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【统计至简】【古典概率模型】联合概率、边缘概率、条件概率、全概率

news 来源：原创 2025/8/19 5:33:49

联合概率、边缘概率、条件概率

联合概率
边缘概率
条件概率
全概率

一副标准扑克牌有 54 张，包括 52 张常规牌（13 个点数，每个点数有 4 种花色）和 2 张王（大、小王）。我们从中随机抽取一张牌，定义以下事件：

事件 A：抽到的牌是红桃
事件 B：抽到的牌是 K

联合概率

联合概率联合概率是指两个事件同时发生的概率，即抽到的牌既是红桃又是 K 的概率。在扑克牌中，既是红桃又是 K 的牌只有 1 张，即红桃 K。所以事件 A 和事件 B 的联合概率 $\cap B)$ 为：
$\cap B)=\frac{1}{54}$

边缘概率

边缘概率是只考虑一个事件发生的概率，而不考虑另一个事件的情况。

对于事件 A（抽到红桃），扑克牌中红桃有 13 张，所以事件 A 的边缘概率 $P (A)$ 为：
$P(A)=\frac{13}{54}$
对于事件 B（抽到 K），扑克牌中 K 有 4 张，所以事件 B 的边缘概率 $P (B)$ 为：
$P(B)=\frac{4}{54}=\frac{2}{27}$

条件概率

条件概率是在某个事件已经发生的条件下，另一个事件发生的概率。

在事件 B（抽到 K）已经发生的条件下，求事件 A（抽到红桃）的概率，即 $P (A ∣ B)$ 。因为已知抽到的是 K，而 4 张 K 中只有 1 张是红桃 K，所以：
$P(A|B)=\frac{1}{4}$
在事件 A（抽到红桃）已经发生的条件下，求事件 B（抽到 K）的概率，即 $P (B ∣ A)$ 。因为已知抽到的是红桃，而 13 张红桃中只有 1 张是 K，所以：
$P(B|A)=\frac{1}{13}$

根据前面提到的条件概率公式 $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ ，我们可以验证一下：已知 $\cap B)=\frac{1}{54}$ ， $P(B)=\frac{4}{54}$ ，则 $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{54}}{\frac{4}{54}}=\frac{1}{4}$ 符合我们前面计算的结果。

全概率

假设一副扑克牌，去掉大小王共 52 张牌，将其分为两组，其中一组是黑色牌（黑桃和梅花）共 26 张，记为事件 $B_1$ ；另一组是红色牌（红桃和方块）共 26 张，记为事件 $B_2$ 。我们定义事件A为 “抽到的牌是 K”。

首先， $B_1$ 和 $B_2$ 构成了样本空间的一个划分，即 $B_1$ 和 $B_2$ 互斥（一副牌不可能既是黑色又是红色），且 $B_1\cup B_2$ 是整个样本空间（所有牌不是黑色就是红色）。已知 $P(B_1)=P(B_2)=\frac{26}{52}=\frac{1}{2}$ ，即在没有任何其他条件的情况下，抽到黑色牌和红色牌的概率都是 $\frac{1}{2}$ 。
在黑色牌组 $B_1$ 中，K 有 2 张（黑桃 K 和梅花 K），所以在 $B_1$ 发生的条件下，A发生的概率 $P(A|B_1)=\frac{2}{26}=\frac{1}{13}$ 。
在红色牌组 $B_2$ 中，K 也有 2 张（红桃 K 和方块 K），所以 $P(A|B_2)=\frac{2}{26}=\frac{1}{13}$ 。
根据全概率公式 $P(A)=\sum_{i = 1}^{n}P(B_i)P(A|B_i)$ ，这里 $n = 2$ ，则：
$KaTeX parse error: No such environment: align* at position 7: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲*̲}̲ P(A)&=P(B_1)P(…$
这与我们直接计算从 52 张牌中抽到 K 的概率结果是一致的，即 $\frac{4}{52}=\frac{1}{13}$ ，说明全概率公式是合理且有效的。它通过将一个复杂事件A分解为在不同条件 $B_i$ 下的简单事件，然后综合这些简单事件的概率来计算复杂事件的概率。

【统计至简】【古典概率模型】联合概率、边缘概率、条件概率、全概率

联合概率、边缘概率、条件概率联合概率边缘概率条件概率全概率一副标准扑克牌有 54 张，包括 52 张常规牌（13 个点数，每个点数有 4 种花色）和 2 张王（大、小王）。我们从中随机抽取一张牌，定义以…...

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联合概率、边缘概率、条件概率

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