代码优化：

优缺点分析：

快排（双指针·非递归）

算法思想：

实现步骤：

代码实现：

左区间：

右区间：

整体代码展示：

优缺点分析：

小编寄语

快排（双指针·递归）

大家在写部分题目的时候，是否有在评论区看见这样的评论：“双指针秒了”，小编当时见的很多，当时我不知道双指针是哈，但是现在领悟了！双指针是通过两个指针完成！这里的“指针”并非真正是指针，也可以是下标，因为arr【i】=*（p+i），它们都是指元素，下面我们看看哈是双指针！

算法思想：

双指针排序是利用两个指针协助操作来完成排序的任务，它们通常同向移动或者相向移动，典型的运用场景如下面两方面：

（1）快速排序：通过分区操作将数组分为小于/大于基准值的两部分进行递归（当前主讲）

（2）归并排序：合并两个有序子数组时，通过双指针比较元素大小

为了方便接下来思路拆分比较好理解，我先总结2个指针的原理（cur是前指针，prev是后指针）：

（1）cur找小，找到小之后，prev再找大，然后二者交换对应的元素，cur再向前移动

（2）prev找大，找到大之后，与cur所指的值进行交换

实现步骤：

在进行正式的学习之前，我们先来看一下它的动图，好好感悟一下，然后我们进行思路拆分讲解：

1：老套路，我们先来实现单趟。我们发现，在开始前，数据的初始化是如下图这样的：

2：然后重点来了！为了清晰对比，我对这两个指针功能进行了拆分，为什么找小、找大？

cur ：找小（对于基准值而言），因为我们需要与prev所指向的进行交换，小的交换到左边去

prev ：找大（对于基准值而言）因为我们需要将其与cur所指的内容进行交换，大的要到右边去

3：既然是前后指针法，cur是要先动，cur找到小之后，prev再动，直到找到较大的元素：【注意：prev不能跑到cur的前面去】

这里cur所指的元素刚好就是满足条件的，因此再移动prev就行了，如图：

此时prev与cur重合了，那么就进行交换，交换之后1还是在原来的地方，交换完之后cur再加加，进入新一轮的判断，这是第一轮结束的情况：

4：下面进行第二轮。这里还是跟刚才情况一样，cur刚好满足情况，二者重合了，所以第二轮结尾的状况就是：

5：第三轮：cur所指的元素是较大的，因此经过几轮循环加加，直到找到小于基准值所指的元素

现在找到了较小的元素3，然后prev加加，直到找到较大的元素，二者再进行交换：

6：然后按照cur再加加，直到找到较小的元素，prev再找到较大的元素，进行交换：

7：下一轮还是同理，先找小，再找大，再交换：

那么cur再出了数组界限，最后再将prev所指的与pivot位置进行交换，更新pivot，单趟就结束了

接下来这么将基准值为界限，分为左右2组进行递归就可以了！

复杂度分析：

最好时间复杂度、平均时间复杂度：

每次分区操作的时间复杂度为O（n）,递归树的深度为 log n，总操作次数为O（n logn）

最坏时间复杂度：

每次分区之后，一个子数组为空，另一个子数组包含剩余的所有元素，时间复杂度为O（n^2）

空间复杂度：

递归树的深度为log n

代码实现：

单趟实现：

按照上面的原理，我们先实现单趟：

cur找小，找到之后prev再找大【prev不能超过cur】，交换之后，cur++

prev找大，找到之后交换

while (cur <= right)
{//找小if (arr[cur] < arr[pivot]){prev++;//交换Exchange(&arr[prev], &arr[cur]);cur++;}if (arr[cur] > arr[pivot]){cur++;}
}
//此时right=size，交换left与pivot下标的元素
Exchange(&arr[pivot], &arr[prev]);
//更改pivot的位置
pivot = prev;

如果单趟有问题的小伙伴们可以去看看实现步骤，这里是重点讲解了单趟的实现的！

递归实现：

对于递归，我觉得很有必要强调一下思路，下面我们借助代码来分析：

int left = 0;
int right = size-1;

void QuickSort(int* arr, int left, int right)
{//递归结束条件if(left >= right){return;}//找基准值int pivot= Pointer(arr, left, right);//左区间QuickSort(arr, left, pivot - 1);//右区间QuickSort(arr, pivot + 1, right);
}

首先咱们的left初始位置是数组下标为0的位置，right是数组下标末尾的位置，不满足递归结束条件。我们第一次找基准值得到6，通过基准值来划分区间，也就是这里的单趟，如图划分区间：

这里以左区间为例，QuickSort函数拿到的区间是【arr，left，pivot-1】现在进入了单趟函数：

进入单趟函数Pointer之后，此时单趟函数的参数也就是【arr，left，pivot-1】，这里为什么要设置这么多的参数呢？如下面的代码

//设置基准值
int pivot = left;
//记录参数
int prev = left;
int cur = left + 1;

因为我们拿到的是区间，只有左右两个端点，首先cur prev是必须要设置的，因为是新变量。

既然传过来的只是形参，我为什么要设置一个一模一样的变量prev去代替left，这是为了方便统一，避免混淆，其实不换也是可以的，大家可以看演示效果（标红点的地方是把prev->left的）：

经过这个函数我们得到了新的基准值5，然后再次调用递归函数，得到新的区间是【left，pivot-1】

再就这样一直循环找基准值进行排序就可以了，递归结束的条件又是如何更改left 、right的？

这是第一次进入递归函数

这是第二次进行递归函数

我们很明显的看到right的值发生了变化，请看下面这幅图，你就明白了，右区间递归函数同理：

代码优化：

双指针：我们知道分组递归可以想象成【树】那样，一组变两组，两组变四组，这么循环下去，当最后一层时，它的分组是相当多的，双指针排序虽然平均时间复杂度达到O（n logn），但是它主要的开销还是在后面的分组，越往后分的越多。

插入排序：而插入排序虽然整体来说时间复杂度达到O（n^2），但是它对几乎有序的子数组来说效率很高，所以我们如果将二者结合，取一个界线，当剩余的元素到达某个阈值时，切换为插入排序，这是很常见的一种优化。

我们一般取10左右的数字为阈值。这里只需要看剩余数组元素个数即可，用分支判断：

我们总共的数组元素个数是right+1，那么剩余的元素个数不就是right+1-left吗！（如下图）

下面我来解释这个区间的开始位置应该如何表示：

首先我们的arr是数组名，如果我们直接传数组名过去是错误的，因为我们不能保证剩余的元素一定是从数组的起始位置开始的，如下图我们得到剩余元素的开始应该是arr+left

下面是优化代码

void QuickSort(int* arr, int left, int right)
{//递归结束条件if(left >= right){return;}if ((right - left + 1) > 10){//找基准值int pivot = Pointer(arr, left, right);//左区间QuickSort(arr, left, pivot - 1);//右区间QuickSort(arr, pivot + 1, right);}else//到达阈值时选用直接插入排序Insert(arr+left, right - left + 1);}

优缺点分析：

首先是时间复杂度，双指针排序的时间复杂度均为O（n logn），这是一个很大的优化，双指针可以在单次遍历中实现快速排序，减少了冗杂的操作，适用范围广，是比较推荐的一种快排方法，当然需要先理解哈。并且双指针还可以应用在两数之和、去重、合并区间等不同的其它问题，点赞！

快排（双指针·非递归）

首先我们已经学会了递归的形式去走快排，为什么还要去学习非递归？

我们平时写递归代码，数据还比较少，如果我们将递归放在几百万、上千万的数据里面呢？在上面我们只用了10个数据去走递归，每一层是上一层的两倍，呈现倍数的增长，那么它在实际应用中是不推荐的，数据如果太多太多，递归深度也就越深，容易发生栈溢出，因此递归方式我们能不用就不要用，在以后工作时，一般递归的代码会让我们改成非递归的，这也是在避免以后出现隐患

算法思想：

我们知道快排双指针的方式是通过基准值来实现对数组的分组，通过递归一步步调用函数来完成分组排序，那么它的本质是什么？

我们每次调用函数，改变的是它的参数，也就是改变它的区间，每个组一直通过基准值分下去：

我们把它的区间存起来，每次改变获取不一样的区间，再传参给排序函数就达到了非递归的效果！

我们可以通过栈和队列来存储分组的区间，每次调用栈和队列的元素来进行传参给排序函数

在这里我推荐栈来实现，原因：

首先用队列也是可以的，这样就是一层一层的去排序了（层序遍历），如果我们换栈去实现，就是先将左边的分组分完了，再去分组右边（前序遍历），且栈的应用比较广泛，因此我们在这里选择栈去存储分组区间

实现步骤：

栈的存储特点：先进后出，就像将数据一个个放进容器

按照上面的思路，我们先从左边的分组开始：

我们发现左区间的left是不变的，变的只有pivot-1，也就是基准值在不断变化，因此我们可以通过每计算一个基准值，就存入栈里面，再拿出来，然后再通过出栈的值去做左区间的参数

右边的区间是只改变left，即右边区间是将基准值pivot+1作为每次参数的改变，如图：

代码实现：

左区间：

按照原理，先找基准值，再来实现对基准值的入栈，再出栈作为参数：

//找基准值
int pivot = Pointer(arr, left, cur);
//左区间的基准值入栈
Enter(s, pivot);
//再出栈，cur作为右边不断变化的区间
cur = Out(s);
//出栈元素作为左区间参数
Pointer(arr, left, cur - 1);

需要注意：我们此时已经获得了基准值，就不需要递归函数了，注意切换函数。这样我们就完成了单趟，我们外面再套一个循环，就完成了左边分组的排序，循环的条件就是当区间剩余一个元素时就停下【因为一个元素表示它已经是正确位置了】即right-left+1==0 注意：左边排序我们需要记录right，因为我们的参数是不断变化的，需要用一个变量去代替right，效果展示如下：

//标记
int cur = right;
while ( ( cur - left + 1) > 1 )
{//找基准值int pivot = Pointer(arr, left, cur);//左区间的基准值入栈Enter(s, pivot);//再出栈，cur作为右边不断变化的区间cur = Out(s);//出栈元素作为左区间参数Pointer(arr, left, cur - 1);
}

此时数组左边的数据通过非递归的方式已经完成排序了，如下图展示：

右区间：

完成了左边，我们直接复制一下代码，稍微改动就行了【注意右边是改变left】，如下代码展示：

//标记
int prev = left;
while ((right - prev + 1) > 1)
{//找基准值int pivot = Pointer(arr, prev, right);//左区间的基准值入栈Enter(s, pivot);//再出栈prev = Out(s);//出栈元素作为左区间参数Pointer(arr, prev + 1, right);
}

整体代码展示：

void QuickSort(int* arr, Stack* s, int left, int right)
{//标记int cur = right;while ( ( cur - left + 1) > 1 ){//找基准值int pivot = Pointer(arr, left, cur);//左区间的基准值入栈Enter(s, pivot);//再出栈cur = Out(s);//出栈元素作为左区间参数Pointer(arr, left, cur - 1);}//标记int prev = left;while ((right - prev + 1) > 1){//找基准值int pivot = Pointer(arr, prev, right);//左区间的基准值入栈Enter(s, pivot);//再出栈prev = Out(s);//出栈元素作为左区间参数Pointer(arr, prev + 1, right);}
}

int Pointer(int* arr, int left, int right)
{//设置基准值int pivot = left;//记录参数int prev = left;int cur = left + 1;while (cur <= right){//找小if (arr[cur] < arr[pivot]){prev++;//交换Exchange(&arr[prev], &arr[cur]);cur++;}if (arr[cur] > arr[pivot]){cur++;}}//此时right=size，交换left与pivot下标的元素Exchange(&arr[pivot], &arr[prev]);//更改pivot的位置pivot = prev;return pivot;
}

优缺点分析：

我们最大的成功就是将递归改成了非递归，通过循环去实现整体的排序，这里避免了栈溢出，在未来我们去工作时，能不写递归就尽量不要写递归，出现递归能改则改。对于数据大的环境下，递归的深度很可怕的！而循环则不同，它不会出现栈溢出，只需要控制循环的条件即可

小编寄语

见证了Hoare大佬的排序思想，又衍生出了双指针的方式，感叹如此精妙的改进！排序的道路没有结束，此篇是难点的第一篇，领教双指针的魅力，快排和归并作为效率很高的两种排序，能够随时手撕代码是对这些思想的真正领悟，让排序算法成为技术世界里不停歇的实验场，预知归并如何，详见下篇！

快排（双指针·递归）

算法思想：

实现步骤：

复杂度分析：

代码实现：

单趟实现：

递归实现：

代码优化：

优缺点分析：

快排（双指针·非递归）

算法思想：

实现步骤：

代码实现：

左区间：

右区间：

整体代码展示：

优缺点分析：

小编寄语

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