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【高等数学学习记录】微分中值定理

news 来源：原创 2025/5/18 8:02:23

一、知识点

（一）罗尔定理

费马引理
设函数 $f (x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域 $U(x_0)$ 内有定义，并且在 $x_0$ 处可导，如果对任意的 $x\in U(x_0)$ ，有 $f(x)\leq f(x_0)$ (或 $f(x)\geq f(x_0)$ ) ，那么 $f'(x_0)=0$ .
罗尔定理

如果函数 $f (x)$ 满足：

(1) 在闭区间 $[a, b]$ 上连续；

(2) 在开区间 $(a, b)$ 内可导；

(3) 在区间端点处的函数值相等，即 $f (a) = f (b)$ ，那么在 $(a, b)$ 内至少有一点 $\xi(a<\xi<b)$ ，使得 $f'(\xi)=0$ .

（二）拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理

如果函数 $f (x)$ 满足

(1) 在闭区间 $[a, b]$ 上连续；

(2) 在开区间 $(a, b)$ 内可导；

那么在 $(a, b)$ 内至少有一点 $\xi(a<\xi<b)$ ，使等式 $f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$ 成立.
拉格朗日中值定理的几何意义

由上图可以看出， $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 为弦 $A B$ 的斜率，而 $f'(\xi)$ 为曲线在点 $C$ 处的切线的斜率.

因此拉格朗日中值定理的几何意义是：如果连续曲线 $y = f (x)$ 的弧 $A B$ 上除端点外处处具有不垂直于 $x$ 轴的切线，那么这弧上至少有一点 $C$ ，使曲线在 $C$ 处的切线平行于弦 $A B$ .
定理

如果函数 $f (x)$ 在区间 $I$ 上的导数恒为零，那么 $f (x)$ 在区间 $I$ 上是一个常数.

（三）柯西中值定理

柯西中值定理

如果函数 $f (x)$ 及 $F (x)$ 满足

(1) 在闭区间 $[a, b]$ 上连续；

(2) 在开区间 $(a, b)$ 内可导；

(3) 对任一 $x\in (a,b)$ ， $F'(x)\neq 0$ ，

那么在 $(a, b)$ 内至少有一点 $\xi$ ，使等式 $\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}$ 成立.

二、练习题

验证罗尔定理对函数 $y = l n s in x$ 在区间 $[\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}]$ 上的正确性.

证明：

$\because$

(1) $y = l n s in x$ 在区间 $[\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}]$ 上连续，在区间 $(\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6})$ 内可导

(2) $y|_{x=\frac{\pi}{6}}=y|_{x=\frac{5\pi}{6}}=ln\frac{1}{2}$

$\therefore$ 以上满足罗尔定理的前提条件

$\because y'=\frac{cosx}{sinx}=cotx$ ，当 $x=\frac{\pi}{2}$ 时， $y^{'} = 0$

$\therefore$ 在 $(\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6})$ 内至少存在一点 $x=\frac{\pi}{2}$ ，使得 $y^{'} = 0$

$\therefore$ 罗尔定理对题目所给函数的正确性得以验证.

验证拉格朗日中值定理对函数 $y=4x^3-5x^2+x-2$ 在区间 $[0, 1]$ 上的正确性.

证明：

题目所给函数在区间 $[0, 1]$ 上连续，在区间 $(0, 1)$ 内可导，满足拉格朗日中值定理的前提条件.

$\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=4-5+1-2-(0-0+0-2)=0$

$y'=12x^2-10x+1$

当 $x=\frac{5\pm\sqrt{13}}{12}$ 时， $y^{'} = 0$ ，且 $\frac{5-\sqrt{13}}{12}$ 和 $\frac{5+\sqrt{13}}{12}$ 均在区间 $(0, 1)$ 内.

$\therefore$ 拉格朗日中值定理对题目所给函数的正确性得以验证.

对函数 $f (x) = s in x$ 及 $F (x) = x + cos x$ 在区间 $[0,\frac{\pi}{2}]$ 上验证柯西中值定理的正确性.

证明：

(1) $f (x)$ 及 $F (x)$ 均在区间 $[0,\frac{\pi}{2}]$ 上连续，在区间 $(0,\frac{\pi}{2})$ 内可导

(2) 由于 $f^{'} (x) = cos x$ 及 $F^{'} (x) = 1 - s in x$ 对任一 $x\in(0,\frac{\pi}{2})$ 均不等于0

$\therefore$ 以上满足柯西中值定理的前提条件

$\because \frac{f(\frac{\pi}{2})-f(0)}{F(\frac{\pi}{2})-F(0)}=\frac{1-0}{\frac{\pi}{2}-1}=\frac{2}{\pi-2}$

$\frac{f'(x)}{F'(x)}=\frac{cosx}{1-sinx}=\frac{sin(\frac{\pi}{2}-x)}{1-cos(\frac{\pi}{2}-x)}=\frac{cos(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})}{sin(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})}=cot(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})$

当 $x=\frac{\pi}{2}-2arctan(\frac{\pi-2}{2})$ 时， $x\in (0,\frac{\pi}{2})$ 且 $cot(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})=\frac{2}{\pi-2}$

$\therefore$ 柯西中值定理对题目所给函数的正确性得以验证

试证明对函数 $y=px^2+qx+r$ 应用拉格朗日中值定理时所求得的点 $\xi$ 总是位于区间的正中间.

证明：

设 $[a, b]$ 为任意区间，由拉格朗日中值定理得，

$\exist \xi\in (a,b)$ ，使得 $f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

$\because f'(\xi)=2p\xi+q$ 及 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{pb^2+qb+r-pa^2-qa-r}{b-a}=p(a+b)+q$

$\therefore 2p\xi+q=p(a+b)+q$

$\therefore \xi=\frac{a+b}{2}$

$\therefore \xi$ 总是位于区间的正中间

不用求出函数 $f (x) = (x - 1) (x - 2) (x - 3) (x - 4)$ 的导数，说明方程 $f^{'} (x) = 0$ 有几个实根，并指出它们所在的区间。

证明：

$\because f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=0$

又 $\because f(x)$ 在区间 $[1, 2] [2, 3] [3, 4]$ 上连续，在区间 $(1, 2) (2, 3) (3, 4)$ 内可导

$\therefore$ 根据罗尔定理得，存在 $\xi_1\in(1,2),\xi_2\in(2,3),\xi_3\in(3,4)$ 使得 $f'(\xi_1)=f'(\xi_2)=f'(\xi_3)=0$

$\because f'(x)=0$ 是三次多项式，有三个实根

$\therefore \xi_1,\xi_2,\xi_3$ 是 $f^{'} (x) = 0$ 得三个实根，分别属于区间 $(1, 2) (2, 3) (3, 4)$ .

证明恒等式 $arssinx+arccosx=\frac{\pi}{2}(-1\leq x\leq 1)$ .

证明：

设 $f (x) = a rcs in x - a rccos x$

$\because f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=0$

$\therefore f(x)$ 在区间 $(- 1, 1)$ 上是一个常数

$\therefore f(0)=arcsin0+arccos0=0+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}$

若方程 $a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots + a_{n-1}x=0$ 有一个正根 $x=x_0$ ，证明方程 $a_0nx^{n-1}+a_1(n-1)x^{n-2}+\cdots +a_{n-1}=0$ 必有一个小于 $x_0$ 的正根.

证明：

令 $f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x$

$f (0) = 0$ 且 $f(x_0)=0$

$f (x)$ 在 $0,x_0]$ 上连续，在 $0,x_0)$ 内可导

由罗尔定理的，存在 $\xi \in (0,x_0)$ 使得 $f'(\xi) = 0$

$\therefore$ 题目得证.

若函数 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 内具有二阶导数，且 $f(x_1)=f(x_2)=f(x_3)$ ，其中 $a<x_1<x_2<x_3<b$ ，证明：在 $x_1,x_3)$ 内至少有一点 $\xi$ ，使得 $f''(\xi)=0$ .

证明：

由题意得 $f (x)$ 在 $x_1,x_2]$ 及 $x_2,x_3]$ 上连续，在 $x_1,x_2)$ 及 $x_2,x_3)$ 内可导.

根据罗尔定理，存在 $\xi_1\in (x_1,x_2)$ 及 $\xi_2\in(x_2,x_3)$ 使得 $f'(\xi_1)=f'(\xi_2)=0$

$\because f'(x)$ 在 $[\xi_1,\xi_2]$ 上连续，在 $(\xi_1,\xi_2)$ 内可导

$\therefore$ 根据罗尔定理，存在 $\xi\in(\xi_1,\xi_2)\subset (x_1,x_3)$ 使得 $f''(\xi)=0$

$\therefore$ 题目得证.

设 $a > b > 0$ ， $n > 1$ ，证明： $nb^{n-1}(a-b)<a^n-b^n<na^{n-1}(a-b)$ .

证明：

令 $f(x)=x^n$

$\because f(x)$ 在区间 $[b, a]$ 上连续，在区间 $(b, a)$ 内可导

$\therefore$ 根据拉格朗日中值定理得， $\exist \xi\in(b,a)$ ，使得 $f'(\xi)=\frac{f(a)-f(b)}{a-b}$

$\therefore n\xi^{n-1}=\frac{a^n-b^n}{a-b}$ 即 $(a-b)n\xi^{n-1}=a^n-b^n$

$\because b<\xi<a$

$\therefore nb^{n-1}(a-b)<n\xi^{n-1}(a-b)<na^{n-1}(a-b)$

$\therefore nb^{n-1}(a-b)<a^n-b^n<na^{n-1}(a-b)$

设 $a > b > 0$ ，证明： $\frac{a-b}{a}<ln\frac{a}{b}<\frac{a-b}{b}$ .

证明：

令 $f (x) = l n x$

$\because f(x)$ 在区间 $[b, a]$ 上连续，在区间 $(b, a)$ 内可导

$\therefore$ 根据拉格朗日中值定理得， $\exist \xi \in(b, a)$ ，使得 $f'(\xi)=\frac{f(a)-f(b)}{a-b}$

$\therefore \frac{1}{\xi}=\frac{lna-lnb}{a-b}$

$\because b<\xi<a$

$\therefore \frac{1}{a}<\frac{1}{\xi}<\frac{1}{b}$

$\therefore \frac{1}{a}<\frac{lna-lnb}{a-b}<\frac{1}{b}$

$\therefore \frac{a-b}{a}<ln\frac{a}{b}<\frac{1}{b}$

证明下列不等式：

(1) $|arctana-arctanb|\leq |a-b|$

(2) 当 $x > 1$ 时， $e^x>e\cdot x$

证明：
(1)

令 $f (x) = a rc t an x$

根据拉格朗日中值定理， $\exist \xi \in (a,b)$ ，使得 $f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

即 $\frac{1}{1+\xi^2}=\frac{arctanb-arctana}{b-a}$

$\therefore \begin{vmatrix}\frac{b-a}{1+\xi^2}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}arctanb-arctana\end{vmatrix}$

$\because 1+\xi^2\geq 1$

$\therefore \begin{vmatrix}\frac{b-a}{1+\xi^2}\end{vmatrix}\geq \begin{vmatrix}b-a\end{vmatrix}$

$\therefore \begin{vmatrix}arctana-arctanb\end{vmatrix}\leq \begin{vmatrix}a-b\end{vmatrix}$
(2)

令 $f(x)=e^x$

根据拉格朗日中值定理， $\exist \xi\in(1,x)$ ，使得 $f'(\xi)=\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$

即 $e^\xi=\frac{e^x-e}{x-1}$

$\therefore (x-1)e^\xi=e^x-e$

$\because \xi>1$

$\therefore (x-1)e^\xi>(x-1)e$

$\therefore e^x-e>e\cdot x-e$

$\therefore e^x>e\cdot x$

证明方程 $x^5+x-1=0$ 只有一个正根.

证明：

令 $f(x)=x^5+x-1$

假设 $x^5+x-1=0$ 的正根数量大于1.

$\therefore \exist x_1>x_2>0$ 是其中两个正根

$\because f(x)$ 在 $x_2,x_1]$ 上连续，在 $x_2,x_1)$ 内可导

$\therefore$ 根据罗尔定理， $\exist \xi\in (x_2,x_1)$ 使得 $f'(\xi)=0$

但是 $f'(x)=5x^4+1>0$ ，与 $f'(\xi)=0$ 矛盾，假设不成立.

$\therefore f(x)=0$ 最多有一个正根

$\because f(0)=-1, f(1)=1$

$\therefore \exist \xi_1\in(0,1)$ 使得 $f(\xi_1)=0$

设 $f (x)$ 、 $g (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，证明在 $(a, b)$ 内有一点 $\xi$ ，使 $\begin{vmatrix}f(a)& f(b)\\g(a) & g(b)\end{vmatrix}=(b-a)\begin{vmatrix}f(a) & f'(\xi)\\g(a) & g'(\xi)\end{vmatrix}$ .

证明：

令 $F(x)=\begin{vmatrix}f(a) & f(x)\\ g(a) & g(x)\end{vmatrix}=f(a)g(x)-f(x)g(a)$

则 $F'(x)=f(a)g'(x)-g(a)f'(x)=\begin{vmatrix}f(a)&f'(x)\\g(a)&g'(x)\end{vmatrix}$

$\because f(x),g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导

$\therefore F(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导

根据拉格朗日中值定理， $\exist \xi\in(a,b)$ ，使得 $F'(\xi)=\frac{F(b)-F(a)}{b-a}$

$\therefore$ $\begin{vmatrix}f(a)& f(b)\\g(a) & g(b)\end{vmatrix}=(b-a)\begin{vmatrix}f(a) & f'(\xi)\\g(a) & g'(\xi)\end{vmatrix}$ .

证明：若函数 $f (x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 内满足关系式 $f^{'} (x) = f (x)$ ，且 $f (0) = 1$ ，则 $f(x)=e^x$ .

证明：

令 $F(x)=\frac{f(x)}{e^x}$

则 $F'(x)=\frac{f'(x)e^x-f(x)ex}{e^{2x}}=\frac{f'(x)-f(x)}{e^x}=0$

$\therefore F(x)$ 为常数

取 $x = 0$ ，得 $F(0)=\frac{f(0)}{e^0}=1$

$\therefore F(x)$ 恒等于1

$\therefore f(x)=e^x$

设函数 $y = f (x)$ 在 $x = 0$ 的某邻域内具有 $n$ 阶导数，且 $f(0)=f'(0)=\cdots =f^{(n-1)}(0)=0$ ，试用柯西中值定理证明： $\frac{f(x)}{x^n}=\frac{f^{(n)}(\theta x)}{n!}(0<\theta <1)$ .

证明：

$\because y=f(x)$ 及 $x^n$ 在 $x = 0$ 的某邻域内具有 $n$ 阶导数

$\therefore$ 由柯西中值定理可得， $\exist \xi_1\in(0,x)$ 使得 $\frac{f(x)-f(0)}{x^n-0^n}=\frac{f(x)}{x^n}=\frac{f'(\xi_1)}{n\xi_1^{n-1}}$

$\because f'(x)$ 及 $nx^{n-1}$ 满足柯西中值定理得前提条件

$\therefore \exist \xi_2\in(0, \xi_1)$ ，使得 $\frac{f'(\xi_1)-f'(0)}{n\xi_1^{n-1}-n0^{n-1}}=\frac{f'(\xi_1)}{n\xi_1^{n-1}}=\frac{f''(\xi_2)}{n(n-1)\xi_2^{n-2}}$

$\cdots$

$\therefore \exist \xi_{n}\in(0,\xi_{n-1})$ ，使得 $\frac{f^{(n-1)}(\xi_{n-1})-f^{(n-1)}(0)}{n!\xi_{n-1}-n!0}=\frac{f^{(n-1)}(\xi_{n-1})}{n!\xi_{n-1}}=\frac{f^{(n)}(\xi_n)}{n!}$

$\therefore \frac{f(x)}{x^n}=\frac{f^{(n)}(\xi_n)}{n!}$

$\because \xi_n\in(0,\xi_{n-1})\subset(0,x)$

$\therefore \exist \theta\in(0,1)$ 使得 $\xi_n=\theta x$

$\therefore \frac{f(x)}{x^n}=\frac{f^{(n)}(\theta x)}{n!}(0<\theta <1)$

学习资料
1.《高等数学（第六版）》，同济大学数学系编

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编程日记 2025/5/16 8:49:31

基于Springboot在线招投标系统【附源码】

基于Springboot在线招投标系统效果如下： 系统主页面系统登陆页面招标人信息管理页面招标信息管理页面招标信息页面评标信息页面中标信息页面研究背景随着互联网技术的不断发展，传统的招投标方式已经无法满足现代企业的需求。传统的招投标流程…...

编程日记 2025/5/16 2:50:15

elasticsearch集群部署及加密通讯

原文地址：elasticsearch集群部署及加密通讯 – 无敌牛欢迎参观我的个人博客：无敌牛 – 技术/著作/典籍/分享等第零步，准备给各台设备配置虚拟主机名，这样集群不依赖IP，即使IP变动，改动也更方便。参考…...

编程日记 2025/5/16 16:00:42

yolov5的pt模型转化为rk3588的rknn，并在rk3588上调用api进行前向推理

当使用yolov5进行目标检测且进行边缘计算的场景时，要考虑性价比或者国产化的话，rk3588板子是个不错的选择。本篇介绍yolov5的pytorch模型转化为rknn的流程，并展示在rk板子上如何调用相关api来使用转好的rknn模型进行前向推理。 pt转rknn流程…...

编程日记 2025/5/13 6:07:40

【机器学习】—PCA（主成分分析）

主成分分析（PCA）详解引言主成分分析（PCA）是一种统计方法，它可以通过正交变换将一组可能相关的变量转换为一组线性不相关的变量，这些变量称为主成分。PCA经常用于降维，数据压缩，以…...

编程日记 2025/5/15 10:42:23

【Linux】vim

🌻个人主页：路飞雪吖~ 🌠专栏：Linux 目录一、Linux开发工具 🌟vim的基本概念二、Linux编译器-gcc/g使用 🌟gcc如何完成（ESc - iso） 1、预处理（进行宏替换&#xff…...

编程日记 2025/5/18 6:55:03

virtualbox给Ubuntu22创建共享文件夹

1.在windows上的操作，创建共享文件夹Share 2.Ubuntu22上的操作，创建共享文件夹LinuxShare 3.在virtualbox虚拟机设置里，设置共享文件夹共享文件夹路径：选择Windows系统中你需要共享的文件夹共享文件夹名称：挂载至wi…...

编程日记 2025/5/12 14:40:39

SQLModel与FastAPI结合：构建用户增删改查接口

SQLModel简介 SQLModel是一个现代化的Python库，旨在简化与数据库的交互。它结合了Pydantic和SQLAlchemy的优势，使得定义数据模型、进行数据验证和与数据库交互变得更加直观和高效。SQLModel由FastAPI的创始人Sebastin Ramrez开发，专为与FastA…...

编程日记 2025/5/18 7:44:41

数据库日志

MySQL中有哪些日志 1，redo log重做日志 redo log是物理机日志，因为它记录的是对数据页的物理修改，而不是SQL语句。作用是确保事务的持久性，redo log日志记录事务执行后的状态，用来恢复未写入 data file的已提交事务…...

编程日记 2025/5/17 13:29:51

力扣第 71 题简化路径

一、题目描述给定一个字符串 path，表示一个由目录名和斜杠 "/" 组成的绝对路径，请简化该路径，使其变为规范路径。在 Unix 风格的文件系统中： 一个点 "." 表示当前目录本身；两个点 "..&q…...

编程日记 2025/5/12 17:53:41

Android 性能优化：内存优化（理论篇）

内存作为App程序运行最重要的资源之一，需要运行过程中做到合理的资源分配与回收，不合理的内存占用轻则使得用户应用程序运行卡顿、ANR、黑屏，重则导致用户应用程序发生 OOM（out of memory）崩溃。喜马直播随着近些年的业…...

编程日记 2025/5/11 18:18:12

Flink四大基石之窗口（Window）使用详解

目录一、引言二、为什么需要 Window 三、Window 的控制属性窗口的长度（大小） 窗口的间隔四、Flink 窗口应用代码结构是否分组 Keyed Window --键控窗 Non-Keyed Window 核心操作流程五、Window 的生命周期分配阶段触发计算六、Wi…...

编程日记 2025/5/18 1:44:39

Easy Excel 通过【自定义批注拦截器】实现导出的【批注】功能

目录 Easy Excel 通过【自定义批注拦截器】实现导出的【批注】功能需求原型：相关数据：要导出的对象字段postman 格式导出对象VO 自定义批注拦截器业务代码： 拦截器代码解释：详细解释：格式优化： Easy Excel…...

编程日记 2025/5/14 10:28:10

PHP 去掉特殊不可见字符 “\u200e“

描述最近在排查网站业务时，发现有数据匹配失败的情况肉眼上完全看不出问题所在当把字符串【M24308/23-14F‎】复制出来发现末尾有个不可见的字符使用删除键或左右移动时才会发现最后测试通过 var_dump 打印发现这个"空字符"占了三个长度 &#xf…...

编程日记 2025/5/14 11:18:06

Flume和kafka的整合：使用Flume将日志数据抽取到Kafka中

文章目录 1、Kafka作为Source【数据进入到kafka中，抽取出来】2、kafka作为Sink 【数据从别的地方抽取到kafka里面】 1、Kafka作为Source【数据进入到kafka中，抽取出来】 kafka源 --> memory --> 控制台： a1.sources r1 a1.sinks k1…...

编程日记 2025/5/15 17:31:05

Flutter：启动屏逻辑处理02：启动页

启动屏启动之后，制作一个启动页面新建splash：view 视图中只有一张图片sliding.png就是我们的启动图 import package:flutter/material.dart; import package:get/get.dart; import index.dart; class SplashPage extends GetView<SplashController…...

编程日记 2025/5/14 10:22:50

【MySQL】自动刷新flush privileges命令

在 MySQL 中，执行 FLUSH PRIVILEGES 命令的主要作用是使权限表中的更改立即生效。下面是关于这个命令的一些关键点： 1. 什么是 FLUSH PRIVILEGES 当你使用 SET PASSWORD 或其他 SQL 语句直接修改了用户的密码或权限（例如，使用 U…...

编程日记 2025/5/16 17:17:07

2024免费天气接口（无废话版）

免费接口1：http://t.weather.sojson.com/api/weather/city/101030100 免费接口2：http://t.weather.itboy.net/api/weather/city/101030100 至于后面那个城市编码请自行查询：如图注意！！！ 点击下载时可能…...

编程日记 2025/5/9 13:25:35

fpga 时序分析基础

目录触发器的动态参数同步时序电路分析 1. 时钟脉冲的特性 2. 同步时序电路分析 Timing Analyzer的应用异步时序与亚稳态问题时序分析就是对时序电路进行时序检查，通过分析电路中所有寄存器之间的路径延迟以检查电路的传输延迟是否会导致触发器的建立时间…...

编程日记 2025/5/14 21:12:26

Laravel8.5+微信小程序实现京东商城秒杀方案

一、商品秒杀涉及的知识点鉴权策略封装掊口访问频次限制小程序设计页面防抖接口调用订单创建事务使用超卖防御二、订单库存系统方案（3种） 下单减库存优点是库存和订单的强一致性，商品不会卖超，但是可能导致恶意下单&#xff…...

编程日记 2025/5/14 22:09:43

Git——本地仓库链接并推送到多个远程仓库

步骤 1. 新建仓库init 或删除已有仓库远程链接 // 1.新建init git init// 2.已有仓库，查看链接的远程仓库 git remote -v// 3.已有远程连接仓库，需要删除连接 git remote rm origin(或对应远程仓库名) 2.新建远程仓库在gitee、github等托管平台创建…...

编程日记 2025/5/6 17:47:42

llama-factory 系列教程 (七)，Qwen2.5-7B-Instruct 模型微调与vllm部署详细流程实战

文章目录介绍llama-factory 安装装包下载模型微调模型数据集训练模型微调后的模型推理介绍时隔已久的 llama-factory 系列教程更新了。本篇文章是第七篇，之前的六篇，大家酌情选看即可。因为llama-factory进行了更新，我前面几篇文章的实…...

编程日记 2025/5/15 1:31:14

Spring Boot的理解

一、什么是Spring Boot? Spring Boot是一个用于构建基于Spring框架的应用程序的开源框架。它简化了Spring应用程序的开发过程，使开发者能够更容易地创建独立运行的、生产级别的Spring应用程序。Spring Boot提供了许多功能和约定，可以帮助开发者快速搭建…...

编程日记 2025/5/14 21:44:09

QT QFormLayout控件全面详解

本系列文章全面的介绍了QT中的57种控件的使用方法以及示例，包括 Button(PushButton、toolButton、radioButton、checkBox、commandLinkButton、buttonBox)、Layouts(verticalLayout、horizontalLayout、gridLayout、formLayout)、Spacers(verticalSpacer、horizontalSpacer)、…...

编程日记 2025/5/15 13:23:38

一、知识点

（一）罗尔定理

（二）拉格朗日中值定理

（三）柯西中值定理

二、练习题

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