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向量内积（点乘）和外积（叉乘）

news 来源：原创 2025/8/25 5:57:13

文章目录

- 1. 向量的内积（点积）
- - 1.1 定义
  - 1.2 几何意义
  - - 表征两个向量的投影关系
    - 计算向量夹角的余弦值
  - 1.3 重要性质
  - 1.4 应用场景
- 2. 向量的外积（叉积）
- - 2.1 定义（仅适用于三维空间）
  - 2.2 几何意义
  - 2.3 重要性质
  - 2.4 应用场景
- 3. 内积与外积对比
- 4. 记忆口诀

1. 向量的内积（点积）

1.1 定义

对于n维向量 $\mathbf{a} = (a_1, a_2, ..., a_n)$ 和 $\mathbf{b} = (b_1, b_2, ..., b_n)$ ，其内积定义为：

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n a_i b_i$

三维向量特例：
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos\theta$
（ $\theta$ 为两向量夹角）

1.2 几何意义

表征两个向量的投影关系
计算向量夹角的余弦值
判断向量正交性：当内积为0时两向量垂直

表征两个向量的投影关系

在这里插入图片描述
如上图，可以通过向量内积计算向量 $\mathbf{P}$ 在 $\mathbf{Q}$ 上的投影为：
$\ proj_Q \mathbf{P} = \frac{\mathbf{P} \cdot \mathbf{Q}}{\|\mathbf{Q}\|^2} \mathbf{Q} \$
向量 $\mathbf{P}$ 垂直于 $\mathbf{Q}$ 的分量为：
$\ perp_Q \mathbf{P} = \mathbf{P} - proj_Q \mathbf{P} \\ = \mathbf{P} - \frac{\mathbf{P} \cdot \mathbf{Q}}{\|\mathbf{Q}\|^2} \mathbf{Q} \$
其中，向量 $\mathbf{P}$ 在 $\mathbf{Q}$ 上的投影可以看作 $\mathbf{P}$ 的线性变换，可以写成矩阵向量积：
$\ proj_Q \mathbf{P} = \frac{1}{\|Q\|^2} \begin{bmatrix} Q_x^2 & Q_x Q_y & Q_x Q_z \\ Q_x Q_y & Q_y^2 & Q_y Q_z \\ Q_x Q_z & Q_y Q_z & Q_z^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} P_x \\ P_y \\ P_z \end{bmatrix} \tag{2} \$

计算向量夹角的余弦值

根据向量内积公式：
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos\theta$
已知 $\mathbf{a} 和 \mathbf{b}$ 可以计算其夹角。

另外还可以推导三角形的余弦定理。如下图所示，根据图中的关系可知： $\mathbf{c=a-b}$ ，因此
$\mathbf{c}^2=\mathbf{(a-b)}^2=\mathbf{a}^2+\mathbf{b}^2-2\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=\mathbf{a}^2+\mathbf{b}^2-2|\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos\theta$
上述即余弦定理的公式。
在这里插入图片描述

1.3 重要性质

交换律
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$
分配律
$\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}$
数乘结合律
$(k\mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$
正定性
$\mathbf{a}^2 \geq 0$
当且仅当 $\mathbf{a}^2 = 0$ 时，有 $\mathbf{a} = 0$ 。
对称性
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$
线性性
$(\lambda \mathbf{a} + \mu \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c} = \lambda (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) + \mu (\mathbf{b} \cdot \mathbf{c})$
对任意实数 $\lambda, \mu$ 均成立。
向量夹角公式
$\cos \angle (\mathbf{a, b}) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{|a||b|}}$
柯西-施瓦茨不等式
$|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| \leq \mathbf{|a||b|}$
当且仅当 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 共线时，等号成立。

1.4 应用场景

计算向量夹角： $cos\theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$
物理中的功计算： $\mathbf{F} \cdot \mathbf{s}$
机器学习中的相似度计算

2. 向量的外积（叉积）

2.1 定义（仅适用于三维空间）

对于三维向量 $\mathbf{a} = (a_x, a_y, a_z)$ 和 $\mathbf{b} = (b_x, b_y, b_z)$ ：

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}$

模长计算公式：
$|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}||\mathbf{b}| sin\theta$

其方向遵循右手法则：
在这里插入图片描述

另外，也可以将向量的表示转化为矩阵的运算：
在这里插入图片描述

2.2 几何意义

结果向量垂直于原向量所在平面
模长等于两向量构成的平行四边形面积
方向遵循右手法则

2.3 重要性质

反交换律： $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -\mathbf{b} \times \mathbf{a}$
与自身叉积为零： $\mathbf{a} \times \mathbf{a} = \mathbf{0}$
分配律： $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c}$

2.4 应用场景

计算平面法向量
物理中的力矩计算： $\mathbf{M} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$
计算三角形/平行四边形面积

3. 内积与外积对比

特性	内积（点积）	外积（叉积）
结果类型	标量	向量
几何意义	投影关系	面积与方向
计算公式	$\sum a_i b_i$ 或 $ab\cos\theta$	$ab\sin\theta$ 且方向垂直
交换律	满足	不满足（反交换）
零结果条件	向量正交	向量平行
适用空间	任意维度	仅限三维空间

4. 记忆口诀

内积看投影，外积看面积
点积标量积，叉积向量生
右手定方向，正交看归零

理解要点：内积关注向量的"相似程度"，外积关注向量的"空间关系"