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【机器学习】线性回归 多项式线性回归

news 来源：原创 2025/9/21 17:21:31

【机器学习系列】

  • KNN算法
    KNN算法原理简介及要点
    特征归一化的重要性及方式
  • 线性回归算法
    线性回归与一元线性回归
    线性回归模型的损失函数
    多元线性回归
    多项式线性回归

多项式线性回归

    • V1.0
    • 多项式回归
      • 多项式回归的公式
    • 特征代换
    • 超越函数作为特征向量维度

V1.0

多项式回归

多项式回归可以看作多元线性回归模型的特殊版本，经过处理后多项式线性回归可以退化为多元线性回归。

多项式回归的公式

多项式回归的公式如下
y = w 0 + w 1 , 1 ∗ x 1 + w 1 , 2 ∗ x 1 2 + . . . + w 1 , d 1 ∗ x 1 d 1 + w 2 , 1 ∗ x 2 + . . . + w n , d n ∗ x n d n y=w_0+w_{1,1}*x_1+w_{1,2}*x_1^2+...+w_{1,d_1}*x_1^{d_1}+w_{2,1}*x_2+...+w_{n,d_n}*x_n^{d_n} y=w0​+w1,1​∗x1​+w1,2​∗x12​+...+w1,d1​​∗x1d1​​+w2,1​∗x2​+...+wn,dn​​∗xndn​​
公式中有 n n n元（ x 1 . . . x n x_1...x_n x1​...xn​），每一元最高幂为 d n d_n dn​次方。
多项式模回归模型的求解，即是要求最优的模型参数，使得模型的总体损失，比如使用MSE损失函数，对于训练样本最小。

特征代换

怎样求解含幂的特征维度的的参数呢，例如求解 x 1 2 x_1^2 x12​或 x 1 3 x_1^3 x13​的的参数呢。
这里无需多虑，我们的输入数据是多维特征向量（假设 N N N维）是离散的，即数据（特征向量）是一条一条输入（是指不牵扯到连续性）的。
例如对于 x 1 2 x_1^2 x12​，在处理特征向量时，只需要将其使用 x 1 x_1 x1​求平方，代入模型公式，再当成普通的特征维度处理即可，将所有的高次幂都使用这种方法处理，即可得到特征代换后的多元线性回归模型的公式。对于该多元线性回归模型求解，就是对多项式回归模型的求解。
这里需要理解的的重点是对于单一的特征维度，因其各次幂可以求出，且各次幂可以带入到多项式回归公式中，作为普通的一个维度，模型中的高次幂都可以这样处理。
所有的特征向量都可以如此处理，那么整个多项式回归模型就退化为了多元线性回归模型，求解该多元线性回归模型就是求解该多项式回归模型。
使用特征代换之后，得到下式，该式即可当做普通的多元线性回归模型处理，求解该模型得到的参数即为对应的多项式模型的参数
y = w 0 + w 1 , 1 ∗ x 1 , 1 + w 1 , 2 ∗ x 1 , 2 + . . . + w 1 , d 1 ∗ x 1 , d 1 + w 2 , 1 ∗ x 2 , 1 + . . . + w n , d n ∗ x n , d n y=w_0+w_{1,1}*x_{1,1}+w_{1,2}*x_{1,2}+...+w_{1,d_1}*x_{1,d_1}+w_{2,1}*x_{2,1}+...+w_{n,d_n}*x_{n,d_n} y=w0​+w1,1​∗x1,1​+w1,2​∗x1,2​+...+w1,d1​​∗x1,d1​​+w2,1​∗x2,1​+...+wn,dn​​∗xn,dn​​
其中
x 1 , 1 = x 1 x_{1,1}=x_1 x1,1​=x1​
x 1 , 2 = x 1 2 x_{1,2}=x_1^2 x1,2​=x12​
x 1 , d 1 = x 1 d 1 x_{1,d_1}=x_1^{d_1} x1,d1​​=x1d1​​
x 2 , 1 = x 2 x_{2,1}=x_2 x2,1​=x2​
…
x k , d = x k d x_{k,d}=x_k^{d} xk,d​=xkd​（通式）
…
x n , d n = x n d n x_{n,d_n}=x_n^{d_n} xn,dn​​=xndn​​

超越函数作为特征向量维度

对于超越函数，如果一个特征向量的某个维度是超越函数，其跟某另一个特征向量相关，那么也可以用特征代换的方法。
比如 sin ⁡ ( x 1 ) \sin(x_1) sin(x1​) 是特征向量中的特征维度。那么如果特征向量中有有 x 1 x_1 x1​的维度，则可以使用 x 1 x_1 x1​来计算 sin ⁡ ( x 1 ) \sin(x_1) sin(x1​)一的值，并将其作为普通的特征维度代入，并使用多元线性回归解法求解即可。

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