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26考研——图_图的基本概念（6）

news 来源：原创 2025/7/25 21:30:26

408答疑

文章目录

  • 一、图的基本概念
    • 图的定义
      • 非空性
      • 非线性结构
    • 顶点和边的表示
      • 顶点
      • 边
    • 有向图 & 无向图
    • 简单图 & 多重图
      • 简单图
      • 多重图
    • 顶点的度、入度和出度
      • 顶点的度
      • 有向图的度
    • 路径、路径长度和回路
    • 距离
    • 子图
    • 完全图（简单完全图）
      • 无向完全图
      • 有向完全图
    • 连通图、连通分量、强连通图，强连通分量
      • 连通性
        • 连通图
        • 强连通图
      • 连通分量
      • 强连通分量
    • 生成树 & 生成森林
      • 生成树
      • 生成森林
    • 边的权、网和带权路径长度
      • 边的权
      • 网
      • 带权路径长度
    • 稠密图 & 稀疏图
      • 稀疏图
      • 稠密图
    • 有向树
  • 六、参考资料
    • 鲍鱼科技课件
    • 26王道考研书

一、图的基本概念

图的定义

图 G G G 由顶点集 V V V 和边集 E E E 组成，记为 G = ( V , E ) G = (V, E) G=(V,E)，其中 V ( G ) V(G) V(G) 表示图 G G G 中顶点的有限非空集； E ( G ) E(G) E(G) 表示图 G G G 中顶点之间的关系（边）集合。

非空性

  • 线性表可以是空表，树可以是空树，但图不可以是空图。也就是说，图中不能一个顶点也没有，图的顶点集 V V V 一定非空，但边集 E E E 可以为空，此时图中只有顶点而没有边。

非线性结构

  • 图是非线性结构，由顶点和边组成。

顶点和边的表示

  • 若 V = { v 1 , v 2 , ⋯ , v n } V = \{v_1, v_2, \cdots, v_n\} V={v1​,v2​,⋯,vn​}，则用 ∣ V ∣ |V| ∣V∣ 表示图 G G G 中顶点的个数。
  • 边集 E = { ( u , v ) ∣ u ∈ V , v ∈ V } E = \{(u, v) | u \in V, v \in V\} E={(u,v)∣u∈V,v∈V}，用 ∣ E ∣ |E| ∣E∣ 表示图 G G G 中边的条数。

顶点

  • 图中的结点称为顶点。

边

  • 连接顶点之间的线称为边。
    • 无向边简称为边。
    • 有向边称为弧。

有向图 & 无向图

有向图

  • 有向图的边使用尖括号 ⟨ ⟩ \langle \rangle ⟨⟩ 表示。
  • 弧是顶点的有序对，记为 ⟨ v , w ⟩ \langle v, w \rangle ⟨v,w⟩，其中 v , w v, w v,w 是顶点， v v v 称为弧尾， w w w 称为弧头。
  • ⟨ v , w ⟩ \langle v, w \rangle ⟨v,w⟩ 称为从 v v v 到 w w w 的弧，也称 v v v 邻接到 w w w。
有向图 G 1 G_1 G1​ 的表示
  • G 1 = ( V 1 , E 1 ) G_1 = (V_1, E_1) G1​=(V1​,E1​)
  • V 1 = { 1 , 2 , 3 } V_1 = \{1, 2, 3\} V1​={1,2,3}
  • E 1 = { ⟨ 1 , 2 ⟩ , ⟨ 2 , 1 ⟩ , ⟨ 2 , 3 ⟩ } E_1 = \{\langle 1, 2 \rangle, \langle 2, 1 \rangle, \langle 2, 3 \rangle\} E1​={⟨1,2⟩,⟨2,1⟩,⟨2,3⟩}

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无向图

  • 无向图的边使用圆括号 ( ) ( ) () 表示。
  • 边是顶点的无序对，记为 ( v , w ) (v, w) (v,w) 或 ( w , v ) (w, v) (w,v)。
  • 可以说 w w w 和 v v v 互为邻接点。
  • 边 ( v , w ) (v, w) (v,w) 依附于 w w w 和 v v v，或称边 ( v , w ) (v, w) (v,w) 和 v , w v, w v,w 相关联。
无向图 G 2 G_2 G2​ 的表示
  • G 2 = ( V 2 , E 2 ) G_2 = (V_2, E_2) G2​=(V2​,E2​)
  • V 2 = { 1 , 2 , 3 , 4 } V_2 = \{1, 2, 3, 4\} V2​={1,2,3,4}
  • E 2 = { ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 1 , 4 ) , ( 2 , 3 ) , ( 2 , 4 ) , ( 3 , 4 ) } E_2 = \{(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)\} E2​={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}

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简单图 & 多重图

简单图

  • 不存在重复边。
  • 不存在顶点到自身的边。

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多重图

  • 允许两个顶点之间的边数大于 1 条。
  • 允许顶点通过一条边和自身关联。

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顶点的度、入度和出度

顶点的度

  • 连接顶点边的数量称为顶点的度，记为 T D ( v ) TD(v) TD(v)。
  • 在无向图中，每条边和两个顶点相关联，因此无向图的全部顶点的度之和等于边数的 2 倍。
  • 在下图中，每个顶点的度均为 3。

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有向图的度

  • 对于有向图，顶点 v v v 的度分为入度和出度。
    • 入度：以顶点 v v v 为终点的有向边的数目，记为 I D ( v ) ID(v) ID(v)。
    • 出度：以顶点 v v v 为起点的有向边的数目，记为 O D ( v ) OD(v) OD(v)。
  • 顶点 v v v 的度等于其入度与出度之和，即 T D ( v ) = I D ( v ) + O D ( v ) TD(v) = ID(v) + OD(v) TD(v)=ID(v)+OD(v)。
  • 有向图的全部顶点的入度之和与出度之和相等，并且等于边数，这是因为每条有向边都有一个起点和终点。

路径、路径长度和回路

  • 路径：

    • 顶点 v p v_p vp​ 到顶点 v q v_q vq​ 之间的一条路径是指顶点序列 v p , v i 1 , v i 2 , ⋯ , v i m , v q v_p, v_{i_1}, v_{i_2}, \cdots, v_{i_m}, v_q vp​,vi1​​,vi2​​,⋯,vim​​,vq​。
    • 路径上的边的数目称为路径长度。
    • 第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路或环。
    • 若一个图有 n n n 个顶点，且有大于 n − 1 n-1 n−1 条边，则此图一定有环。

  • 简单路径：

    • 在路径序列中，顶点不重复出现的路径称为简单路径。

  • 简单回路：

    • 除第一个顶点和最后一个顶点外，其余顶点不重复出现的回路称为简单回路。

距离

  • 从顶点 u u u 出发到顶点 v v v 的最短路径若存在，则此路径的长度称为从 u u u 到 v v v 的距离。
  • 若从 u u u 到 v v v 根本不存在路径，则记该距离为无穷（ ∞ \infty ∞）。

子图

  • 设有两个图 G = ( V , E ) G = (V, E) G=(V,E) 和 G ′ = ( V ′ , E ′ ) G' = (V', E') G′=(V′,E′)，若 V ′ V' V′ 是 V V V 的子集，且 E ′ E' E′ 是 E E E 的子集，则称 G ′ G' G′ 是 G G G 的子图。
  • 若有满足 V ( G ′ ) = V ( G ) V(G') = V(G) V(G′)=V(G) 的子图 G ′ G' G′，则称其为 G G G 的生成子图。
  • 注意：并非 V V V 和 E E E 的任何子集都能构成 G G G 的子图，因为这样的子集可能不是图，即 E E E 的子集中的某些边关联的顶点可能不在这个 V V V 的子集中。
  • 下图中，(2)为(1)的子图。

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完全图（简单完全图）

无向完全图

  • 对于无向图，边的取值范围为 0 0 0 到 n ( n − 1 ) 2 \frac{n(n-1)}{2} 2n(n−1)​。
  • 如果图有 n ( n − 1 ) 2 \frac{n(n-1)}{2} 2n(n−1)​ 条边，则无向图称为无向完全图。
  • 在完全图中任意两个顶点之间都存在边。

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有向完全图

  • 对于有向图，边的取值范围为 0 0 0 到 n ( n − 1 ) n(n-1) n(n−1)。
  • 如果图有 n ( n − 1 ) n(n-1) n(n−1) 条弧，则有向图称为有向完全图。
  • 在有向完全图中任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧。

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连通图、连通分量、强连通图，强连通分量

连通性

连通图
  • 在无向图中，若从顶点 v v v 到顶点 w w w 有路径存在，则称 v v v 和 w w w 是连通的。
  • 若图 G G G 中任意两个顶点都是连通的，则称图 G G G 为连通图，否则称为非连通图。
强连通图
  • 在有向图中，若有一对顶点 v v v 和 w w w，从 v v v 到 w w w 和从 w w w 到 v v v 之间都有路径，则称这两个顶点是强连通的。
  • 若图中任意一对顶点都是强连通的，则称此图为强连通图。

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连通分量

  • 无向图中的极大连通子图称为连通分量。
  • 在下图中，图 G G G 有 3 个连通分量。
  • 假设一个图有 n n n 个顶点，若边数小于 n − 1 n-1 n−1，则此图必是非连通图。
    • 若该图是非连通图，非连通情况下边最多的情况：由 n-1 个顶点构成一个完全图，此时再加入一个顶点则变成非连通图。

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强连通分量

  • 有向图中的极大强连通子图称为有向图的强连通分量。
  • 在下图中，图 G G G 有 2 个连通分量。
  • 假设一个有向图有 n n n 个顶点，若该图是强连通图，则连通情况下边最少的情况：至少需要 n 条边，构成一个环路。

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注意：在无向图中讨论连通性，在有向图中讨论强连通性

生成树 & 生成森林

生成树

  • 连通图的生成树是包含图中全部顶点的一个极小连通子图。
  • 若图中顶点数为 n n n，则它的生成树含有 n − 1 n-1 n−1 条边。
  • 包含图中全部顶点的极小连通子图，只有生成树满足这个极小条件，对生成树而言，若砍去它的一条边，则会变成非连通图，若加上一条边则会形成一个回路。

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生成森林

  • 非连通图中，连通分量的生成树构成了非连通图的生成森林。

注意：区分极大连通子图和极小连通子图。极大连通子图要求子图必须连通，而且包含尽可能多的顶点和边；极小连通子图是既要保持子图连通又要使得边数最少的子图。

边的权、网和带权路径长度

边的权

  • 在一个图中，每条边都可以标上具有某种含义的数值，该数值称为该边的权值。

网

  • 这种边上带有权值的图称为带权图，也称网。

带权路径长度

  • 路径上所有边的权值之和，称为该路径的带权路径长度。

稠密图 & 稀疏图

稀疏图

  • 边数很少的图称为稀疏图。
  • 稀疏和稠密本身是模糊的概念，稀疏图和稠密图常常是相对而言的。
  • 一般当图 G G G 满足 ∣ E ∣ < ∣ V ∣ log ⁡ 2 ∣ V ∣ |E| < |V|\log_2|V| ∣E∣<∣V∣log2​∣V∣ 时，可以将 G G G 视为稀疏图。

稠密图

  • 反之称为稠密图。

有向树

  • 一个顶点的入度为 0 0 0、其余顶点的入度均为 1 1 1 的有向图，称为有向树。

六、参考资料

鲍鱼科技课件

b站免费王道课后题讲解: link
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网课全程班: link
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26王道考研书

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记一次线上SQL死锁事故

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编程日记 2025/7/23 11:40:31

电机控制常见面试问题（十八）

文章目录 一.电机控制高级拓扑结构1.LLC 二.谈谈电压器饱和后果三.电压器绕组连接方式的影响四.有源逆变的条件 一.电机控制高级拓扑结构 1.LLC LLC是什么&#xff1f;—— 一个会"变魔术"的电源盒子 想象你有一个魔法盒子&#xff0c;能把电池的电压变大或变小&…...

编程日记 2025/7/22 7:43:39

数据结构之双链表

目录 1 简介 2 双链表的基本概念 2.1 节点结构 2.2 头插法和尾插法 3 代码实现 4 代码解析&#xff08;部分&#xff09; 4.1 初始化双链表 4.2 添加节点 4.3 删除节点 4.4 获取节点 4.5 插入节点 4.6 反转链表 4.7 打印链表 4.8 核心操作分析 5 总结 1 简介 …...

编程日记 2025/7/19 15:12:00

dell 台式机 电脑 纽扣电池 如何取下？

dell 台式机 电脑 纽扣电池 如何取下&#xff1f; 戴尔-optiplex-3060-塔式机-服务手册...

编程日记 2025/6/28 1:57:22

JSON二次序列化问题分析

正常的JSON应该是: json Apply to VectorServic... { "id": "d471c19c-70eb-4f29-8604-b8284e8a9400", "text": "人为干预, 降低生产成本...", "metadata": { "chunkIndex": 2, …...

编程日记 2025/7/22 9:51:38

WebSocket 传输大量数据好不好？稳定不稳定

使用 WebSocket 传输大量数据 是可行的&#xff0c;但在实际应用中需要注意一些限制和优化策略。以下是关于 WebSocket 传输大量数据的详细分析&#xff1a; 1. WebSocket 传输大量数据的可行性 优点 实时性&#xff1a;WebSocket 是全双工通信协议&#xff0c;适合实时传输数…...

编程日记 2025/7/17 4:15:52

代码随想录刷题day52|（二叉树篇）106.从中序与后序遍历序列构造二叉树（▲

目录 一、二叉树理论知识 二、构造二叉树思路 2.1 构造二叉树流程&#xff08;给定中序后序 2.2 整体步骤 2.3 递归思路 2.4 给定前序和后序 三、相关算法题目 四、易错点 一、二叉树理论知识 详见&#xff1a;代码随想录刷题day34|&#xff08;二叉树篇&#xff09;二…...

编程日记 2025/7/18 16:41:27

无人设备遥控器之调度自动化技术篇

一、技术原理 信息采集与处理&#xff1a; 通过传感器、仪表等设备采集无人设备的各种数据&#xff0c;如位置、速度、状态等。 将采集到的数据传输到调度自动化系统中进行处理和分析&#xff0c;以获取设备的实时状态。 系统建模与优化&#xff1a; 调度自动化系统会根据…...

编程日记 2025/7/15 21:40:51

红宝书第十五讲：详解JavaScript迭代器与生成器：Symbol.iterator与yield

红宝书第十五讲&#xff1a;详解JavaScript迭代器与生成器&#xff1a;Symbol.iterator与yield 资料取自《JavaScript高级程序设计&#xff08;第5版&#xff09;》。 查看总目录&#xff1a;红宝书学习大纲 一、迭代器&#xff08;Iterator&#xff09;的“传送带”模式 迭代…...

编程日记 2025/7/15 20:43:45

【AI】NLP

不定期更新&#xff0c;建议关注收藏点赞。 目录 transformer大语言模型Google Gemma疫情网民情绪识别 整体框架 baseline构建 模型调参、模型优化、其他模型 数据trick、指标优化、magic feature 数据增强、伪标签、迁移学习 模型融合sklearn中TFIDF参数详解 频率阈值可以去掉…...

编程日记 2025/7/24 4:39:24

ENSP学习day10

NAT地址转换技术&#xff08;一&#xff09; NAT&#xff08;Network Address Translation&#xff09;地址转换技术是一种在计算机网络中常用的技术&#xff0c;在数据包从一个网络传输到另一个网络时&#xff0c;会对数据包中的源IP地址和目的IP地址进行修改的过程。这种技术…...

编程日记 2025/7/20 1:18:38

文件上传绕过的小点总结(4)

9.末尾点删除处理缺陷 给出源码&#xff1a; $file_name trim($_FILES[upload_file][name]); $file_name deldot($file_name);//删除文件名末尾的点 $file_ext strrchr($file_name, .); $file_ext strtolower($file_ext); //转换为小写 $file_ext str_ireplace(::$DATA,…...

编程日记 2025/7/24 6:14:38

实战-MySQL5.7升级8.0遇到的四个问题

近期几个项目的MySQL由5.7升级到8.0&#xff0c;升级过程中遇到四个问题&#xff0c;记录下来分享一下&#xff1a; 第一个问题详见之前的文章&#xff1a; MySQL 5.7升级8.0报异常&#xff1a;处理新增关键字 第二个问题详见之前的文章&#xff1a; MySQL 5.7升级8.0报异常…...

编程日记 2025/7/17 9:27:49

卷积神经网络的原理、实现及变体

卷积神经网络convolutional neural network&#xff0c;CNN 是为处理图像数据而生的网络&#xff0c;主要由卷积层&#xff08;填充和步幅&#xff09;、池化层&#xff08;汇聚层&#xff09;、全连接层组成。 卷积 虽然卷积层得名于卷积&#xff08;convolution&#xff09…...

编程日记 2025/7/21 9:06:27

java 线程创建Executors 和 ThreadPoolExecutor 和 CompletableFuture 三者 区别

Executors是一个线程池的工具类&#xff0c;而ThreadPoolExecutor是Executor接口的一个实现&#xff0c;是线程池的核心类。‌ Executors提供了多种快速创建线程池的方法&#xff0c;而ThreadPoolExecutor则提供了更高的自定义和控制能力‌。 Executors是一个工具类&#xff0…...

编程日记 2025/7/24 9:48:34

Redisson 实现分布式锁简单解析

目录 Redisson 实现分布式锁业务方法&#xff1a;加锁逻辑LockUtil 工具类锁余额方法&#xff1a;工具类代码枚举代码 RedisUtil 工具类tryLock 方法及重载【分布式锁具体实现】Supplier 函数式接口调用分析 Redisson 实现分布式锁 业务方法&#xff1a; 如图&#xff0c;简单…...

编程日记 2025/7/25 14:51:50

Python条件处理，新手入门到精通

Python条件处理&#xff0c;新手入门到精通 对话实录 **小白**&#xff1a;&#xff08;崩溃&#xff09;我写了if x 1:&#xff0c;为什么Python会报错&#xff1f; **专家**&#xff1a;&#xff08;推眼镜&#xff09;**是赋值&#xff0c;才是比较**&#xff01;想判断相…...

编程日记 2025/7/15 18:49:10

详细比较StringRedisTemplate和RedisTemplate的区别及使用方法，及解决融合使用方法

前言 感觉StringRedisTemplate和RedisTemplate非常的相识&#xff0c;到底有什么区别和联系呢&#xff1f;点开idea&#xff0c;打开其依赖关系&#xff0c;可以看出只需使用maven依赖包spring-boot-starter-data-redis&#xff0c;然后在service中注入StringRedisTemplate或者…...

编程日记 2025/7/24 6:47:07