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数据结构 KMP 字符串匹配算法

news 来源：原创 2025/7/4 11:39:19

KMP算法是计算机科学中的一种字符串匹配算法，KMP是三个创始人名字首字母

题目

AcWing - 算法基础课

前置知识点

KMP算法是一种高效的字符串匹配算法，算法名称取自于三位共同发明人名字的首字母组合。该算法的主要使用场景就是在字符串（也叫主串）中的模式串（也叫子串）定位问题，常见的有“求子串出现的起始位置”、“求子串的出现次数”等。

前缀和后缀

假设一个字符串“ababa"

他的前缀就是a,ab,aba,abab （ababa，ababa，ababa，ababa）

他的后缀就是a,ba,aba,baba （ababa，ababa，ababa，ababa）

前缀和后缀的最大长度，是原字符串长度-1

思路

最浅显易懂的 KMP 算法讲解_哔哩哔哩_bilibili

F03【模板】KMP 算法——信息学竞赛算法_哔哩哔哩_bilibili

给定一个主串S，模式串P，求P在S中出现的位置

普通暴力枚举

一个字符一个字符的双指针枚举，一旦发现不同

主串又要从第二个开始匹配，子串要从头开始匹配

缺点：时间复杂度太高

kmp优化思路

在比对失败时，我们已经知道曾经读过哪些字符了

已经匹配的子串，有相同的后缀，前缀，那我们是不是可以保留相同的前缀，再去查找不同的剩下的字符串

如下图，主串保留的绿色，实际上是匹配的子串的后缀，子串里保留的绿色部分，就是匹配的子串的前缀

他们是相同的，则可以把主串里匹配的子串的后缀，视为子串前缀，继续在主串查找相同前缀后面的字符串

next数组使用

我们已经知道kmp的优化思路，那么如何将知道，该保留的前缀呢？再暴力双指针循环太麻烦

kmp三个人提出了next数组，我们先不看如何实现，先看如何使用，next数组功能

下图是一个初始状态

kmp算法匹配失败时，去看最后一个匹配成功的子串的字符，对应的next数组里的值

查到对应的值后，我们移动子串，跳过next数组里的值对应的字符个数，例如值是2，我们就跳过前两个字符

我们发现，跳过的这两个字符，确实能和主串指针指向位置前的两个字符对应

所以继续枚举即可，不需要从头枚举

这样，我们永远不需要回退主串指针，一次遍历主串，就可以找到匹配子串

再看一下，如果子串对应next是0时

如果为0,也是从头开始匹配子串，没有相同的前缀和后缀，则子串一定不在已经遍历过的主串里有

则已经遍历过的主串里的字符，一定没有子串的子串，所以主串之前的部分可以直接舍弃，不用移动主串指针

推导next数组

next数组中的值，实际上就是，子串以当前字符串结尾，在当前字符串中，最长的前缀，后缀相同的字符串长度

如下图

ABAB最长的相同前缀，后缀，该前缀或者后缀的长度是2

我们现在知道next的数组里的值代表什么了

那我们想一下，如何推导出next数组里的值

在后缀下一个字符，和前缀后一个字符相同时，我们只需要把next数组对应的值+1，然后填入即可

那在不同时，应该怎么办，循环遍历可以，但是时间复杂度较高

举例，上图再往下走一个

C和B不同，如何求B的对应的next值

下位字符不同，没办法构成更长的相同前后缀，我们看看有没有更短的前后缀

我们可以发现，确实存在更短的，两位的前后缀，但是这步在程序中如何体现，暴力求解似乎时间复杂度有点高

其实我们next数组里还有信息，也就是next[i]=3，则子串前3个数，和i-3到i，这两个字符串是相同的

字符串前三个字符，和i-3到i，就是前后缀，前三个数，和后三个数

也就是右边的后缀，其实等于左边的前缀，那我们其实可以忽略中间其他的值，直接去找到最左边

为什么不会有漏？第一，右边的后缀和左边的前缀完全相等

第二，后缀第四个字符和前缀第四个字符不同，所以不会比右边的后缀，或左边的前缀更长，也就不会用更多字符

这样，就相当于是求ABAB的前后缀

第三个A对应的值是1，B是字符串ABAB后缀的第二个字符（因为A对应的是1)

比较B和前缀的第二个字符是否相等

相等，则在B所处位置对应的next数组的值+1

B对应的next的数组的上一位的值，是通过第三个A获取的，但是实际上，和他组成后缀的是倒数第二个A

实际上是这样得到的next对应的值，抽象上是和第三个A组成的前后缀

因为倒数第二个A，对应的next的值为3，也就是和前三个字符前缀完全相等

所以可以直接拿第二个A的next计算，因为前三个字符，和后三个字符（这说的字符串next=3对应的A）完全一样

前三个有的字符，后三个都有，所以B可以和后三个字符组成的后缀，和前三个字符也可以组成相同的后缀

后三个字符代表的next值代表的前后缀相同的长度又太长，利用前三个字符代表的前后缀长度，即可完成回退

代码实现

next[i]代表子串p[1,i]相同前后缀的最大长度

i代表的指针，永远不往前回退，指向的是后缀的最后一个字符

j代表的指针，可以通过next数组回退，指向的是前缀最后一个字符

注：next在c++中有关键字，所以使用ne[]

next数组推导实现

ne[1]=0;
//两个字符串数组实际上都是从1开始
//i等于2是因为指向第二个字符即可，至少两个字符才有前后缀
//j=0,因为j从j+1开始比，也就是j=0是为了j从1开始
for(int i=2,j=0;i<=n;i++){                                                                                                   //j不为0，为0表示回到的子串第一个数的位置//i代表目前指到的位置，j代表相同前后缀的前缀的最后一个字符的位置//如果下位字符不同时，回退到j的值代表的前ne[j]位//上图中说前缀后缀完全相等，j回到相同的前缀的最后一个字符的位置//看ne[j]的下一位p[j+]，和i指向的字符是否相等//相等结束循环，否则继续，直到相等或者j=0(回退到第一个字符串)while(j&&p[i]!=p[j+1])j=ne[j];//如果是相等，而不是j回退到了0，则j++,表示长度+1//j的值是ne[j]的值,j++=  就是  j=ne[j]+1,if(p[i]==p[j+1])j++;//记录下j的值，j现在指向的是相同前后缀的前缀的最后一个字符//代表的值是最长相同前后缀长度//把这个值加在ne[i]指针上，指向的是相同前后缀后缀的最后一个字符ne[i]=j;
}

子串位置查找实现，查找主串出现子串的起始位置

 //推导子串出现位置,这次i等于1是因为，此循环判断的不是前后缀相同，而是判断是否为子串//因为两个完全一样的字符串，也互相为子串，子串第一个数有可能从i=1,j=1就开始了//所以这里要令i=1for(int i=1,j=0;i<=m;i++){//跳跃式找到主串现在指向的值，在子串中存在的位置while(j&&s[i]!=p[j+1])j=ne[j];//i指向主串的字符，和子串的字符下一个字符相等,则可以再推进走一步if(s[i]==p[j+1])j++;if(j==n)//长度一致，找到子串{cout<<i-j<<" ";//返回子串起始位置//可省略，意思是将j回退到除本身外，最大的相同前后缀长度,避免下个循环j+1越界j=ne[j];}}

整合代码

AcWing - 算法基础课

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;
char p[N],s[N*10];
int ne[N];
int n,m;
int main(){cin >> n >> p + 1 >> m >> s + 1;ne[1]=0;//推导nxet数组for(int i=2,j=0;i<=n;i++){while(j&&p[i]!=p[j+1])j=ne[j];if(p[i]==p[j+1])j++;ne[i]=j;}//推导子串出现位置for(int i=1,j=0;i<=m;i++){//跳跃式找到主串现在指向的值，在子串中存在的位置while(j&&s[i]!=p[j+1])j=ne[j];if(s[i]==p[j+1])j++;if(j==n)//长度一致，找到子串{cout<<i-j<<" ";//返回子串起始位置//可省略，意思是将j回退到除本身外，最大的相同前后缀长度,避免下个循环j+1越界j=ne[j];}}return 0;
}

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