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高等代数笔记—线性变换

news 来源：原创 2025/5/17 6:43:52

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线性变换

线性空间 $V$ 到自身的映射称为 $V$ 的一个变换，最基本的是线性变换。
定义：变换 $\mathscr{A}: V \to V$ ，如果 $\forall \alpha,\beta \in V$ ， $\forall k \in F$ 都有：
$\mathscr{A} (\alpha + \beta)=\mathscr{A}(\alpha)+\mathscr{A}(\beta),$
$\mathscr{A}(k\alpha) = k\mathscr{A}(\alpha),$
则 $\mathscr{A}$ 为线性变换。

线性变换举例：
1、平面绕原点旋转 $\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$
2、空间绕轴旋转
3、几何空间中的内射影 $\Pi_\alpha (\zeta) = \frac{(\alpha,\zeta)}{(\alpha,\alpha)}\alpha$
4、线性空间中的恒等变换、零变换、数乘变换
5、 $F [x]$ 中求微商（求导）
6、 $\mathscr{A} (f(x))=\int_a^xf(t)dt, f(x) \in C[a,b]$

恒等变换（单位变换）： $\mathscr{E}(\alpha)=\alpha, \alpha\in V$
零变换： $\mathscr{O}(\alpha)=0, \alpha\in V$

$\mathscr{A}(0)=0$
$\mathscr{A}+\mathscr{O}=\mathscr{A}$
$\mathscr{A}(-\alpha)=\alpha$
若 $\beta=\Sigma_i k_i\alpha_i$ ，则 $\mathscr{A}(\beta) = \Sigma_i k_i \mathscr{A}(\alpha_i)$
$\mathscr{A}\mathscr{B}(\alpha) = \mathscr{A}(\mathscr{B}(\alpha))$
$\mathscr{A}\mathscr{B}\mathscr{L} = \mathscr{A}(\mathscr{B}\mathscr{L})$
$\mathscr{A}(\alpha) + \mathscr{B}(\alpha) = (\mathscr{A}+\mathscr{B})(\alpha)$
$\mathscr{A}+(\mathscr{B}+\mathscr{L})=(\mathscr{A}+\mathscr{B})+\mathscr{L}$
$\mathscr{A}+\mathscr{B}=\mathscr{B}+\mathscr{A}$
$(\mathscr{A}+\mathscr{B})\mathscr{L}=\mathscr{A}\mathscr{L}+\mathscr{B}\mathscr{L}$
$\mathscr{L}(\mathscr{A}+\mathscr{B})=\mathscr{L}\mathscr{A}+\mathscr{L}\mathscr{B}$
一般不存在 $\mathscr{A}\mathscr{B}=\mathscr{B}\mathscr{A}=\mathscr{E}$
其中， $\alpha, \beta, \alpha_i \in V$ ， $\mathscr{A},\mathscr{B},\mathscr{L}$ 是 $V$ 的线性变换

线性变换的乘积、逆变换仍为线性变换（假如逆变换存在的话）

$\mathscr{A}^0 = \mathscr{E}$
$\mathscr{A}^{m+n} = \mathscr{A}^{m}+\mathscr{A}^n$
$(\mathscr{A}^m)^n = \mathscr{A}^{mn}$
一般不存在 $(\mathscr{A}\mathscr{B})^n \neq \mathscr{A}^n \mathscr{B}^n$
$f(\mathscr{A})g(\mathscr{B})=g(\mathscr{B})f(\mathscr{A})$
其中， $m,n\geq 0$ ， $f(x),g(x)\in P[x]$

向量 $\zeta$ 在以向量 $\alpha$ 为法向量的平面 $x$ 上的内射影为 $\Pi_x(\zeta)$ ，则 $\Pi_x(\zeta) = \zeta - \Pi_\alpha(\zeta)$ ，进一步可得到 $\Pi_x = \mathscr{E} - \Pi_\alpha$

$\mathscr{A}(\epsilon_1,...,\epsilon_n)=(\mathscr{A}\epsilon_1,...,\mathscr{A}\epsilon_n)=(\epsilon_1,...,\epsilon_n)A$
其中， $\epsilon_1,...,\epsilon_n$ 是 $V$ 的一组基， $A$ 是一个 $n\times n$ 矩阵。
定理： $\epsilon_1,...,\epsilon_n$ 是数域 $F$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的一组基，在这组基下，每个线性变换对应一个 $n\times n$ 矩阵，这个对应有如下性质：
1、线性变换的和对应矩阵的和
2、线性变换的乘积对应于矩阵的乘积
3、线性变换的数乘对应矩阵的数乘
4、可逆的线性变换与可逆矩阵对应，逆变换对应逆矩阵

由第四条得出恒等变换对应单位矩阵。

$\mathscr{A}$ 在基 $\epsilon_1,...,\epsilon_n$ 下的矩阵为 $A$ ，向量 $\zeta$ 在基 $\epsilon_1,...,\epsilon_n$ 下的坐标为 $x_1,...,x_n$ 。则 $\mathscr{A}\zeta$ 在基 $\epsilon_1,...,\epsilon_n$ 下的坐标 $y_1,...,y_n$ 与 $\zeta$ 的坐标有何关系？
向量由基线性表示：
$\zeta = (\epsilon_1,...,\epsilon_n)(x_1,...,x_n)^T$ 式1
$\mathscr{A}\zeta = (\epsilon_1,...,\epsilon_n)(y_1,...,y_n)^T$ 式2
将 $\mathscr{A}(\epsilon_1,...,\epsilon_n)=(\epsilon_1,...,\epsilon_n)A$ 代入式1得到：
$\mathscr{A}\zeta=(\mathscr{A}\epsilon_1,...,\mathscr{A}\epsilon_n)(x_1,...,x_n)^T=(\epsilon_1,...,\epsilon_n)A(x_1,...,x_n)^T$ 式3
由于基线性无关，所以有：
$y_1,...,y_n)^T=A(x_1,...,x_n)^T$

$\epsilon_1,...,\epsilon_m$ 是 $n (n > m)$ 维线性空间 $V$ 的子空间 $W$ 的一组基，把它扩充为 $V$ 的一组基 $\epsilon_1,...,\epsilon_n$ ，定义如下线性变换：
$\mathscr{A}\epsilon_i = \epsilon_i, i=1,...,m$
$\mathscr{A}\epsilon_i = 0, i=m+1,...,n$
则 $\mathscr{A}$ 称为对 $W$ 的一个投影，并有 $\mathscr{A}^2 = \mathscr{A}$ ， $\mathscr{A}$ 在基 $\epsilon_1,...,\epsilon_m$ 下对应的矩阵为一个 $n\times n$ 对角矩阵，对角线上前 $m$ 个元素为1，后 $n - m$ 个元素为0。

定理：线性变换 $\mathscr{A}$ 在两组基下的矩阵为 $A, B$ ，则有 $B=X^{-1}AX$ ， $X$ 称为过渡矩阵
定义：若 $B=X^{-1}AX$ ，则 $A\sim B$

定义： $\mathscr{A}$ 是数域 $F$ 上的线性空间 $V$ 的一个线性变换，如果对于 $\lambda \in F$ ，存在 $\zeta\in V, \zeta\neq 0$ 使得 $\mathscr{A} \zeta=\lambda \zeta$ ，则 $\lambda,\zeta$ 为 $\mathscr{A}$ 的一对特征值与特征向量。

若 $\mathscr{A}$ 对应矩阵 $A$ ，则由 $|\lambda E-A|=0$ 求解特征值。
$|\lambda E-A|$ 称为 $A$ 的特征多项式，是数域 $F$ 上的 $n$ 次多项式。

举例：
在 $F[x]_n$ 中，求导 $\mathscr{D}$ 是一个线性变换，在基 $1,x,\frac{x^2}{2!},...,\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}$ 下的矩阵是 $D=\begin{bmatrix} 0_{1\times (n-1)} & diag(1,1,...,1) \\ 0_{1\times 1} & 0_{(n-1) \times 1} \end{bmatrix}$
由 $|\lambda E -D| = 0$ 解出 $\lambda=0$ （ $n$ 重根）。
将 $\lambda=0$ 代入齐次线性方程组 $(\lambda E-D)(x_1,...,x_n)^T=(0,...,0)^T$ ，得到基础解系 $1,0,...,0)^T$ ，则属于 $\lambda=0$ 的特征向量为 $k$ ，即特征向量为任意常数。
（ $\mathscr{D} f(x) = \lambda f(x)$ ，因为 $\lambda=0$ ，所以 $\mathscr{D} f(x) = 0$ ，则 $f (x) = k$ ）

$\mathscr{A}$ 的一个特征子空间 $V_{\lambda_0}$ 是指满足 $\mathscr{A} \alpha = \lambda_0 \alpha$ 的所有向量构成的集合（属于 $\lambda_0$ 的所有特征向量以及零向量），其中 $\lambda_0$ 是 $\mathscr{A}$ 的一个特征值。
$V_{\lambda_0} = \set{\alpha | \mathscr{A} \alpha = \lambda_0 \alpha, \alpha \in V}$

$|\lambda E -A|$ 的前两项与常数项为 $\lambda^n,-(trA)\lambda^{n-1}, (-1)^n |A|$ ，由韦达定理得出 $A$ 的全体特征值之和为 $t r A$ ， $A$ 的全体特征值之积为 $∣ A ∣$ 。
证明：特征值之和等于迹，特征值之积等于行列式 - 蒋蒋蒋的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/649770264

哈密顿-凯莱定理： $f(\lambda)=|\lambda E-A|$ ，则 $f(A)=A^n-(trA)A^{n-1}+...+(-1)^n |A|E=0$
推论： $f(\mathscr{A})=\mathscr{O}$

不变子空间：
$\mathscr{A}$ 是数域 $F$ 上的线性空间 $V$ 的线性变换， $W$ 是 $V$ 的子空间，如果 $W$ 中的像在 $\mathscr{A}$ 下的像仍在 $W$ 中，则称 $W$ 是 $\mathscr{A}$ 的不变子空间，简称 $\mathscr{A}$ —子空间。
$\forall \xi \in W, \mathscr{A} \xi \in W$

不变子空间举例： $V$ ， $\set{0}$ ， $\mathscr{A}$ 的值域， $\mathscr{A}$ 的核， $V_{\lambda_0}$ 。

$\mathscr{A}$ 的值域为 $\set{\mathscr{A}\xi | \xi \in V}$
$\mathscr{A}$ 的核为 $\set{\xi | \mathscr{A}\xi = 0, \xi \in V}$
值域的维数称为秩，核的维数称为零度。
线性变换的值域与核 - 豆瓜爱数学的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/153467121

线性变换

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