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LK光流和特征点的关系

news 来源：原创 2025/7/6 3:05:30

uv方程

光流有两个假设：

1.亮度恒定，即图像相同位置的灰度短时不变。两帧中对应像素灰度/亮度相同

2.时间持续性（微小移动），这意味着时间的变化不会引起像素位置的剧烈变化，这样像素的灰度值才能对位置求对应的偏导数。

将图像I看作是有三个自变量（坐标和时间）的函数： $I(x,y,t)$ ，那么对它泰勒展开：

$I(x+\Delta x,y+\Delta y,t+\Delta t)=I(x,y,t)+\frac{\partial I}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial I}{\partial y}\Delta y+\frac{\partial I}{\partial t}\Delta t+constant$

舍去constant，认为(x，y)位置的点在t经过偏移后和初始值相同（对应假设1，偏移之后灰度值不变）：

$I(x+\Delta x,y+\Delta y,t+\Delta t)=I(x,y,t)$ ，

这样得到 $\frac{\partial I}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial I}{\partial y}\Delta y+\frac{\partial I}{\partial t}\Delta t=0$

左右同除以 $\Delta t$ ，得到 $\frac{\partial I}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial I}{\partial y}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial I}{\partial t}\frac{\Delta t}{\Delta t}=0$ ,

当 $\Delta t$ 逼近0，由极限定理可以得： $\frac{\partial I}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial I}{\partial y}\frac{dy}{dt}=-\frac{\partial I}{\partial t}$

这样方程就可以使用梯度和速度u，v来表示： $I_xu+I_yv=-I_t$

其中 $I_t$ 也是梯度，只不过是时间坐标方向上的。因为假设2的存在可以使用两帧的差分来表示。xy方向的梯度是同一帧中x和y方向相邻像素的差值表示，那么t方向的梯度就是两帧图对应像素的差值：

Lucas-Kanade 法

第三个假设

从这个方程中可以看到，每个像素位置有u，v两个变量要求，但是只有一个方程怎么能有两个未知数呢？LK又增加了第三个假设：空间一致性：场景中相同表面的相邻点具有相似的运动，这样就可以联立多个方程去求解u，v。

所以两个假设都是有用的：第一个亮度不变的假设让可以可以得到泰勒展开中的偏导和为0，进一步得到了光流方程；第二个假设让我们可以联立方程组，进而求解出当前邻域的光流值。

Lucas-Kanade法就是利用一个3x3的领域中的9个像素点具有相同的运动，就可以得到9个点的光流方程(即上述公式)，用这些方程来求得(u, v)这两个未知数。相当于多个uv方程共有同一个u，v：

显然这是个约束条件过多的方程组（超正定方程），不能解得精确解，一个好的解决方法就是使用最小二乘来拟合。

矩阵形式

上面方程组的矩阵形式为： $-I_t=\begin{bmatrix} I_x & I_y \end{bmatrix}\begin{bmatrix} u\\ v \end{bmatrix}$

这就是光流约束方程，类型是Ax=b。x的解通过广义逆矩阵来表示：

$\begin{bmatrix} u\\v \end{bmatrix}=(A^TA)^{-1}A^Tb=G^{-1}\bar{b}$

和角点的关系

可以看到G是一个hessian矩阵，和harris角点的检测如出一辙。为了解得光流中的uv，就要求G首先是可逆的，而可逆就要求G的两个特征值都非零，即最小特征值尽可能大。这就表明了只有在角点的位置才可以求得uv。或者反证一下，如果M描述的是平坦区域或者边缘，那么总会有一个方向的差分是0，就无法满足可逆的条件：

这限制了LK光流法的使用范围，这也是被称为稀疏光流法的主要原因。

和特征点匹配的关系

LK光流不需要描述子，也不需要匹配。

LK光流只计算前一帧的特征点，再结合两帧的差分就可以计算光流，所以可以看作是特征点追踪。

特征点的选择，opencv的cv::goodFeaturesToTrack函数中，默认shi-tomasi角点，可选Harris角点检测。shi-tomasi是在论文《Good_Features_to_Track》中提出的，相比于Harris修改了R的计算，只关注较小的特征值，这样就可以省去超参数k的设定：

Harris	shi-tomasi

金字塔

因为假设2的存在，进一步限制了光流的使用，因为输入帧之间的运动往往是很大的。所以一个思路就是把图像下采样，下采样2倍，那么运动也会缩小为原来的2倍，这样就又可以满足假设2.

具体使用的金字塔是高斯金字塔。所以在下采样前要先进行高斯模糊：

下采样是真正的采样，而不是resize，个人猜测这样一方面是简单，因为2倍的下采样就只需要对行列进行奇数或者偶数抽样就可以了。另外一方面是避免了resize带来的中心偏移。

因为金字塔的使用，上一层的光流*2被传递到下一层，所以就使得光流可以处理更大的运动。

代码

import numpy as np
import cv2
"""
LK for image
"""
img_old = cv2.imread('../asset/image/1.bmp')
img_new = cv2.imread('../asset/image/2.bmp')old_frame = cv2.cvtColor(img_old, cv2.COLOR_BGR2GRAY)
new_frame = cv2.cvtColor(img_new, cv2.COLOR_BGR2GRAY)feature_params = dict(maxCorners=100, qualityLevel=0.3, minDistance=7)
lk_params = dict(winSize=(30, 30), maxLevel=6)p0 = cv2.goodFeaturesToTrack(old_frame, mask=None, **feature_params)
p1, st, err = cv2.calcOpticalFlowPyrLK(old_frame, new_frame, p0, None, )  #p1表示当前帧对应的特征点，st标志是否是运动的角点，err表示错误率p11 = p1[st == 1]
p00 = p0[st == 1]for i, (new, old) in enumerate(zip(p11, p00)):image_old = cv2.circle(img_old, (old[0], old[1]), 5, (0, 0, 255), -1)image_new = cv2.circle(img_new, (new[0], new[1]), 5, (0, 0, 255), -1)
cv2.imshow('new', image_new)
cv2.imshow('old', image_old)

reference：

总结：光流--LK光流--基于金字塔分层的LK光流--中值流_mini猿要成长QAQ的博客-CSDN博客

Fast Optical Flow using Dense Inverse Search - 知乎

OpenCV: Optical Flow

光流(Optical flow)-视频分析基础概念-CSDN博客

光流法（optical flow）_推导光流方程-CSDN博客

https://zhuanlan.zhihu.com/p/384651830
【SLAM】光流 - LK光流 - 金字塔分层LK光流_tlk光流-CSDN博客
LK光流法---金字塔改进_lk金字塔光流法-CSDN博客
http://robots.stanford.edu/cs223b04/algo_tracking.pdf