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高等代数笔记—欧几里得空间、双线性函数

news 来源：原创 2025/9/22 5:01:24

欧几里得空间

欧几里得空间（欧氏空间） $V$ 定义：
$V$ 是实数域 $R$ 上线性空间
在 $V$ 上定义了一个二元实函数，称为内积，记作 $(\alpha,\beta)$ ，并且内积满足以下性质：
1、 $(\alpha,\beta)=(\beta, \alpha)$
2、 $(k\alpha,\beta)=k(\alpha, \beta)$
3、 $(\alpha+\gamma,\beta)=(\alpha, \beta)+(\gamma, \beta)$
4、 $(\alpha,\alpha)\geq 0$ ，当且仅当 $\alpha=0$ 时 $(\alpha,\alpha)=0$
其中， $\alpha,\beta,\gamma \in V$ 。

内积举例：
$R^n$ 中的两个元素为 $a_1,...,a_n), (b_1,...,b_n)$ ，内积为 $\Sigma_{i=1}^n a_i b_i$ ；
$C [a, b]$ 或 $R [x]$ 中的两个元素为 $f (x), g (x)$ ，内积为 $\int_a^b f(x)g(x)dx$ ；

定义向量夹角： $<\alpha, \beta> = arccos(\frac{(\alpha,\beta)}{|\alpha|\cdot |\beta|}), <\alpha, \beta> \in [0, \pi]$

$(\alpha,\beta)=X^TAY$
其中， $\alpha, \beta \in V$ ， $\epsilon_1,...,\epsilon_n$ 是 $V$ 的一组基， $X, Y$ 分别是 $\alpha, \beta$ 在这组基下的坐标， $A$ 称为这组基的度量矩阵。
不同基的度量矩阵合同。
度量矩阵是正定的。

定理： $L(\epsilon_1,...,\epsilon_i)=L(\eta_1,...,\eta_i), i=1,...,n$
其中， $\epsilon_1,...,\epsilon_n$ 是 $V$ 的一组基， $\eta_1,...,\eta_i$ 是 $V$ 的一组标准正交基。

欧式空间中同构映射的定义： $V, V^{'}$ 是 $R$ 上的欧氏空间， $\sigma: V\to V'$ 为双射并且满足：
1、 $\sigma(\alpha + \beta) = \sigma(\alpha) + \alpha(\beta)$
2、 $\sigma(k\alpha) = k\sigma(\alpha)$
3、 $(\sigma(\alpha), \sigma(\beta)) = (\alpha, \beta)$
（与线性空间的同构映射相比，多了第三条）

同构是欧氏空间之间的关系，具有反身性、对称性、传递性。
每个欧式空间都与 $R^n$ 同构。

定理：两个有限维欧氏空间同构的充要条件是它们维数相同。

正交变换定义：如果欧氏空间 $V$ 的线性变换 $\mathscr{A}$ 满足 $(\mathscr{A}\alpha, \mathscr{A}\beta) = (\alpha,\beta)$ ，则 $\mathscr{A}$ 称为正交变换。

子空间正交的定义：欧式空间中两个子空间 $V_1,V_2$ ，如果 $\forall \alpha \in V_1, \forall \beta \in V_2$ ，恒有 $(\alpha,\beta)=0$ ，则称 $V_1, V_2$ 正交，记作 $V_1 \perp V_2$ 。
$V_1 \cup V_2 = \set{0}$

定理：如果一些子空间两两正交，那么这些子空间的和为直和。

如果 $V_1 \perp V_2, V_1+V_2=V$ ，则 $V_2(V_1)$ 为 $V_1(V_2)$ 的正交补。

定理： $n$ 维欧氏空间的每个子空间的正交补都唯一

酉空间是复数域上的欧氏空间。

辛空间

线性函数 $\sigma$ 的定义： $V$ 是数域 $F$ 上的线性空间，映射 $\sigma: V\to F$ 满足：
1、 $\sigma(\alpha+\beta)=\sigma(\alpha)+ \sigma(\beta)$
2、 $\sigma(k\alpha)=k\sigma(\alpha)$
其中， $k\in F, \alpha, \beta \in V$

$F$ 上的一个 $n$ 线性空间为 $V$ ， $V$ 上的全体线性函数记作 $L (V, F)$ 。
$L (V, F)$ 称为 $V$ 的对偶空间，记作 $V^*$ 。

$\epsilon_1,...,\epsilon_2$ 为 $V$ 的一组基， $V$ 上的 $n$ 个线性函数 $f_1,...,f_n$ 满足：
$f_i(\epsilon_j)=1,i=j$
$f_i(\epsilon_j)=0, i\neq j$
则 $f_1,...,f_n$ 是 $L (V, F)$ 的一组基，称为 $\epsilon_1,...,\epsilon_2$ 的对偶基。

定理：如果由 $\eta_1,...,\eta_2$ 到 $\epsilon_1,...,\epsilon_2$ 的过渡矩阵为 $A$ ，则由 $f_1,...,f_n$ 到 $g_1,...,g_n$ 的过渡矩阵为 $A^T)^{-1}$ 。
其中， $\eta_1,...,\eta_2$ 与 $\epsilon_1,...,\epsilon_2$ 为 $V$ 的两组基，它们的对偶基分别是 $f_1,...,f_n$ 与 $g_1,...,g_n$ 。

$x\in V, f\in V^*$ ，若 $V^*$ 上的一个函数 $x^{**}$ 满足： $x^{**}(f)=f(x)$ ，则 $x^{**} \in V^{**}$ 。

定理： $V$ 为线性空间，则 $\sigma: V \to V^{**}$ 为同构映射。

双线性函数的定义： $V$ 是数域 $F$ 上的线性空间，二元映射 $\sigma: V \times V\to F$ 满足：
1、 $f(\alpha,k_1 \beta_1 + k_2 \beta_2) = k_1 f(\alpha,\beta_1) + k_2 f(\alpha,\beta_2)$
2、 $f(k_1 \beta_1 + k_2 \beta_2, \alpha) = k_1 f(\beta_1,\alpha) + k_2 f(beta_2, \alpha)$
$\alpha,\beta_1,\beta_2\in V, k_1, k_2 \in F$

双线性函数举例：
1、欧式空间的内积
2、 $f(X,Y) = X^TAY$ ，其中 $\in F^n$
3、 $f(\alpha,\beta)=f_1(\alpha)f_2(\beta)$ ，其中 $f_1,f_2$ 是 $V$ 上的线性函数， $\alpha,\beta\in V$

度量矩阵的定义： $\epsilon_1,...,\epsilon_2$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 的一组基， $f$ 是 $V$ 上的双线性函数，则 $A=[f(\epsilon_i, \epsilon_j)]_{n\times n}$ 称为 $f$ 在该组基下的度量矩阵。

如果 $\forall \beta \in V, f(\alpha,\beta)=0$ ，可推出 $\alpha=0$ ，则称该双线性函数 $f$ 为非退化的。
如果 $f(\alpha,\beta)=f(\beta, \alpha)$ ，则称该双线性函数 $f$ 为对称的。
如果 $f(\alpha,\beta)=-f(\beta, \alpha)$ ，则称该双线性函数 $f$ 为反对称的。

$V$ 是数域 $F$ 上的线性空间，
在 $V$ 上定义了一个非退化的双线性函数 $f$ ，则称 $V$ 为双线性度量空间；
在 $V$ 上定义了一个对称且非退化的双线性函数 $f$ ，则称 $V$ 为正交空间；
$V$ 为 $n$ 维的，在 $V$ 上定义了一个对称且非退化的双线性函数 $f$ ，则称 $V$ 为准欧式空间；
在 $V$ 上定义了一个反对称且非退化的双线性函数 $f$ ，则称 $V$ 为辛空间。

欧几里得空间

辛空间

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