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数据结构-图（一）

news 来源：原创 2025/5/12 2:11:42

文章目录

  • 图
    • 一、图的基本概念
      • （一）图的定义
      • （二）有向图与无向图
      • （三）顶点的度、入度与出度
      • （四）路径、回路与连通图
    • 二、图的存储及基本操作
      • （一）邻接矩阵
      • （二）邻接表
      • （三）邻接多重表、十字链表
    • 三、图的遍历
      • （一）深度优先搜索（Depth-First Search，DFS）
      • （二）广度优先搜索（Breadth-First Search，BFS）

图

一、图的基本概念

（一）图的定义

图（Graph）是一种由顶点（Vertex）集合和边（Edge）集合组成的数据结构，用于描述事物之间的关系。通常用 G = ( V , E ) G=(V, E) G=(V,E) 来表示一个图，其中 V V V 是顶点的非空有限集合， E E E 是边的有限集合，每条边连接着 V V V 中的两个顶点。例如，用图来表示城市之间的交通路线，城市就是顶点，连接城市的道路就是边。

（二）有向图与无向图

  • 有向图（Directed Graph）：图中的边是有方向的，用有序对 ⟨ v , w ⟩ \langle v, w\rangle ⟨v,w⟩ 表示，意味着从顶点 v v v 指向顶点 w w w 的一条边，且通常情况下 ⟨ v , w ⟩ \langle v, w\rangle ⟨v,w⟩ 和 ⟨ w , v ⟩ \langle w, v\rangle ⟨w,v⟩ 是不同的两条边。比如社交网络中，用户 A 关注了用户 B，这可以用有向边来表示，从 A 指向 B。
  • 无向图（Undirected Graph）：图中的边没有方向，用无序对 ( v , w ) (v, w) (v,w) 表示，即边 ( v , w ) (v, w) (v,w) 和 ( w , v ) (w, v) (w,v) 是同一条边。例如，若用图表示一群朋友之间的相识关系，两人相识就是用无向边连接他们对应的顶点。

（三）顶点的度、入度与出度

  • 度（Degree）：在无向图中，顶点的度是与该顶点相关联的边的数目。例如在一个简单的无向图中，顶点 A A A 连接了 3 条边，那么顶点 A A A 的度就是 3。
  • 入度（In-degree）和出度（Out-degree）：在有向图中，顶点的入度是以该顶点为终点的边的数目，而出度是以该顶点为起点的边的数目。比如在有向图中，顶点 B B B 有 2 条边指向它，其入度为 2；同时它有 1 条边从它出发，出度就是 1。

（四）路径、回路与连通图

  • 路径（Path）：在图中，从顶点 v v v 到顶点 w w w 的一条路径是一个顶点序列，序列中相邻顶点之间都有边相连。例如在一个图中，从顶点 A A A 经过顶点 B B B、 C C C 到达顶点 D D D 的这一系列顶点就构成了一条路径。
  • 回路（Cycle）：如果一条路径的起点和终点是同一个顶点，且路径长度大于 0，则称这条路径为回路。比如在图中，从顶点 A A A 出发，经过若干其他顶点又回到顶点 A A A 的路径就是回路。
  • 连通图（Connected Graph）：在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在路径，则称该图为连通图。对于有向图，如果任意两个顶点之间都互相可达（双向都有路径），则称为强连通图；若只是忽略边的方向后任意两个顶点之间存在路径，则称为弱连通图。

二、图的存储及基本操作

（一）邻接矩阵

  • 原理：使用一个二维数组来表示图，数组的行和列分别对应图中的顶点。如果顶点 i i i 和顶点 j j j 之间有边相连（对于无向图）或者有从 i i i 指向 j j j 的边（对于有向图），则数组中对应的元素 a d j [ i ] [ j ] adj[i][j] adj[i][j] 为 1（或者边的权重，如果是带权图），否则为 0。
  • 优点：判断两点之间是否有边、查找某个顶点的邻接点等操作都很方便，时间复杂度较低；容易实现图的一些基本算法。
  • 缺点：对于稀疏图（边数相对顶点数很少的图），会浪费大量的存储空间，因为大部分数组元素都是 0。
  • 示例代码（C 语言，以无向图为例）：
#define MAX_VERTEX_NUM 100
typedef struct {int adj[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];int vexnum;  // 顶点数int arcnum;  // 边数
} MGraph;// 初始化邻接矩阵表示的图
void InitGraph(MGraph* G, int vexnum) {G->vexnum = vexnum;G->arcnum = 0;for (int i = 0; i < vexnum; i++) {for (int j = 0; j < vexnum; j++) {G->adj[i][j] = 0;}}
}// 添加边
void AddEdge(MGraph* G, int v, int w) {G->adj[v][w] = 1;G->adj[w][v] = 1;  // 对于无向图，对称位置都要设置为 1G->arcnum++;
}

例如，对于如下无向图：

    A --- B|     ||     |C --- D

其邻接矩阵表示如下（假设顶点顺序为 A、B、C、D）：

  A B C D
A 0 1 1 0
B 1 0 0 1
C 1 0 0 1
D 0 1 1 0

（二）邻接表

  • 原理：对于图中的每个顶点，使用一个链表来存储它的邻接点。每个链表节点包含邻接点的序号以及指向下一个邻接点的指针（如果是带权图，还可以包含边的权重信息）。同时，使用一个数组来存储所有顶点的链表头指针。
  • 优点：相比于邻接矩阵，对于稀疏图能节省大量存储空间，只存储实际存在的边信息。
  • 缺点：判断两点之间是否有边的操作相对邻接矩阵效率稍低，需要遍历相应顶点的链表；代码实现相对复杂一些。
  • 示例代码（C 语言，以有向图为例）：
#define MAX_VERTEX_NUM 100// 邻接表节点结构体
typedef struct ArcNode {int adjvex;  // 邻接点在数组中的下标struct ArcNode* next;
} ArcNode;// 顶点结构体
typedef struct VNode {int data;  // 顶点数据ArcNode* firstarc;  // 指向第一个邻接点的指针
} VNode, AdjList[MAX_VERTEX_NUM];// 图结构体
typedef struct {AdjList vertices;int vexnum;int arcnum;
} ALGraph;// 初始化邻接表表示的图
void InitALGraph(ALGraph* G, int vexnum) {G->vexnum = vexnum;G->arcnum = 0;for (int i = 0; i < vexnum; i++) {G->vertices[i].data = i;G->vertices[i].firstarc = NULL;}
}// 添加有向边
void AddArc(ALGraph* G, int v, int w) {ArcNode* newNode = (ArcNode*)malloc(sizeof(ArcNode));newNode->adjvex = w;newNode->next = G->vertices[v].firstarc;G->vertices[v].firstarc = newNode;G->arcnum++;
}

例如，对于如下有向图：

    A -> B^    ||    |C -> D

其邻接表表示如下（假设顶点顺序为 A、B、C、D）：

  • 顶点 A 的邻接表：A -> B -> C（表示有边从 A 指向 B 和 C）
  • 顶点 B 的邻接表：为空（没有边以 B 为起点）
  • 顶点 C 的邻接表：C -> D
  • 顶点 D 的邻接表：为空

（三）邻接多重表、十字链表

  • 邻接多重表（Adjacency Multilist）：
    • 原理：主要用于存储无向图，在处理涉及边的删除、遍历等操作时，相比邻接表能更方便地操作同一条边，它把每条边用一个节点表示，节点中包含这条边连接的两个顶点以及与这两个顶点相关的其他边的指针等信息，各个顶点也有对应的节点，通过指针与边节点相连。
    • 应用场景：在一些需要频繁对无向图的边进行操作的场景中，比如图形编辑软件中对图形的边进行修改、删除等操作时，使用邻接多重表可以更高效地实现相关功能。
  • 十字链表（Orthogonal List）：
    • 原理：用于存储有向图，它整合了出边和入边的信息。每个顶点有一个节点，包含数据以及分别指向以该顶点为起点的第一条出边和以该顶点为终点的第一条入边的指针；每条边也有一个节点，包含边的起点、终点以及分别指向前一条和后一条以起点为出发的边、以终点为到达的边的指针等信息。
    • 应用场景：在对有向图进行一些复杂的遍历、分析，尤其是需要同时考虑边的起点和终点关系的情况时，比如在有向图的强连通分量计算等算法中，十字链表可以方便地获取相关信息，提高算法效率。

三、图的遍历

（一）深度优先搜索（Depth-First Search，DFS）

  • 原理：从图中的某个顶点出发，访问该顶点，然后递归地访问它的未被访问过的邻接点，直到所有与该顶点有路径相通且未被访问的顶点都被访问完；接着回溯到上一层，继续访问其他未被访问的邻接点，重复这个过程，直到图中的所有顶点都被访问过。
  • 示例代码（C 语言，以邻接矩阵表示的无向图为例）：
#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>#define MAX_VERTEX_NUM 100// 图结构体（同邻接矩阵定义中的 MGraph）
typedef struct {int adj[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];int vexnum;int arcnum;
} MGraph;// 标记顶点是否被访问过
bool visited[MAX_VERTEX_NUM];// 深度优先搜索函数
void DFS(MGraph G, int v) {visited[v] = true;printf("%d ", v);for (int w = 0; w < G.vexnum; w++) {if (G.adj[v][w] == 1 &&!visited[w]) {DFS(G, w);}}
}// 对整个图进行深度优先搜索
void DFSTraverse(MGraph G) {for (int v = 0; v < G.vexnum; v++) {visited[v] = false;}for (int v = 0; v < G.vexnum; v++) {if (!visited[v]) {DFS(G, v);}}
}

例如，对于如下无向图进行深度优先搜索（假设从顶点 0 开始）：

    0 --- 1 --- 2|     ||     |3 --- 4

可能的访问顺序为：0 1 2 4 3（具体顺序可能因邻接点的选择顺序不同而有差异）。

  • 应用场景：常用于解决连通性问题、寻找图中的路径、拓扑排序等，比如判断一个网络是否连通，或者在迷宫中寻找从起点到终点的路径等场景都可以使用深度优先搜索算法。

（二）广度优先搜索（Breadth-First Search，BFS）

  • 原理：从图中的某个顶点出发，先访问该顶点，然后依次访问该顶点的所有未被访问过的邻接点，再按照“先访问的顶点的邻接点先被访问”的顺序，依次访问这些邻接点的未被访问过的邻接点，以此类推，直到图中的所有顶点都被访问过。通常需要借助一个队列来实现按照层次顺序访问顶点。
  • 示例代码（C 语言，以邻接表表示的有向图为例）：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>#define MAX_VERTEX_NUM 100// 邻接表节点结构体（同邻接表定义中的 ArcNode）
typedef struct ArcNode {int adjvex;struct ArcNode* next;
} ArcNode;// 顶点结构体（同邻接表定义中的 VNode）
typedef struct VNode {int data;ArcNode* firstarc;
} VNode, AdjList[MAX_VERTEX_NUM];// 图结构体（同邻接表定义中的 ALGraph）
typedef struct {AdjList vertices;int vexnum;int arcnum;
} ALGraph;// 标记顶点是否被访问过
bool visited[MAX_VERTEX_NUM];// 广度优先搜索函数
void BFS(ALGraph G, int v) {int queue[MAX_VERTEX_NUM];int front = 0, rear = 0;visited[v] = true;printf("%d ", v);queue[rear++] = v;while (front!= rear) {int u = queue[front++];ArcNode* p = G.vertices[u].firstarc;while (p) {int w = p->adjvex;if (!visited[w]) {visited[w] = true;printf("%d ", w);queue[rear++] = w;}p = p->next;}}
}// 对整个图进行广度优先搜索
void BFSTraverse(ALGraph G) {for (int v = 0; v < G.vexnum; v++) {visited[v] = false;}for (int v = 0; v < G.vexnum; v++) {if (!visited[v]) {BFS(G, v);}}
}

例如，对于如下有向图进行广度优先搜索（假设从顶点 A 开始，A 对应下标 0）：

    A -> B^    ||    |C -> D

可能的访问顺序为：0 1 2 3（对应顶点 A、B、C、D，具体顺序也可能因实现细节有一定差异）。

  • 应用场景：常用于求最短路径（在无权图中）、网络爬虫中按照层次遍历网页链接等场景，比如在游戏地图中计算从起点到各个位置的最短步数，就可以采用广度优先搜索算法来实现。

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定时器设计 time_event time_event 类用来封装定时时间&#xff0c;内部需要包含一个任务执行时间&#xff0c;是否重复标记、是否取消标记&#xff0c;对于重复任务&#xff0c;还需要一个重复间隔时间。以及一个回调函数&#xff0c;用来执行任务到期后需要执行的动作。 构…...

编程日记 2025/5/11 1:27:01

Flutter简单实现滑块验证

现在实现一个 Flutter 滑动验证组件&#xff0c;类似于许多网站和应用程序中常见的“滑动以验证”功能。它通过滑动一个滑块来完成验证操作&#xff0c;用户需要将滑块拖动到指定位置以完成验证。 前置知识点整理 StatefulWidget 在 Flutter 中&#xff0c;StatefulWidget 是…...

编程日记 2025/4/30 4:27:31

第33周：运动鞋识别(Tensorflow实战第五周)

目录 前言 一、前期工作 1.1 设置GPU 1.2 导入数据 1.3 查看数据 二、数据预处理 2.1 加载数据 2.2 可视化数据 2.3 再次检查数据 2.4 配置数据集 2.4.1 基本概念介绍 2.4.2 代码完成 三、构建CNN网络 四、训练模型 4.1 设置动态学习率 4.2 早停与保存最佳模型…...

编程日记 2025/5/4 8:41:18

C#中switch语句使用

编写一个程序&#xff0c;使用switch语句将用户输入的分数转换成等级&#xff0c;如表 private static void Main(string[] args) { Console.WriteLine("请输入分数&#xff1a;"); int score int.Parse(Console.ReadLine()); switch (score) …...

编程日记 2025/5/10 13:08:30

2024.11.28（作业）

思维导图 功能函数声明文件 #ifndef _FUN_H__ #define _FUN_H__ #include <myhead.h>#define MAX 50 //数组大小 #define QAZ 20 //长度和字符串大小typedef int datatype; //数据元素类型//2.1 定义顺序表类型 typedef struct {datatype data[MAX];int len; }S…...

编程日记 2025/5/10 4:23:05

充分统计量（Sufficient Statistic）概念与应用: 中英双语

充分统计量&#xff1a;概念与应用 在统计学中&#xff0c;充分统计量&#xff08;Sufficient Statistic&#xff09; 是一个核心概念。它是从样本中计算得出的函数&#xff0c;能够完整且无损地表征样本中与分布参数相关的信息。在参数估计中&#xff0c;充分统计量能够帮助我…...

编程日记 2025/5/7 8:35:05

2. STM32_中断

中断 中断是什么&#xff1a; 打断CPU执行正常的程序&#xff0c;转而处理紧急程序&#xff0c;然后返回原暂停的程序继续运行&#xff0c;就叫中断。 中断的意义&#xff1a; 中断可以高效处理紧急程序&#xff0c;不会一直占用CPU资源。如实时控制、故障处理、处理不确定…...

编程日记 2025/5/6 14:50:51

CAD 文件 批量转为PDF或批量打印

CAD 文件 批量转为PDF或批量打印&#xff0c;还是比较稳定的 1.需要本地安装CAD软件 2.通过 Everything 搜索工具搜索&#xff0c;DWG To PDF.pc3 &#xff0c;获取到文件目录 &#xff0c;替换到代码中&#xff0c; originalValue ACADPref.PrinterConfigPath \ r"C:…...

编程日记 2025/5/6 11:28:17

明明的随机数

题目描述 明明想在学校中请一些同学一起做一项问卷调查&#xff0c;为了实验的客观性&#xff0c;他先用计算机生成了N个1到1000之间的随机整数&#xff08;N≤100&#xff09;&#xff0c;对于其中重复的数字&#xff0c;只保留一个&#xff0c;把其余相同的数去掉&#xff…...

编程日记 2025/5/11 2:30:05

2024金盾信安杯线上赛 MISC ezpng[wp]

下载题目发现给了个password和png 图片发现损坏的 password丢随波逐流一键解 base64 给出解码的结果是 cimbar搜索发现在Github有工具 然后对附件中的图片进行小厨房xor 得到一张新图片 利用工具进行跑出答案...

编程日记 2025/4/9 10:24:21

C与指针。

目录 1_指针理解 1.1变量的值 1.2变量的地址 1.3指针 1.4取变量的地址 2_分析指针 2.1分析指针变量的要素 2.2根据需求定义指针变量 3_指针的使用 3.1指针对变量的读操作 3.2指针对变量的写操作 4_指针占用空间的大小与位移 4.1指针占用空间的大小 4.2指针的位移…...

编程日记 2025/5/10 2:52:43

使用 Selenium 和 Python 爬取腾讯新闻：从基础到实践

使用 Selenium 和 Python 爬取腾讯新闻&#xff1a;从基础到实践 在这篇博客中&#xff0c;我们将介绍如何利用 Selenium 和 Python 爬取腾讯新闻的内容&#xff0c;并将结果保存到 CSV 文件中。本教程包含以下内容&#xff1a; 项目简介依赖安装实现功能的代码实现中的关键技…...

编程日记 2025/5/9 7:51:10

ElasticSearch的下载和基本使用（通过apifox）

1.概述 一个开源的高扩展的分布式全文检索引擎&#xff0c;近乎实时的存储&#xff0c;检索数据 2.安装路径 Elasticsearch 7.8.0 | Elastic 安装后启动elasticsearch-7.8.0\bin里的elasticsearch.bat文件&#xff0c; 启动后就可以访问本地的es库http://localhost:9200/ …...

编程日记 2025/5/7 15:57:00

处理HTTP请求的两种常见方式：多个处理器(Handler)、多个处理函数(HandleFunc)，两者有什么区别

一、多个处理器(Handler)、多个处理函数(HandleFunc)&#xff0c;两者的区别&#xff1a; 在Go语言中&#xff0c;处理HTTP请求的两种常见方式是使用http.Handler接口和http.HandleFunc函数。它们都用于定义如何处理HTTP请求&#xff0c;但它们之间有一些关键的区别&#xff1…...

编程日记 2025/5/5 20:36:57

在oracle下载jdk显示400 Bad Request Request Header Or Cookie Too Large

下载JDK17&#xff0c;官网地址&#xff1a;【https://www.oracle.com/cn/java/technologies/downloads/#jdk17-windows】 问题&#xff1a; 出现 400 Bad Request: Request Header Or Cookie Too Large 错误&#xff0c;通常是由于浏览器存储的 Cookies 或请求头过大所导致的…...

编程日记 2025/5/10 7:13:08