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3.【线性代数】——矩阵乘法和逆矩阵

news 来源：原创 2025/5/11 12:13:45

三矩阵乘法和逆矩阵

- 1. 矩阵乘法
- - - 1.1 常规方法
    - 1.2 列向量组合
    - 1.3 行向量组合
    - 1.4 单行和单列的乘积和
    - 1.5 块乘法
- 2. 逆矩阵
- - - 2.1 逆矩阵的定义
    - 2.2 奇异矩阵
    - 2.3 Gauss-Jordan 求逆矩阵
    - - 2.3.1 求逆矩阵 $\Longleftrightarrow$ 解方程组
      - 2.3.2 Gauss-Jordan求逆矩阵

1. 矩阵乘法

1.1 常规方法

$\underbrace{\begin{bmatrix} ...&...&...&...\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\ ...&...&...&...\\ \end{bmatrix}}_{A_{m*n}} \underbrace{\begin{bmatrix} ...&...&...&b_{14}\\ ...&...&...&b_{24}\\ ...&...&...&b_{34}\\ ...&...&...&b_{44} \end{bmatrix}}_{B_{n*p}}= \underbrace{\begin{bmatrix} ...&...&...&...\\ ...&...&...&C_{34}\\ ...&...&...&... \end{bmatrix}}_{C_{m*p}}$
$C_{34} = A_{row_3}*B_{col_4} = \sum\limits_{i=1}^{n}a_{3i}*b_{i4}$

1.2 列向量组合

已知
$\begin{aligned} \begin{bmatrix} A_{11}&A_{12}&A_{13}\\ A_{21}&A_{22}&A_{23}\\ A_{31}&A_{32}&A_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} B_{11}\\ B_{21}\\ B_{31} \end{bmatrix} &=B_{11}*A_{col1}+B_{21}*A_{col2}+B_{31}*A_{col3} \newline &= \begin{bmatrix} B_{11}*A_{11}+B_{21}*A_{12}+B_{31}*A_{13}\\ B_{11}*A_{21}+B_{21}*A_{22}+B_{31}*A_{23}\\ B_{11}*A_{31}+B_{21}*A_{32}+B_{31}*A_{33} \end{bmatrix}\end{aligned}$
那么
$\begin{aligned} \underbrace{\begin{bmatrix} A_{11}&A_{12}&A_{13}\\ A_{21}&A_{22}&A_{23}\\ A_{31}&A_{32}&A_{33} \end{bmatrix}}_{A} \underbrace{\begin{bmatrix} B_{11}&B_{12}\\ B_{21}&B_{22}\\ B_{31}&B_{32} \end{bmatrix}}_{B} &=\underbrace{\begin{bmatrix}B_{11}*A_{col1}+B_{21}*A_{col2}+B_{31}*A_{col3} & B_{12}*A_{col1}+B_{22}*A_{col2}+B_{32}*A_{col3}\end{bmatrix}}_{C} \newline &=\begin{bmatrix} B_{11}*A_{11}+B_{21}*A_{12}+B_{31}*A_{13}& B_{12}*A_{11}+B_{22}*A_{12}+B_{32}*A_{13}\\ B_{11}*A_{21}+B_{21}*A_{22}+B_{31}*A_{23} & B_{12}*A_{21}+B_{22}*A_{22}+B_{32}*A_{23}\\ B_{11}*A_{31}+B_{21}*A_{32}+B_{31}*A_{33} & B_{12}*A_{31}+B_{22}*A_{32}+B_{32}*A_{33} \end{bmatrix}\end{aligned}$
C矩阵是A矩阵的列向量组合

1.3 行向量组合

已知
$\begin{aligned} \begin{bmatrix} A_{11}&A_{12}&A_{13} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} B_{11}&B_{12}\\ B_{21}&B_{22}\\ B_{31}&B_{32} \end{bmatrix} &=A_{11}*B_{row1}+A_{12}*B_{row2}+A_{13}*B_{row3} \newline &= \begin{bmatrix} A_{11}*B_{11}&A_{11}*B_{12}\\ +&+\\ A_{12}*B_{21}&A_{12}*B_{22}\\ +&+\\ A_{13}*B_{31}&A_{13}*B_{32} \end{bmatrix}\end{aligned}$
那么
$\begin{aligned} \underbrace{\begin{bmatrix} A_{11}&A_{12}&A_{13}\\ A_{21}&A_{22}&A_{23}\\ A_{31}&A_{32}&A_{33} \end{bmatrix}}_{A} \underbrace{\begin{bmatrix} B_{11}&B_{12}\\ B_{21}&B_{22}\\ B_{31}&B_{32} \end{bmatrix}}_{B} &=\underbrace{\begin{bmatrix} A_{11}*B_{row1}+A_{12}*B_{row2}+A_{13}*B_{row3}\\ A_{21}*B_{row1}+A_{22}*B_{row2}+A_{23}*B_{row3}\\ A_{31}*B_{row1}+A_{32}*B_{row2}+A_{33}*B_{row3} \end{bmatrix}}_{C} \newline \end{aligned}$
C矩阵是B矩阵的行向量组合

1.4 单行和单列的乘积和

$\begin{aligned} \begin{bmatrix} 2&7\\ 3&8\\ 4&9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&6\\ 1&1\\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 2\\ 3\\ 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&6\\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 7\\ 8\\ 9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&1\\ \end{bmatrix} \newline &= \begin{bmatrix} 9&19\\ 11&26\\ 13&33 \end{bmatrix} \end{aligned}$

1.5 块乘法

$\begin{bmatrix} A_{1}&|&A_{2}\\ ——&——&——\\ A_{3}&|&A_{4} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} B_{1}&|&B_{2}\\ ——&——&——\\ B_{3}&|&B_{4} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} A_{1}*B_{1}+A_2*B_{3}&|&A_{1}*B_{2}+A_2*B_{4}\\ ————————&——&————————\\ A_{3}*B_{1}+A_4*B_{3}&|&A_{3}*B_{2}+A_4*B_{4} \end{bmatrix}$

2. 逆矩阵

2.1 逆矩阵的定义

存在
$A^{-1}A = I$
那么，称 $A^{-1}$ 为A的逆矩阵，A是可逆的，记为非奇异矩阵

当A为方阵（行数=列数）时，左逆矩阵=右逆矩阵
$A^{-1}A = I=AA^{-1}$

2.2 奇异矩阵

存在 $Ax=0(x非零向量)\Rightarrow A不可逆$
证明如下
$\begin{aligned} &Ax = 0 \newline&\xRightarrow{A^{-1}A=I} A^{-1}Ax=0\newline &\xRightarrow{} x=0 （与x为非零向量冲突） \end{aligned}$

延伸（学习了后面的列向量等）：

$A x$ 是A的列向量的线性组合， $A x = 0 有解$ 说明，存在A的列向量的组合为0，A不是满秩矩阵。
那么奇异矩阵不是满秩矩阵
那能不能说明由此推导出满秩矩阵可逆？
好像不是很充分，除非能推导出 $Ax=0(x非零向量)无解\Rightarrow A可逆$

2.3 Gauss-Jordan 求逆矩阵

2.3.1 求逆矩阵 $\Longleftrightarrow$ 解方程组

$\underbrace{\begin{bmatrix} 1&3\\ 2&7 \end{bmatrix}}_{A} \underbrace{\begin{bmatrix} a&c\\ b&d \end{bmatrix}}_{A^{-1}} =\underbrace{\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{bmatrix}}_{I} \Longleftrightarrow \begin{cases} a+3b=1 \\ 2c+7d=1\\ \end{cases}$

2.3.2 Gauss-Jordan求逆矩阵

$AA^{-1}=I$ 可写为：
$\begin{cases} \begin{bmatrix} 1&3\\ 2&7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a\\b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix} \\\\ \begin{bmatrix} 1&3\\ 2&7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c\\d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix} \end{cases}$

$\begin{aligned} \underbrace{\begin{bmatrix} 1&3&1&0\\ 2&7&0&1 \end{bmatrix}}_{\text{增广矩阵[A|I]}} &\xRightarrow{row_{2}-2row_{1}} \begin{bmatrix} 1&3&1&0\\ 0&1&-2&1 \end{bmatrix} \newline&\xRightarrow{row_{1}-3row_{2}} \underbrace{\begin{bmatrix} 1&0&7&-3\\ 0&1&-2&1 \end{bmatrix}}_{[I|E]} \end{aligned}$
第一种，老师上课讲的，公式推导
$E\begin{bmatrix} A&I \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} I&E \end{bmatrix} \Rightarrow EA=I \Rightarrow E = A^{-1}$
ps:

从矩阵A经过消元变成了单位矩阵, 那么A满秩，不然变不成单位矩阵。
所以说，如果A可逆，那么A一定是满秩矩阵。
如果A满秩，那么A一定可逆。

第二种，回代到方程组中，也能求出解
$\begin{cases} \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a\\b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7\\-2 \end{bmatrix} \\\\ \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c\\d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3\\1 \end{bmatrix} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = 7\\ b=-2\\ c=-3\\ d=1 \end{cases}$

三 矩阵乘法和逆矩阵