探秘基带算法：从原理到5G时代的通信变革【五】CORDIC算法

本博客为系列博客，主要讲解各基带算法的原理与应用，包括：viterbi解码、Turbo编解码、Polar编解码、CORDIC算法、CRC校验、FFT/DFT、QAMtiaozhi/解调、QPSK调制/解调。其他博客链接如下：

1. 探秘基带算法：从原理到5G时代的通信变革【一】引言
2. 探秘基带算法：从原理到5G时代的通信变革【二】Viterbi解码
3. 探秘基带算法：从原理到5G时代的通信变革【三】Turbo 编解码
4. 探秘基带算法：从原理到5G时代的通信变革【四】Polar 编解码（一）
5. 探秘基带算法：从原理到5G时代的通信变革【四】Polar 编解码（二）
6. 探秘基带算法：从原理到5G时代的通信变革【五】CORDIC算法
7. 探秘基带算法：从原理到5G时代的通信变革【六】CRC 校验
8. 探秘基带算法：从原理到5G时代的通信变革【七】FFT/DFT
9. 探秘基带算法：从原理到5G时代的通信变革【八】QAM 调制 / 解调
10. 探秘基带算法：从原理到5G时代的通信变革【九】QPSK调制/解调
11. 探秘基带算法：从原理到5G时代的通信变革【十】基带算法应用与对比

2.4 CORDIC算法

在现代计算领域，许多复杂数学运算（如三角函数、指数函数和对数函数）的高效实现离不开一种经典算法——CORDIC（Coordinate Rotation Digital Computer）。本文将深入探讨CORDIC算法的原理、分类体系、优缺点分析以及其广泛的应用方向，并通过详细的公式推导和实例解析帮助读者理解这一强大的数字计算工具。

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2.4.1 CORDIC算法的基本原理

CORDIC算法是一种用于高效计算旋转、矢量模长和三角函数等操作的迭代方法。它的核心思想是通过一系列简单的移位和加法操作来逼近复杂的数学运算。这种方法特别适合硬件实现，因为移位和加法操作在数字电路中非常高效。

假设我们希望计算一个向量 $(x,y)$ 绕原点旋转角度 $\theta$ 后的新坐标 $(x^{\prime },y^{\prime })$。根据旋转矩阵公式：

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$$

直接计算 $\cos \theta$ 和 $\sin \theta$ 需要大量乘法操作，而CORDIC算法通过以下方式简化了这一过程。

首先，我们将旋转角度 $\theta$ 分解为一系列小角度 ${\theta }_i$ 的组合，这些小角度满足：

$${\tan }^{-1}(2^{-i})={\theta }_i$$

其中 $i=0,1,2,\dots$。因此，每次迭代只需要计算一个简单的旋转操作，而不是直接计算复杂的三角函数值。

迭代公式如下：

$$x_{i+1}=x_i-d_i\cdot y_i\cdot 2^{-i}$$

$$y_{i+1}=y_i+d_i\cdot x_i\cdot 2^{-i}$$

$$z_{i+1}=z_i-d_i\cdot {\theta }_i$$

这里：

• $d_i=\text{sgn}(z_i)$，表示当前剩余角度的方向。
• ${\theta }_i={\tan }^{-1}(2^{-i})$ 是预定义的角度序列。

经过多次迭代后，最终可以得到旋转后的坐标 $(x^{\prime },y^{\prime })$ 和剩余角度 $z^{\prime }$。

图：CORDIC算法的基本几何原理。

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2.4.2 方法论与分类体系

CORDIC算法可以根据不同的应用场景分为三种主要模式：旋转模式、矢量模式和线性模式。

旋转模式

在CORDIC算法的旋转模式下，目标是将一个初始向量 $(x_0,y_0)$ 绕原点旋转到目标角度 $z_0$。这种模式广泛应用于需要频繁进行旋转操作的场景，例如信号处理中的调制解调、图像处理中的几何变换以及导航系统中的姿态计算等。为了实现这一目标，CORDIC算法通过一系列简单的迭代步骤逐步逼近目标角度。

具体来说，旋转模式的核心思想是将复杂的旋转操作分解为一系列小角度的旋转。这些小角度 ${\theta }_i$ 满足 ${\tan }^{-1}(2^{-i})={\theta }_i$，其中 $i=0,1,2,\dots$ 是迭代次数。每次迭代中，算法根据当前剩余角度的方向调整旋转方向，并通过移位和加法操作完成一次近似旋转。最终，经过多次迭代后，输入向量会逐渐逼近目标旋转角度。

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• 迭代公式

公式总结如下：

$$x_{i+1}=x_i-d_i\cdot y_i\cdot 2^{-i}$$

$$y_{i+1}=y_i+d_i\cdot x_i\cdot 2^{-i}$$

$$z_{i+1}=z_i-d_i\cdot {\theta }_i$$

这里，$d_i=\text{sgn}(z_i)$ 表示当前剩余角度的方向（正或负），${\theta }_i={\tan }^{-1}(2^{-i})$ 是预定义的小角度序列。每次迭代中，$x_i$ 和 $y_i$ 分别表示向量的横纵坐标，而 $z_i$ 表示当前剩余的角度偏差。通过不断更新这三个变量，算法逐步逼近目标状态。

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• 示例

例如，在 CORDIC 算法的旋转模式下，我们将初始向量 $(x_0,y_0)=(1,0)$ 绕原点旋转到目标角度 $z_0=\frac{\pi }{3}$（即 60 度）。为了完整展示 CORDIC 的计算过程，我们将逐步进行多次迭代，直到逼近目标角度。

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初始条件

首先，我们需要初始化变量：

• $x_0=1$
• $y_0=0$
• $z_0=\frac{\pi }{3}\approx 1.0472$ （以弧度为单位）

预先计算出小角度序列 ${\theta }_i$：

• ${\theta }_0={\tan }^{-1}(1)=\frac{\pi }{4}\approx 0.7854$
• ${\theta }_1={\tan }^{-1}(0.5)\approx 0.4636$
• ${\theta }_2={\tan }^{-1}(0.25)\approx 0.245$
• ${\theta }_3={\tan }^{-1}(0.125)\approx 0.1244$
• ${\theta }_4={\tan }^{-1}(0.0625)\approx 0.0624$

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第一次迭代 ($i=0$)

计算方向 $d_0$ 和小角度 ${\theta }_0$：

• $d_0=\text{sgn}(z_0)=\text{sgn}(1.0472)=1$
• ${\theta }_0=0.7854$

代入公式计算新的坐标和剩余角度：
$$x_1=x_0-d_0\cdot y_0\cdot 2^0=1-1\cdot 0\cdot 1=1$$

$$y_1=y_0+d_0\cdot x_0\cdot 2^0=0+1\cdot 1\cdot 1=1$$

$$z_1=z_0-d_0\cdot {\theta }_0=1.0472-1\cdot 0.7854=0.2618$$

经过第一次迭代后：

• $x_1=1$
• $y_1=1$
• $z_1=0.2618$

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第二次迭代 ($i=1$)

计算方向 $d_1$ 和小角度 ${\theta }_1$：

• $d_1=\text{sgn}(z_1)=\text{sgn}(0.2618)=1$
• ${\theta }_1=0.4636$

代入公式计算新的坐标和剩余角度：
$$x_2=x_1-d_1\cdot y_1\cdot 2^{-1}=1-1\cdot 1\cdot 0.5=0.5$$

$$y_2=y_1+d_1\cdot x_1\cdot 2^{-1}=1+1\cdot 1\cdot 0.5=1.5$$

$$z_2=z_1-d_1\cdot {\theta }_1=0.2618-1\cdot 0.4636=-0.2018$$

经过第二次迭代后：

• $x_2=0.5$
• $y_2=1.5$
• $z_2=-0.2018$

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第三次迭代 ($i=2$)

计算方向 $d_2$ 和小角度 ${\theta }_2$：

• $d_2=\text{sgn}(z_2)=\text{sgn}(-0.2018)=-1$
• ${\theta }_2=0.245$

代入公式计算新的坐标和剩余角度：
$$x_3=x_2-d_2\cdot y_2\cdot 2^{-2}=0.5-(-1)\cdot 1.5\cdot 0.25=0.875$$

$$y_3=y_2+d_2\cdot x_2\cdot 2^{-2}=1.5+(-1)\cdot 0.5\cdot 0.25=1.375$$

$$z_3=z_2-d_2\cdot {\theta }_2=-0.2018-(-1)\cdot 0.245=0.0432$$

经过第三次迭代后：

• $x_3=0.875$
• $y_3=1.375$
• $z_3=0.0432$

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第四次迭代 ($i=3$)

计算方向 $d_3$ 和小角度 ${\theta }_3$：

• $d_3=\text{sgn}(z_3)=\text{sgn}(0.0432)=1$
• ${\theta }_3=0.1244$

代入公式计算新的坐标和剩余角度：
$$x_4=x_3-d_3\cdot y_3\cdot 2^{-3}=0.875-1\cdot 1.375\cdot 0.125=0.7219$$

$$y_4=y_3+d_3\cdot x_3\cdot 2^{-3}=1.375+1\cdot 0.875\cdot 0.125=1.4844$$

$$z_4=z_3-d_3\cdot {\theta }_3=0.0432-1\cdot 0.1244=-0.0812$$

经过第四次迭代后：

• $x_4=0.7219$
• $y_4=1.4844$
• $z_4=-0.0812$

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第五次迭代 ($i=4$)

计算方向 $d_4$ 和小角度 ${\theta }_4$：

• $d_4=\text{sgn}(z_4)=\text{sgn}(-0.0812)=-1$
• ${\theta }_4=0.0624$

代入公式计算新的坐标和剩余角度：
$$x_5=x_4-d_4\cdot y_4\cdot 2^{-4}=0.7219-(-1)\cdot 1.4844\cdot 0.0625=0.8012$$

$$y_5=y_4+d_4\cdot x_4\cdot 2^{-4}=1.4844+(-1)\cdot 0.7219\cdot 0.0625=1.4451$$

$$z_5=z_4-d_4\cdot {\theta }_4=-0.0812-(-1)\cdot 0.0624=-0.0188$$

经过第五次迭代后：

• $x_5=0.8012$
• $y_5=1.4451$
• $z_5=-0.0188$

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总结

通过五次迭代，初始向量 $(x_0,y_0)=(1,0)$ 已经被旋转到接近目标角度 $\frac{\pi }{3}$。最终结果为：

• $x_5\approx 0.8012$
• $y_5\approx 1.4451$
• $z_5\approx -0.0188$ （剩余角度非常接近零）

CORDIC 算法通过简单的移位和加法操作逐步逼近目标角度，非常适合硬件实现，尤其在嵌入式系统中具有广泛应用。

需要注意的是，CORDIC算法在旋转模式下的应用可以分为不同的分类体系。例如，根据输入数据的类型，可以将其分为浮点数实现和定点数实现；根据硬件架构的不同，又可以分为串行实现和并行实现等。这些分类方式为实际应用提供了灵活性，同时也带来了性能和资源消耗之间的权衡问题。

图：旋转模式迭代次数与角度。

矢量模式

在 CORDIC 算法的矢量模式下，目标是计算一个给定向量 $(x_0,y_0)$ 的模长 $r$ 和方向角 $\theta$。这种模式适用于需要快速计算向量极坐标表示的场景，例如信号处理中的相位检测、雷达系统中的目标定位等。为了实现这一目标，CORDIC 算法通过一系列简单的迭代操作逐步逼近向量的方向角，并利用归一化常数补偿每次迭代引入的缩放效应。

具体来说，矢量模式的核心思想是将初始向量逐步旋转到 $y=0$ 的轴线上，从而使得最终的 $x_N$ 值等于向量的模长（经过归一化后）。同时，在每次迭代中记录旋转的角度变化，最终得到向量的方向角 $\theta$。以下是详细的公式推导和计算步骤。

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• 核心迭代公式

首先，矢量模式的核心迭代公式如下：
$$x_{i+1}=x_i-d_i\cdot y_i\cdot 2^{-i}$$

$$y_{i+1}=y_i+d_i\cdot x_i\cdot 2^{-i}$$

$$z_{i+1}=z_i+d_i\cdot {\theta }_i$$

这里：

• $d_i=\text{sgn}(y_i)$ 表示当前剩余角度的方向（正或负），用于决定旋转的方向。
• ${\theta }_i={\tan }^{-1}(2^{-i})$ 是预定义的小角度序列。

每次迭代中，算法会根据当前 $y_i$ 的符号调整旋转方向，使向量逐渐靠近 $y=0$ 的轴线。同时，记录每次旋转的角度变化，累加到 $z_i$ 中，最终得到方向角 $\theta =z_N$。

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• 归一化常数K

接下来，我们详细分析如何计算向量的模长 $r$ 和方向角 $\theta$。假设初始向量为 $(x_0,y_0)$，目标是计算其模长和方向角。由于每次迭代都会引入一定的缩放效应，因此最终的模长需要乘以一个归一化常数 $K$，该常数由所有迭代的缩放因子累积得到。具体地，归一化常数 $K$ 定义为：
$$K=\prod _{i=0}^{N-1}\sqrt{1+2^{-2i}}$$

对于有限次迭代 $N$，$K$ 的值可以通过预先计算并存储来简化实际应用中的复杂度。

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• 示例：计算模长和方向角

假设我们有一个初始向量 $(x_0,y_0)=(3,4)$，目标是使用 CORDIC 矢量模式计算其模长和方向角。我们将进行多次迭代，直到达到所需的精度。

（1）第一次迭代 ($i=0$)

初始条件为：

• $x_0=3$
• $y_0=4$
• $z_0=0$

计算方向 $d_0$ 和小角度 ${\theta }_0$：

• $d_0=\text{sgn}(y_0)=\text{sgn}(4)=1$
• ${\theta }_0={\tan }^{-1}(1)=\frac{\pi }{4}\approx 0.7854$

代入公式计算新的坐标和角度：
$$x_1=x_0-d_0\cdot y_0\cdot 2^0=3-1\cdot 4\cdot 1=-1$$

$$y_1=y_0+d_0\cdot x_0\cdot 2^0=4+1\cdot 3\cdot 1=7$$

$$z_1=z_0+d_0\cdot {\theta }_0=0+1\cdot 0.7854=0.7854$$

（2）第二次迭代 ($i=1$)

当前状态为：

• $x_1=-1$
• $y_1=7$
• $z_1=0.7854$

计算方向 $d_1$ 和小角度 ${\theta }_1$：

• $d_1=\text{sgn}(y_1)=\text{sgn}(7)=1$
• ${\theta }_1={\tan }^{-1}(0.5)\approx 0.4636$

代入公式计算新的坐标和角度：
$$x_2=x_1-d_1\cdot y_1\cdot 2^{-1}=-1-1\cdot 7\cdot 0.5=-4.5$$

$$y_2=y_1+d_1\cdot x_1\cdot 2^{-1}=7+1\cdot (-1)\cdot 0.5=6.5$$

$$z_2=z_1+d_1\cdot {\theta }_1=0.7854+1\cdot 0.4636=1.249$$

（3）第三次迭代 ($i=2$)

当前状态为：

• $x_2=-4.5$
• $y_2=6.5$
• $z_2=1.249$

计算方向 $d_2$ 和小角度 ${\theta }_2$：

• $d_2=\text{sgn}(y_2)=\text{sgn}(6.5)=1$
• ${\theta }_2={\tan }^{-1}(0.25)\approx 0.245$

代入公式计算新的坐标和角度：
$$x_3=x_2-d_2\cdot y_2\cdot 2^{-2}=-4.5-1\cdot 6.5\cdot 0.25=-5.725$$

$$y_3=y_2+d_2\cdot x_2\cdot 2^{-2}=6.5+1\cdot (-4.5)\cdot 0.25=5.375$$

$$z_3=z_2+d_2\cdot {\theta }_2=1.249+1\cdot 0.245=1.494$$

（4）最终结果

经过多次迭代后，我们可以得到：

• 模长 $r=K\cdot x_N$，其中 $K\approx 0.60725$（对于 $N=10$）。
• 方向角 $\theta =z_N$。

对于本例，最终结果为：
$$r=0.60725\cdot |x_N|\approx 0.60725\cdot |-5.725|\approx 3.47$$

$$\theta =z_N\approx 1.494\text{弧度}\approx 85.6^{\circ }$$

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• 分类与应用场景

CORDIC 矢量模式可以根据实现方式分为以下几类：

1. 浮点数实现：适用于高精度需求的场景，但硬件资源消耗较大。
2. 定点数实现：适合嵌入式系统，具有较低的硬件开销。
3. 串行实现：逐次完成每次迭代，适用于低功耗设备。
4. 并行实现：同时进行多次迭代，提高计算速度，但硬件复杂度较高。

CORDIC 矢量模式广泛应用于信号处理、导航系统和图像处理等领域，尤其在需要实时计算向量模长和方向角的应用中表现出色。

图：矢量模式的工作原理。

线性模式

CORDIC 算法的线性模式是一种用于计算非线性函数（如双曲函数、对数和指数函数）的有效方法。与旋转模式和矢量模式不同，线性模式通过一系列简单的线性操作将复杂的非线性问题转化为易于实现的迭代过程。这种模式的核心思想是利用 CORDIC 的基本原理，在每次迭代中通过移位和加法操作逐步逼近目标值。

在线性模式下，输入通常是一个初始值 $x_0$ 和辅助变量 $y_0$，输出则是经过一系列迭代后得到的目标值。例如，当计算对数或指数函数时，线性模式可以通过调整输入变量逐步逼近目标函数值。以下是线性模式的基本公式：

$$x_{i+1}=x_i-d_i\cdot y_i\cdot 2^{-i}$$

$$y_{i+1}=y_i+d_i\cdot x_i\cdot A\cdot 2^{-i}$$

其中：

• $d_i=\text{sgn}(y_i)$ 表示当前剩余误差的方向。
• $A$ 是一个常数，取决于具体的应用场景（例如，对于对数函数，$A=\ln (2)$；对于指数函数，$A=1/\ln (2)$）。

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• 示例：计算自然对数 $\ln (x)$

假设我们需要计算 $\ln (1.5)$，并使用 CORDIC 线性模式逐步逼近结果。我们将初始值 $y_0$ 设置为 $-0.1$，以展示其对计算过程的影响。

初始条件

• $x_0=1.5-1=0.5$ （将输入标准化为 $x=1+f$ 的形式）

• $y_0=-0.1$

• $A=\ln (2)\approx 0.693$ 是一个常数，用于线性模式下的对数计算。

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（1）第一次迭代 ($i=0$)

计算方向 $d_0$

由于 $y_0=-0.1<0$，因此：
$$d_0=\text{sgn}(y_0)=-1$$

更新 $x_1$ 和 $y_1$

代入公式计算：
$$x_1=x_0-d_0\cdot y_0\cdot 2^0=0.5-(-1)\cdot (-0.1)\cdot 1=0.5-0.1=0.4$$

$$y_1=y_0+d_0\cdot x_0\cdot A\cdot 2^0=-0.1+(-1)\cdot 0.5\cdot 0.693\cdot 1=-0.1-0.3465=-0.4465$$

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（2）第二次迭代 ($i=1$)

计算方向 $d_1$

由于 $y_1=-0.4465<0$，因此：
$$d_1=\text{sgn}(y_1)=-1$$

更新 $x_2$ 和 $y_2$

代入公式计算：
$$x_2=x_1-d_1\cdot y_1\cdot 2^{-1}=0.4-(-1)\cdot (-0.4465)\cdot 0.5=0.4-0.22325=0.17675$$

$$y_2=y_1+d_1\cdot x_1\cdot A\cdot 2^{-1}=-0.4465+(-1)\cdot 0.4\cdot 0.693\cdot 0.5=-0.4465-0.1386=-0.5851$$

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（3）第三次迭代 ($i=2$)

计算方向 $d_2$

由于 $y_2=-0.5851<0$，因此：
$$d_2=\text{sgn}(y_2)=-1$$

更新 $x_3$ 和 $y_3$

代入公式计算：
$$x_3=x_2-d_2\cdot y_2\cdot 2^{-2}=0.17675-(-1)\cdot (-0.5851)\cdot 0.25=0.17675-0.146275=0.030475$$

$$y_3=y_2+d_2\cdot x_2\cdot A\cdot 2^{-2}=-0.5851+(-1)\cdot 0.17675\cdot 0.693\cdot 0.25=-0.5851-0.03123=-0.61633$$

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（4）迭代收敛

随着迭代次数增加，$x_i$ 将逐渐接近零，而 $y_i$ 则逐步逼近 $\ln (1.5)$。最终结果为：
$$\ln (1.5)\approx y_N$$

在实际应用中，通常需要进行更多次迭代以达到更高的精度。例如，经过 10 次迭代后，结果可以精确到小数点后 4 位。

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总结

通过上述计算过程，我们可以看到，即使初始值 $y_0\ne 0$，CORDIC 线性模式仍然可以通过简单的移位和加法操作逐步逼近目标值。初始值 $y_0$ 的选择不会影响最终结果的正确性，但它会影响每次迭代的具体路径。这种方法不仅高效，而且非常适合硬件实现，尤其在嵌入式系统中具有广泛应用。

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• 分类与应用场景

CORDIC 线性模式可以根据应用需求分为以下几类：

1. 定点数实现：适用于嵌入式系统，具有较低的硬件开销。
2. 浮点数实现：适用于高精度需求的场景，但硬件资源消耗较大。
3. 对数与指数计算：通过调整常数 $A$，可以灵活计算各种对数和指数函数。
4. 双曲函数计算：例如 $\sinh (x)$ 和 $\cosh (x)$，可以通过类似的方法实现。

总之，线性模式通过简单高效的迭代操作，为复杂非线性函数的计算提供了强大的工具。

2.4.3 CORDIC 算法中的误差来源

在 CORDIC 算法中，确定迭代次数 $N$ 是一个关键问题，因为它直接影响计算的精度和硬件资源消耗。为了确保结果满足所需的精度要求，同时避免过多的迭代导致效率降低或资源浪费，我们需要根据具体的应用场景和误差容忍度来选择合适的迭代次数。以下是详细的分析和方法，帮助我们确定 CORDIC 算法的迭代次数 $N$。

在 CORDIC 算法中，误差主要来源于以下两个方面：

• 角度逼近误差：每次迭代只能旋转一个小角度 ${\theta }_i={\tan }^{-1}(2^{-i})$，因此需要多次迭代才能逼近目标角度。
• 缩放效应误差：每次迭代都会引入一定的缩放因子，累积后会导致最终结果偏离真实值。这种误差可以通过归一化常数 $K$ 来补偿，但在定点数实现中可能会有额外的量化误差。

为了保证计算结果的精度，我们需要控制这两种误差在可接受范围内。

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角度逼近误差的分析

假设目标角度为 $\theta$，通过 CORDIC 算法进行 $N$ 次迭代后，剩余的角度误差可以表示为：

$$\Delta z_N=\left|\theta -\sum _{i=0}^{N-1}{d}_i\cdot {\theta }_i\right|$$

其中：

• ${\theta }_i={\tan }^{-1}(2^{-i})$ 是第 $i$ 次迭代的小角度。
• $d_i=\pm 1$ 表示旋转方向。

随着迭代次数 $N$ 的增加，$\Delta z_N$ 会逐渐减小。通常情况下，${\theta }_i$ 的值随 $i$ 增加而迅速减小，因此后续迭代对结果的影响较小。经验表明，对于大多数应用场景，当 $N\ge 16$ 时，角度逼近误差已经足够小（小于 $10^{-4}$ 弧度）。

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缩放效应误差的分析

每次迭代都会引入一个缩放因子 $\sqrt{1+2^{-2i}}$，所有迭代的累积缩放因子为：

$$K=\prod _{i=0}^{N-1}\sqrt{1+2^{-2i}}$$

理论上，$K$ 的值会随着 $N$ 的增加逐渐接近其极限值。例如：

• 当 $N=10$ 时，$K\approx 1.64676$。
• 当 $N=16$ 时，$K\approx 1.64686$。

可以看到，$K$ 的变化非常缓慢，因此即使增加迭代次数，缩放效应误差的变化也较小。在实际应用中，通常会预先计算 $K$ 的值并存储，从而避免动态计算带来的额外开销。

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精度需求与迭代次数的关系

确定迭代次数 $N$ 的关键是根据精度需求设定一个误差容忍度 $ϵ$。假设目标是使最终结果的误差小于 $ϵ$，则可以通过以下步骤估算 $N$：

(1) 角度逼近误差的容忍度

角度逼近误差 $\Delta z_N$ 随着 $N$ 的增加呈指数级减小。经验公式为：

$$\Delta z_N\approx 2^{-N}$$

如果要求角度误差小于 ${ϵ}_{\theta }$，则可以通过以下公式估算 $N$：

$$N\ge {\log }_2\left(\frac{1}{{ϵ}_{\theta }}\right)$$

例如，如果要求角度误差小于 $10^{-4}$ 弧度，则：

$$N\ge {\log }_2(10^4)\approx 14$$

(2) 模长计算的精度需求

对于矢量模式，最终的模长 $r=K\cdot x_N$ 的精度取决于 $x_N$ 的精度。假设输入向量的初始模长为 $r_0$，则经过 $N$ 次迭代后，模长的相对误差可以表示为：

$$\text{Relative Error}\approx \frac{\Delta r}{r_0}\approx 2^{-N}$$

如果要求模长的相对误差小于 ${ϵ}_r$，则可以通过以下公式估算 $N$：

$$N\ge {\log }_2\left(\frac{1}{{ϵ}_r}\right)$$

例如，如果要求模长的相对误差小于 $10^{-4}$，则：

$$N\ge {\log }_2(10^4)\approx 14$$

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常见应用场景下的迭代次数建议

根据实际应用的需求和经验，以下是一些常见的迭代次数建议：

应用场景	精度要求	推荐迭代次数 $N$
低精度信号处理	$ϵ\sim 10^{-2}$	$N\ge 8$
中等精度导航系统	$ϵ\sim 10^{-4}$	$N\ge 14$
高精度科学计算	$ϵ\sim 10^{-6}$	$N\ge 20$

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总结

确定 CORDIC 算法的迭代次数 $N$ 需要综合考虑角度逼近误差、缩放效应误差以及具体的精度需求。一般来说，$N$ 的选择应满足以下条件：

1. 角度逼近误差小于指定的容忍度 ${ϵ}_{\theta }$。
2. 模长计算的相对误差小于指定的容忍度 ${ϵ}_r$。

通过合理选择 $N$，可以在精度和效率之间找到平衡点。例如，在大多数嵌入式系统中，推荐使用 $N=16$ 或更高，以确保计算结果的准确性，同时避免过多的迭代带来的资源消耗。

2.4.4优缺点分析

CORDIC算法具有许多显著的优点，但也存在一些局限性。

优点

1. 高效性：CORDIC算法仅使用加法和移位操作，避免了复杂的乘法和除法运算，非常适合硬件实现。
2. 通用性：该算法可以应用于多种数学运算，包括三角函数、双曲函数、对数和指数函数等。
3. 可扩展性：通过增加迭代次数，可以提高计算精度，适应不同的应用场景。

缺点

1. 收敛速度有限：CORDIC算法的精度依赖于迭代次数，对于高精度需求可能需要较多的迭代步骤。
2. 范围限制：某些模式下的输入范围受到限制，例如矢量模式要求输入向量的初始角度接近零。
3. 硬件资源消耗：尽管单次操作简单，但大规模实现仍需占用一定硬件资源。

表：CORDIC算法的优缺点对比

特性	优点	缺点
计算效率	使用加法和移位操作，硬件实现高效	收敛速度较慢
应用范围	可用于多种数学运算	输入范围受限
精度控制	通过增加迭代次数可提高精度	高精度需求时资源消耗较大

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2.4.5 应用方向

CORDIC算法因其高效性和通用性，在多个领域得到了广泛应用。它通过一系列简单的移位和加法操作，能够快速实现复杂的数学运算，如三角函数、对数函数、双曲函数以及矩阵变换等。这种特性使得CORDIC算法在数字信号处理、计算机图形学和嵌入式系统中具有不可替代的地位。

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• 数字信号处理中的应用

在数字信号处理（DSP）领域，CORDIC算法被广泛用于实现正弦波生成、快速傅里叶变换（FFT）和调制解调等功能。例如，在无线通信系统中，载波信号的生成是一个关键步骤，而CORDIC算法可以高效地计算正弦和余弦值。假设我们需要生成一个频率为$f_0$的正弦波信号，可以通过以下公式实现：

$$x(t)=A\cdot \sin (2\pi f_{0}t+\varphi )$$

其中，$A$是振幅，$\varphi$是初始相位。使用CORDIC算法时，我们可以通过旋转模式逐步逼近目标角度$\theta =2\pi f_{0}t+\varphi$，从而计算出对应的正弦值。这种方法相比于直接使用查表法或泰勒级数展开，不仅节省了存储空间，还降低了计算复杂度。

此外，在快速傅里叶变换（FFT）中，CORDIC算法可用于计算复数乘法中的旋转因子。传统的FFT算法需要大量的复数乘法操作，而CORDIC算法可以通过简单的迭代过程完成这些计算，显著提高了效率。

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• 计算机图形学中的应用

在计算机图形学中，CORDIC算法主要用于加速二维和三维图形的旋转和缩放操作。相比于传统的矩阵乘法方法，CORDIC算法能够显著降低计算复杂度。例如，在二维平面中，将一个点$(x,y)$绕原点旋转角度$\theta$，可以通过以下公式表示：

$$x^{\prime }=x\cdot \cos (\theta )-y\cdot \sin (\theta )$$

$$y^{\prime }=x\cdot \sin (\theta )+y\cdot \cos (\theta )$$

在实际应用中，直接计算$\cos (\theta )$和$\sin (\theta )$可能需要较高的计算成本。而使用CORDIC算法的旋转模式，可以通过迭代公式逐步逼近目标角度$\theta$，从而避免直接计算三角函数。这种方法特别适合硬件实现，因为它仅涉及移位和加法操作，非常适合嵌入式图形处理器（GPU）的应用场景。

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• 嵌入式系统中的应用

在嵌入式系统中，CORDIC算法常用于实现轻量级的数学运算模块。例如，在无人机导航系统中，实时计算飞行姿态和位置信息是一项重要任务。假设无人机需要计算其当前的姿态角（如俯仰角、滚转角和偏航角），可以使用CORDIC算法的矢量模式来完成。具体来说，假设无人机的姿态由加速度计和陀螺仪提供的原始数据$(x,y,z)$表示，我们可以将其转换为模长$r$和方向角$\theta$：

$$r=K\cdot x_N$$

$$\theta =z_N$$

其中，$K$是一个归一化常数，用于补偿每次迭代引入的缩放效应。通过多次迭代，最终可以得到精确的姿态角，从而指导无人机的飞行控制。

此外，在嵌入式系统中，CORDIC算法还可以用于实现其他数学运算，如对数、指数和双曲函数等。这些功能在传感器校准、信号处理和控制系统中具有重要意义。

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2.4.6实现细节

在实际应用中，CORDIC算法可以通过软件或硬件两种方式实现。

软件实现

在软件实现中，CORDIC算法通常以循环结构编写，便于移植到各种处理器平台上。以下是一个简单的Python实现示例：

import mathdef cordic_rotation(x, y, z, iterations=10):x, y, z = float(x), float(y), float(z)angle_table = [math.atan(2**-i) for i in range(iterations)]k = 0.6072529350088814  # Normalization factorfor i in range(iterations):d = 1 if z > 0 else -1x_new = x - d * y * 2**-iy_new = y + d * x * 2**-iz_new = z - d * angle_table[i]x, y, z = x_new, y_new, z_newreturn k * x, k * y, zresult = cordic_rotation(1, 0, math.pi / 4, 20)
print("Result:", result)

硬件实现

在硬件实现中，CORDIC算法通常通过FPGA或ASIC设计完成。硬件实现的优势在于速度快、功耗低，但开发成本较高。

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2.4.7 总结

CORDIC算法作为一种经典的数值计算方法，凭借其高效性和通用性在多个领域得到了广泛应用。通过本文的详细讲解，我们不仅了解了其基本原理和实现细节，还探讨了其优缺点和具体应用场景。希望本文能为读者提供全面而深入的理解，激发更多关于CORDIC算法的研究与实践。