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《机器学习数学基础》补充资料：过渡矩阵和坐标变换推导

news 来源：原创 2025/8/28 23:50:13

尽管《机器学习数学基础》这本书，耗费了比较长的时间和精力，怎奈学识有限，错误难免。因此，除了在专门的网页（ 勘误和修订 ）中发布勘误和修订内容之外，对于重大错误，我还会以专题的形式发布，并做出更多的相关解释。

更欢迎有识之士、广大读者朋友，指出其中的错误。非常感谢大家的帮助。

在《机器学习数学基础》第29页到第30页，推导过渡矩阵和坐标变换的时候，原文有一些错误。下面将推导过程重新编写如下，并且增加一些更详细的说明。此说明没有写入原文，是为了协助理解这段推导而作。

针对性的修改，请参阅：勘误与修订

设 { α 1 , ⋯ , α n } \{\pmb{\alpha}_1, \cdots, \pmb{\alpha}_n\} {α1​,⋯,αn​}（ α i \pmb{\alpha}_i αi​ 表示列向量） 是某个向量空间的一个基，则该空间中一个向量 O A → \overrightarrow{OA} OA 可以描述为：

O A → = x 1 α 1 + ⋯ + x n α n (1.3.4) \overrightarrow{OA} = x_1\pmb{\alpha}_1 + \cdots + x_n\pmb{\alpha}_n\tag{1.3.4} OA =x1​α1​+⋯+xn​αn​(1.3.4)
其中的 ( x 1 , ⋯ , x n ) (x_1, \cdots, x_n) (x1​,⋯,xn​) 即为向量 O A → \overrightarrow{OA} OA 在基 { α 1 , ⋯ , α n } \{\pmb{\alpha}_1, \cdots, \pmb{\alpha}_n\} {α1​,⋯,αn​} 的坐标。

如果有另外一个基 { β 1 , ⋯ , β n } \{\pmb{\beta}_1, \cdots, \pmb{\beta}_n\} {β1​,⋯,βn​}（ β i \pmb{\beta}_i βi​ 表示列向量），向量 O A → \overrightarrow{OA} OA 又描述为：

O A → = x 1 ′ β 1 + ⋯ + x n ′ β n (1.3.5) \overrightarrow{OA} = x_1'\pmb{\beta}_1 + \cdots + x_n'\pmb{\beta}_n\tag{1.3.5} OA =x1′​β1​+⋯+xn′​βn​(1.3.5)
那么，同一个向量空间的这两个基有没有关系呢？有。不要忘记，基是一个向量组，例如基 { β 1 , ⋯ , β n } \{\pmb{\beta}_1, \cdots, \pmb{\beta}_n\} {β1​,⋯,βn​} 中的每个向量也在此向量空间，所以可以用基 { α 1 , ⋯ , α n } \{\pmb{\alpha}_1, \cdots, \pmb{\alpha}_n\} {α1​,⋯,αn​} 线性表出，即：

{ β 1 = b 11 α 1 + ⋯ + b n 1 α n ⋮ β n = b 1 n α 1 + ⋯ + b n n α n \begin{cases}\begin{split}\pmb{\beta}_1 &= b_{11}\pmb{\alpha}_1 + \cdots + b_{n1}\pmb{\alpha}_n \\ \vdots \\\pmb{\beta}_n &= b_{1n}\pmb{\alpha}_1 + \cdots + b_{nn}\pmb{\alpha}_n \end{split}\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧​β1​⋮βn​​=b11​α1​+⋯+bn1​αn​=b1n​α1​+⋯+bnn​αn​​​
以矩阵（这里提前使用了矩阵的概念，是因为本书已经在前言中声明，不假定读者完全没有学过高等数学。关于矩阵的更详细内容，请参阅第2章）的方式，可以表示为：

[ β 1 ⋯ β n ] = [ α 1 ⋯ α n ] [ b 11 ⋯ b 1 n ⋮ b n 1 ⋯ b n n ] (1.3.6) \begin{equation} \begin{split} \begin{bmatrix}\pmb{\beta}_1&\cdots&\pmb{\beta}_n\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\pmb{\alpha}_1&\cdots&\pmb{\alpha}_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_{11} & \cdots & b_{1n}\\\vdots\\b_{n1} & \cdots &b_{nn}\end{bmatrix} \end{split} \end{equation}\tag{1.3.6} [β1​​⋯​βn​​]=[α1​​⋯​αn​​] ​b11​⋮bn1​​⋯⋯​b1n​bnn​​ ​​​(1.3.6)
其中：

P = [ b 11 ⋯ b 1 n ⋮ b n 1 ⋯ b n n ] \pmb P = \begin{bmatrix}b_{11} & \cdots & b_{1n}\\\vdots\\b_{n1} & \cdots &b_{nn}\end{bmatrix} P= ​b11​⋮bn1​​⋯⋯​b1n​bnn​​ ​
称为基 { α 1 , ⋯ , α n } \{\pmb{\alpha}_1, \cdots, \pmb{\alpha}_n\} {α1​,⋯,αn​} 向基 { β 1 , ⋯ , β n } \{\pmb{\beta}_1, \cdots, \pmb{\beta}_n\} {β1​,⋯,βn​} 的过渡矩阵。显然，过渡矩阵实现了一个基向另一个基的变换。

定义 在同一个向量空间，由基 { α 1 ⋯ α n } \{\pmb{\alpha}_1\quad\cdots\quad\pmb{\alpha}_n\} {α1​⋯αn​} 向基 { β 1 ⋯ β n } \{\pmb{\beta}_1\quad\cdots\quad\pmb{\beta}_n\} {β1​⋯βn​} 的过渡矩阵是 P \pmb{P} P ，则：
[ β 1 ⋯ β n ] = [ α 1 ⋯ α n ] P [\pmb{\beta}_1\quad\cdots\quad\pmb{\beta}_n] = [\pmb{\alpha}_1\quad\cdots\quad\pmb{\alpha}_n]\pmb P [β1​⋯βn​]=[α1​⋯αn​]P

根据（1.3.5）式，可得：

x 1 ′ β 1 + ⋯ + x n ′ β n = x 1 ′ b 11 α 1 + ⋯ + x 1 ′ b n 1 α n + ⋯ + x n ′ b 1 n α 1 + ⋯ + x n ′ b n n α n = ( x 1 ′ b 11 + ⋯ + x n ′ b 1 n ) α 1 + ⋯ + ( x 1 ′ b n 1 + ⋯ + x n ′ b n n ) α n \begin{split}x_1'\pmb{\beta}_1 + \cdots + x_n'\pmb{\beta}_n &= x_1'b_{11}\pmb{\alpha}_1 + \cdots + x_1'b_{n1}\pmb{\alpha}_n \\ & \quad + \cdots \\ & \quad + x_n'b_{1n}\pmb{\alpha}_1 + \cdots + x_n'b_{nn}\pmb{\alpha}_n \\ &=(x_1'b_{11}+ \cdots + x_n'b_{1n})\pmb{\alpha}_1 \\ & \quad + \cdots \\ &\quad+(x_1'b_{n1} + \cdots + x_n'b_{nn})\pmb{\alpha}_n\end{split} x1′​β1​+⋯+xn′​βn​​=x1′​b11​α1​+⋯+x1′​bn1​αn​+⋯+xn′​b1n​α1​+⋯+xn′​bnn​αn​=(x1′​b11​+⋯+xn′​b1n​)α1​+⋯+(x1′​bn1​+⋯+xn′​bnn​)αn​​
（1.3.4）式 和（1.3.5）式描述的是同一个向量，所以：

{ x 1 = x 1 ′ b 11 + ⋯ + x n ′ b 1 n ⋮ x n = x 1 ′ b n 1 + ⋯ + x n ′ b n n \begin{cases}\begin{split}x_1 &= x_1'b_{11} + \cdots + x_n'b_{1n}\\&\vdots\\x_n &= x_1'b_{n1} + \cdots + x_n'b_{nn}\end{split}\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧​x1​xn​​=x1′​b11​+⋯+xn′​b1n​⋮=x1′​bn1​+⋯+xn′​bnn​​​
如果写成矩阵形式，即：

[ x 1 ⋮ x n ] = [ b 11 ⋯ b 1 n ⋮ b n 1 ⋯ b n n ] [ x 1 ′ ⋮ x n ′ ] (1.3.7) \begin{bmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}b_{11} & \cdots & b_{1n}\\\vdots\\b_{n1} & \cdots &b_{nn}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1'\\\vdots\\x_n'\end{bmatrix}\tag{1.3.7} ​x1​⋮xn​​ ​= ​b11​⋮bn1​​⋯⋯​b1n​bnn​​ ​ ​x1′​⋮xn′​​ ​(1.3.7)
表示了在同一个向量空间中，向量在不同基下的坐标之间的变换关系，我们称为坐标变换公式。

定义 在某个向量空间中，由基 { α 1 ⋯ α n } \{\pmb{\alpha}_1\quad\cdots\quad\pmb{\alpha}_n\} {α1​⋯αn​} 向基 { β 1 ⋯ β n } \{\pmb{\beta}_1\quad\cdots\quad\pmb{\beta}_n\} {β1​⋯βn​} 的过渡矩阵是 P \pmb{P} P 。某向量在基 { α 1 ⋯ α n } \{\pmb{\alpha}_1\quad\cdots\quad\pmb{\alpha}_n\} {α1​⋯αn​} 的坐标是 x = [ x 1 ⋮ x n ] \pmb{x}=\begin{bmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{bmatrix} x= ​x1​⋮xn​​ ​，在基 { β 1 ⋯ β n } \{\pmb{\beta}_1\quad\cdots\quad\pmb{\beta}_n\} {β1​⋯βn​} 的坐标是 x ′ = [ x 1 ′ ⋮ x n ′ ] \pmb x'=\begin{bmatrix}x_1'\\\vdots \\x_n'\end{bmatrix} x′= ​x1′​⋮xn′​​ ​，这两组坐标之间的关系是：
x = P x ′ \pmb x = \pmb P \pmb x' x=Px′

《机器学习数学基础》第29页到第30页的错误，是我讲授《机器学习数学基础》的课程时发现的。现在深刻体会到：教，然后知不足。教学相长，认真地研究教学，也是自我提升。

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编程日记 2025/8/22 2:38:43

大型WLAN组网部署（Large scale WLAN network deployment）

大型WLAN组网部署 大型WLAN网络关键技术 技术 作用 VLAN Pool 通过VLAN Pool把接入的用户分配到不同的VLAN&#xff0c;可以减少广播域&#xff0c;减少网络中的广播报文&#xff0c;提升网络性能。 DHCP Option 43 & 52 当AC和AP间是三层组网时&#xff0c;AP通过…...

编程日记 2025/8/28 4:12:31

MQ保证消息的顺序性

在消息队列&#xff08;MQ&#xff09;中保证消息的顺序性是一个常见的需求&#xff0c;尤其是在需要严格按顺序处理业务逻辑的场景&#xff08;例如&#xff1a;订单创建 → 支付 → 发货&#xff09;。 一、消息顺序性被破坏的原因 生产者异步/并行发送&#xff1a;消息可能…...

编程日记 2025/8/27 7:13:06

SQL Server查询计划操作符（7.3）——查询计划相关操作符（9）

7.3. 查询计划相关操作符 78）Repartition Streams：该操作符消费多个输入流并产生多个输出流。期间，记录内容与格式保持不变。如果查询优化器使用一个位图过滤（bitmap filter），则输出流中的数据行数将会减少。一个输入流的每行记录被放入一个输出流。如果该操作符保留顺序…...

编程日记 2025/8/16 12:06:18

杨校老师课堂之零基础入门C++备战信息学奥赛-基础篇

零基础快速入门C C学习路线一、基础语法1. C基础框架2. C语言输出3. C 语言输入4. C 数据类型5. C 赋值6. 运算符与表达式7. 控制结构语句7.1 if分支结构语句7.1.1 单分支结构语句7.1.2 双分支结构语句7.1.3 多分支结构语句 7.2 switch开关语句 8. 循环结构语句8.1 for循环8.2 …...

编程日记 2025/8/24 2:11:20

wxWidgets GUI 跨平台 入门学习笔记

准备 参考 https://wiki.wxwidgets.org/Microsoft_Visual_C_NuGethttps://wiki.wxwidgets.org/Tools#Rapid_Application_Development_.2F_GUI_Buildershttps://docs.wxwidgets.org/3.2/https://docs.wxwidgets.org/latest/overview_helloworld.htmlhttps://wizardforcel.gitb…...

编程日记 2025/8/16 12:07:55

Aws batch task 无法拉取ECR 镜像unable to pull secrets or registry auth 问题排查

AWS batch task使用了自定义镜像&#xff0c;在提作业后出现错误 具体错误是ResourceInitializationError: unable to pull secrets or registry auth: The task cannot pull registry auth from Amazon ECR: There is a connection issue between the task and Amazon ECR. C…...

编程日记 2025/8/28 16:09:05

亚信安全发布2024威胁年报和2025威胁预测

在当今数字化时代&#xff0c;网络空间已成为全球经济、社会和国家安全的核心基础设施。随着信息技术的飞速发展&#xff0c;网络连接了全球数十亿用户&#xff0c;推动了数字经济的蓬勃发展&#xff0c;同时也带来了前所未有的安全挑战。2024年&#xff0c;网络安全形势愈发复…...

编程日记 2025/8/18 23:54:23

verb words

纠正correct remedy 修正modify 协商 confer 磋商/谈判 negotiate 通知notice notify *宣布announce 声明declare 宣告 declare *颁布 promulgate /introduce 协调coordinate 评估evaluate assess 撤离evacuate *规定stipulate 参与participate&#xff0c; 涉及refer…...

编程日记 2025/8/21 22:19:45