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从二维随机变量到多维随机变量

news 来源：原创 2025/9/13 17:40:04

二维随机变量

设 $X$ 和 $Y$ 是定义在同一样本空间 $\varOmega$ 上的两个随机变量，称由它们组成的向量 $(X, Y)$ 为二维随机变量，亦称为二维随机向量，其中称 $X$ 和 $Y$ 是二维随机变量的分量。

采用多个随机变量去描述一个随机现象，所以定义中的随机变量 $X$ 和 $Y$ 是要求定义在同一个样本空间上。相对于二维随机变量 $(X, Y)$ ，也称 $X$ 和 $Y$ 是一维随机变量。

若随机变量 $X$ 和 $Y$ 之间存在相互关系，则需要将 $(X, Y)$ 作为一个整体（向量）来进行研究。通过将两个随机变量 $X$ 和 $Y$ 组合成一个二维随机变量 $(X, Y)$ ，可以更全面地描述和分析随机现象。

二维离散随机变量

若二维随机变量 $(X, Y)$ 的取值只有有限多对或可列无穷多对，则称 $(X, Y)$ 为二维离散随机变量。

二维离散随机变量及其联合分布律

设二维离散随机变量 $(X, Y)$ 所有可能取到的不同值为 $x_i, y_j)$ ， $\ldots$ ，称

$p_{ij} = p(x_i, y_j) = P(X = x_i, Y = y_j)$

为 $(X, Y)$ 的联合概率函数或联合分布律，简称为 $(X, Y)$ 的概率函数或分布律。

二维离散随机变量：如果二维随机变量 $(X, Y)$ 的取值只有有限多对或可列无穷多对，则称其为二维离散随机变量。
联合概率函数 $p_{ij}$ ：表示随机变量 $X$ 取值为 $x_i$ 且随机变量 $Y$ 取值为 $y_j$ 的概率。
联合分布律：所有可能的 $x_i, y_j)$ 对应的概率 $p_{ij}$ 构成了二维离散随机变量 $(X, Y)$ 的联合分布律。

设随机变量 $X$ 可以取值 $x_1, x_2, \ldots, x_m$ ，而随机变量 $Y$ 可以取值 $y_1, y_2, \ldots, y_n$ 。那么， $X$ 和 $Y$ 的联合分布律可以通过以下方式表示：

$(X, Y)$	$Y = y_1$	$Y = y_2$	$\cdots$	$Y = y_j$	$\cdots$	$Y = y_n$
$X = x_1$	$p_{11}$	$p_{12}$	$\cdots$	$p_{1j}$	$\cdots$	$p_{1n}$
$X = x_2$	$p_{21}$	$p_{22}$	$\cdots$	$p_{2j}$	$\cdots$	$p_{2n}$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\ddots$	$\vdots$	$\ddots$	$\vdots$
$X = x_i$	$p_{i1}$	$p_{i2}$	$\cdots$	$p_{ij}$	$\cdots$	$p_{in}$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\ddots$	$\vdots$	$\ddots$	$\vdots$
$X = x_m$	$p_{m1}$	$p_{m2}$	$\cdots$	$p_{mj}$	$\cdots$	$p_{mn}$

在这个表中：

每个元素 $p_{ij}$ 表示 $X = x_i$ 且 $Y = y_j$ 同时发生的概率。
所有 $p_{ij}$ 值加起来等于 1，因为它们代表了所有可能事件的概率总和。

二维连续型随机变量及其联合概率密度函数

设 $(X, Y)$ 是二维随机变量， $F (x, y)$ 是其联合分布函数。若存在非负二元函数 $p (x, y)$ ，使得对于任意的实数 $x$ 和 $y$ ，有

$\int_{-\infty}^{x} \int_{-\infty}^{y} f(u, v) \, {\rm d}u \, {\rm d}v,$

则称 $(X, Y)$ 为二维连续型随机变量，称 $p (x, y)$ 为 $(X, Y)$ 的联合概率密度函数，简称为概率密度。

联合分布函数 $F (x, y)$ 描述了随机变量 $X$ 和 $Y$ 同时小于等于 $x$ 和 $y$ 的概率。
联合概率密度函数 $p (x, y)$ 是一个非负二元函数，通过积分可以得到联合分布函数 $F (x, y)$ 。
二维连续型随机变量：如果存在这样的联合概率密度函数 $p (x, y)$ ，则称 $(X, Y)$ 为二维连续型随机变量。

在这里插入图片描述

$n$ 维随机变量

设 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是定义在同一样本空间 $\varOmega$ 上的 $n$ 个随机变量，称由它们组成的向量 $(X_1, X_2, \ldots, X_n)$ 为 $n$ 维随机变量，亦称为 $n$ 维随机向量，其中称 $X_i$ （ $\leq i \leq n$ ）是 $n$ 维随机向量的第 $i$ 个分量。

$n$ 维随机变量：由 $n$ 个随机变量 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 组成的向量。
$n$ 维随机向量：与 $n$ 维随机变量同义，表示一个包含 $n$ 个随机变量的向量。
分量：每个随机变量 $X_i$ （ $\leq i \leq n$ ）是 $n$ 维随机向量的一个组成部分。

二维随机变量

二维离散随机变量

二维离散随机变量及其联合分布律

二维连续型随机变量及其联合概率密度函数

n n n维随机变量

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