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信号处理抽取多项滤波的数学推导与仿真

news 来源：原创 2025/8/18 6:48:37

昨天的《信号处理之插值、抽取与多项滤波》，已经介绍了插值抽取的多项滤率，今天详细介绍多项滤波的数学推导，并附上实战仿真代码。

一、数学变换推导

1. 多相分解的核心思想

将FIR滤波器的系数 h ( n ) h(n) h(n)按相位分组，每组对应输入信号的不同抽样相位。通过分相、滤波、重组，实现与原FIR等效的处理。

2. 数学变换推导

FIR滤波器的系统函数可表示为：
H ( z ) = ∑ n = 0 N − 1 h ( n ) z − n H(z) = \sum_{n=0}^{N-1} h(n) z^{-n} H(z)=n=0∑N−1​h(n)z−n
其中， h ( n ) h(n) h(n)为滤波器系数， N N N为阶数。

设分解因子为 M M M，则第 k k k个子滤波器系数为：
h k ( m ) = h ( k + m M ) , 0 ≤ k < M h_k(m) = h(k + mM), \quad 0 \leq k < M hk​(m)=h(k+mM),0≤k<M

将FIR滤波器拆分为 M M M个并行的子滤波器（即多相分量），每个子滤波器处理信号的特定相位分量，再通过延迟和组合实现等效。目标形式为：

H ( z ) = ∑ k = 0 M − 1 z − k H k ( z M ) H(z) = \sum_{k=0}^{M-1} z^{-k} H_k(z^M) H(z)=k=0∑M−1​z−kHk​(zM)
其中， H k ( z M ) H_k(z^M) Hk​(zM)表示第 k k k个子滤波器的系统函数。

将 H ( z ) H(z) H(z)按 M M M的整数倍延迟展开：
H ( z ) = ∑ n = 0 N − 1 h ( n ) z − n = ∑ k = 0 M − 1 ∑ m = 0 K − 1 h ( k + m M ) z − ( k + m M ) H(z) = \sum_{n=0}^{N-1} h(n) z^{-n} = \sum_{k=0}^{M-1} \sum_{m=0}^{K-1} h(k + mM) z^{-(k + mM)} H(z)=n=0∑N−1​h(n)z−n=k=0∑M−1​m=0∑K−1​h(k+mM)z−(k+mM)
其中， K = ⌈ N M ⌉ K = \lceil \frac{N}{M} \rceil K=⌈MN​⌉（向上取整）。

将原系数按 M M M个相位分组：

  • 第 k k k个子滤波器的系数为： h k ( m ) = h ( k + m M ) h_k(m) = h(k + mM) hk​(m)=h(k+mM)
  • 其系统函数为：
    H k ( z M ) = ∑ m = 0 K − 1 h k ( m ) z − m M H_k(z^M) = \sum_{m=0}^{K-1} h_k(m) z^{-mM} Hk​(zM)=m=0∑K−1​hk​(m)z−mM
    将 H ( z ) H(z) H(z)重写为：
    H ( z ) = ∑ k = 0 M − 1 z − k ( ∑ m = 0 K − 1 h ( k + m M ) z − m M ) = ∑ k = 0 M − 1 z − k H k ( z M ) H(z) = \sum_{k=0}^{M-1} z^{-k} \left( \sum_{m=0}^{K-1} h(k + mM) z^{-mM} \right) = \sum_{k=0}^{M-1} z^{-k} H_k(z^M) H(z)=k=0∑M−1​z−k(m=0∑K−1​h(k+mM)z−mM)=k=0∑M−1​z−kHk​(zM)
3. 时域操作等价性

原FIR输出：
y ( n ) = ∑ m = 0 N − 1 h ( m ) x ( n − m ) y(n) = \sum_{m=0}^{N-1} h(m)x(n-m) y(n)=m=0∑N−1​h(m)x(n−m)
多相结构输出：
y ( n ) = ∑ k = 0 M − 1 ∑ m = 0 K − 1 h k ( m ) x ( n − k − m M ) y(n) = \sum_{k=0}^{M-1} \sum_{m=0}^{K-1} h_k(m) x\left(n - k - mM\right) y(n)=k=0∑M−1​m=0∑K−1​hk​(m)x(n−k−mM)

4、物理意义验证

  1. 时域解释
    原FIR的输出 y ( n ) = ∑ m = 0 N − 1 h ( m ) x ( n − m ) y(n) = \sum_{m=0}^{N-1} h(m)x(n-m) y(n)=∑m=0N−1​h(m)x(n−m)，等效于：

    • 将输入 x ( n ) x(n) x(n)分为 M M M个相位分量（ x ( n − k ) x(n-k) x(n−k)， k = 0 , 1 , … , M − 1 k=0,1,\dots,M-1 k=0,1,…,M−1）
    • 每个子滤波器 H k H_k Hk​处理对应的相位分量
    • 结果相加得到输出 y ( n ) y(n) y(n)

  2. 频域验证
    通过替换 z = e j ω z = e^{j\omega} z=ejω，可验证原频率响应与多相分解后的响应一致。

5、应用场景
  1. 多速率信号处理
    在抽取（Decimation）和插值（Interpolation）中，多相分解可降低计算复杂度。
  2. 并行化实现
    各子滤波器 H k ( z M ) H_k(z^M) Hk​(zM)可并行计算，提升硬件效率。
  3. 滤波器组设计
    用于均匀DFT滤波器组、小波变换等。

二、Python实现与验证

该实战，通过两种同的方法进行抽取滤波，将信号采样率降低到原来的1/4，并对结果进行对比和误差分析。

1. 生成测试信号
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.signal import firwin, lfilter# 生成测试信号：10Hz正弦波 + 100Hz高频噪声
fs = 1000  # 采样率
t = np.arange(0, 1, 1/fs)
x = np.sin(2*np.pi*10*t) + 0.5*np.random.randn(len(t))  # 原始信号
2. 设计FIR滤波器
# 设计低通FIR滤波器（截止频率50Hz，阶数N=31）
N = 31
fc = 50
h = firwin(N, fc, fs=fs, window='hamming')  # 获取系数
3. 标准FIR滤波
y_fir = lfilter(h, 1, x)  # FIR滤波结果
4. 多相分解（M=4）
M = 4  # 分解因子
poly_h = [h[k::M] for k in range(M)]  # 分解为M个子滤波器# 补零对齐长度（确保所有子滤波器长度一致）
max_len = max(len(p) for p in poly_h)
poly_h = [np.pad(p, (0, max_len - len(p))) for p in poly_h]
5. 多相滤波实现
# 初始化输出
y_poly = np.zeros_like(x)# 处理每个子滤波器分支
for k in range(M):# 抽取输入信号的相位分量x_k = x[k::M]# 子滤波器滤波y_k = lfilter(poly_h[k], 1, x_k)# 上采样并添加延迟y_up = np.zeros(len(x))y_up[k::M] = y_k  # 上采样（插入零）y_up = np.roll(y_up, -k)  # 延迟补偿y_poly += y_up  # 合并分支结果# 截断初始延迟
y_poly = y_poly[:len(x)-N]
y_fir = y_fir[:len(x)-N]
x_trim = x[:len(x)-N]
y_fir = np.roll(y_fir, -3)
6. 可视化对比
plt.figure(figsize=(12, 8))# 原始信号与滤波结果
plt.subplot(3,1,1)
plt.plot(x_trim, label='原始信号', alpha=0.5)
plt.plot(y_fir, label='FIR滤波结果', linewidth=2)
plt.legend()
plt.title('FIR滤波效果')y_fir = y_fir[0::M] #抽取
y_poly = y_poly[0::M] #抽取# 多相滤波结果对比
plt.subplot(3,1,2)
plt.plot(y_poly, label='多相滤波结果', linestyle='--')
plt.plot(y_fir, label='FIR滤波结果', alpha=0.7)
plt.legend()
plt.title('多相滤波与FIR结果对比')# 误差分析
plt.subplot(3,1,3)
error = y_fir - y_poly[:len(y_fir)]
plt.plot(error, label='误差', color='red')
plt.legend()
plt.title('误差曲线 (最大误差: {:.2e})'.format(np.max(np.abs(error))))plt.tight_layout()
plt.show()

在这里插入图片描述

三、代码输出验证

  1. 图形对比

    • 第一张图展示原始信号与FIR滤波结果。
    • 第二张图叠加显示FIR与多相滤波结果，两者应完全重合。
    • 第三张图显示误差曲线。

  2. 数值验证
    误差曲线最大值接近机器精度，证明两种结构数学等价。

四、关键点说明

  1. 多相分解的物理意义

    • 每个子滤波器处理信号的特定相位分量，通过并行化降低计算复杂度。

  2. 延迟补偿的重要性

    • 分支信号需通过np.roll对齐时间轴，确保相位同步。

  3. 应用场景优势

    • 在多速率系统中（如抽取/插值），多相分解可减少计算量达 M M M倍。

通过上述实现，可直观验证FIR滤波器与其多相分解形式的等效性，为信号处理系统优化提供可靠依据。

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编程日记 2025/8/16 9:45:52

图论·拓扑排序

拓扑排序 有向无环图的遍历 检查有向图是否连通/有环 核心操作 统计度数&#xff0c;对于度为0的点作为起始点&#xff0c;添加度为0的点作为遍历 如何验证有环&#xff1f;注意不建议直接模拟&#xff0c;如果出现环这起始点的度一定不为0&#xff0c;肯定会少遍历一些点&…...

编程日记 2025/8/16 1:37:49

Uniapp组件 Textarea 字数统计和限制

Uniapp Textarea 字数统计和限制 在 Uniapp 中&#xff0c;可以通过监听 textarea 的 input 事件来实现字数统计功能。以下是一个简单的示例&#xff0c;展示如何在 textarea 的右下角显示输入的字符数。 示例代码 首先&#xff0c;在模板中定义一个 textarea 元素&#xff…...

编程日记 2025/8/16 1:35:45

一文了解JVM的垃圾回收

Java堆内存结构 java堆内存是垃圾回收器管理的主要区域&#xff0c;也被称为GC堆。 为了方便垃圾回收&#xff0c;堆内存被分为新生代、老年代和永久代。 新创建的对象的内存会在新生代中分配&#xff0c;达到一定存活时长后会移入老年代&#xff0c;而永久代存储的是类的元数…...

编程日记 2025/8/16 11:39:43

Vector底层结构和源码分析（JDK1.8）

参考视频&#xff1a;韩顺平Java集合 Vector 类的定义说明&#xff1a; Vector 的底层也是一个对象数组&#xff0c;protected Object[] elementData;Vector 是线程同步的&#xff0c;即线程安全&#xff0c;Vectoe 类的操作方法带有 synchronized 关键字&#xff1a;public sy…...

编程日记 2025/8/16 9:53:53

uni-app+vue3学习随笔

目录相关 static文件 编译器会把static目录中的内容整体复制到最终编译包内&#xff0c; 非 static 目录下的文件&#xff08;vue组件、js、css 等&#xff09;只有被引用时&#xff0c;才会被打包编译。 css、less/scss 等资源不要放在 static 目录下&#xff0c;建议这些…...

编程日记 2025/8/17 20:53:41

JetBrains（全家桶: IDEA、WebStorm、GoLand、PyCharm） 2024.3+ 2025 版免费体验方案

JetBrains&#xff08;全家桶: IDEA、WebStorm、GoLand、PyCharm&#xff09; 2024.3 2025 版免费体验方案 前言 JetBrains IDE 是许多开发者的主力工具&#xff0c;但从 2024.02 版本起&#xff0c;JetBrains 调整了试用政策&#xff0c;新用户不再享有默认的 30 天免费试用…...

编程日记 2025/8/16 9:45:45

移远通信联合德壹发布全球首款搭载端侧大模型的AI具身理疗机器人

在汹涌澎湃的人工智能浪潮中&#xff0c;具身智能正从实验室构想迈向现实应用。移远通信凭借突破性的端侧AI整体解决方案&#xff0c;为AI机器人强势赋能&#xff0c;助力其实现跨行业拓展&#xff0c;从工业制造到服务接待&#xff0c;再到医疗康养&#xff0c;不断改写各行业…...

编程日记 2025/8/17 20:51:18

嵌入式硬件篇---手柄控制控制麦克纳姆轮子

文章目录 前言1. 变量定义2. 摇杆死区设置3. 模式检查4. 摇杆数据处理4.1 右摇杆垂直值&#xff08;psx_buf[7]&#xff09;4.2 右摇杆水平值&#xff08;psx_buf[8]&#xff09;4.3 左摇杆水平值&#xff08;psx_buf[5]&#xff09;4.4 左摇杆垂直值&#xff08;psx_buf[6]&am…...

编程日记 2025/8/18 5:26:23