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似然分布（Likelihood Distribution）和似然函数（Likelihood Function）有什么区别？中英双语

news 来源：原创 2025/7/14 1:34:43

中文版

在统计学中，似然分布（Likelihood Distribution）和似然函数（Likelihood Function）是两个相关但有所不同的概念。它们都涉及给定参数的情况下，数据出现的概率，但是它们的使用方式和含义有所不同。

1. 似然分布（Likelihood Distribution）

似然分布是指在给定一个特定的参数值下，观察到某一数据集的概率分布。换句话说，它是参数值对数据的概率。如果我们知道一个参数（例如均值或方差），那么似然分布就可以告诉我们这些参数下数据的分布情况。

例如，在高斯分布中，给定均值 ( $\mu$ ) 和方差 ( $\sigma^2$ )，数据 ( $D = \{x_1, x_2, ..., x_N$ } ) 的似然分布是：
$\mu, \sigma^2) = \prod_{i=1}^{N} p(x_i | \mu, \sigma^2)$
这里，似然分布是关于数据 ( $D$ ) 的，而它是依赖于参数 ( $\mu$ ) 和 ( $\sigma^2$ ) 的。在贝叶斯推理中，我们通过似然分布来更新关于参数的信念。

2. 似然函数（Likelihood Function）

似然函数是固定数据集的条件下，关于参数的函数。它是似然分布的一个具体化，表示在给定数据 ( $D$ ) 后，参数值的函数形式。换句话说，似然函数是对参数进行建模的方式，通过它我们可以根据不同的参数值来计算数据集出现的“可能性”。

举个例子，假设你有一个由高斯分布生成的数据集 ( $D = \{x_1, x_2, ..., x_N\}$ )，而你想根据这些数据来估计高斯分布的均值 ( $\mu$ ) 和方差 ( $\sigma^2$ )。似然函数是如下的形式：
$L(\mu, \sigma^2 | D) = \prod_{i=1}^{N} \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \exp\left( -\frac{(x_i - \mu)^2}{2\sigma^2} \right)$
这里的 ( $L(\mu, \sigma^2 | D)$ ) 就是似然函数，它表示在给定数据 ( $D$ ) 的情况下，参数 ( $\mu$ ) 和 ( $\sigma^2$ ) 的可能性。

区别

似然分布（Likelihood Distribution）是对数据的概率分布，它依赖于已知的参数值，用来描述数据的生成过程。
似然函数（Likelihood Function）是对已知数据的概率的函数，它依赖于参数值，并且它通常是根据数据来估计参数的工具。

举例说明：

假设你有一组数据 ( $\{x_1, x_2, \dots, x_N\}$ )，这些数据假设来自某个高斯分布。你想估计均值 ( $\mu$ ) 和方差 ( $\sigma^2$ )。

似然分布是给定 ( $\mu$ ) 和 ( $\sigma^2$ ) 后，数据 ( $D$ ) 出现的总体概率（这是描述模型的参数对数据产生的影响）。
似然函数是给定数据 ( $D$ ) 后，参数 ( $\mu$ ) 和 ( $\sigma^2$ ) 的“可能性”。你可以通过最大化似然函数来估计参数值。

总结：

似然分布通常是从概率论的角度来看待的，描述的是数据在不同参数下的分布。
似然函数则是一个数学函数，用来描述在给定数据的情况下，参数值如何影响数据的生成过程。

英文版

In statistics, the terms likelihood distribution and likelihood function are closely related but represent different concepts. Both involve the probability of data given a set of parameters, but they are used in different contexts and have distinct meanings.

1. Likelihood Distribution

A likelihood distribution refers to the probability distribution of the data given specific parameter values. In other words, it is the probability of observing the data for a particular set of parameters. If we know the parameters (e.g., mean or variance), the likelihood distribution tells us the distribution of the data under those parameters.

For example, in a Gaussian distribution, given the mean ( $\mu$ ) and variance ( $\sigma^2$ ), the likelihood distribution of the data ( $D = \{x_1, x_2, ..., x_N$ } ) is:
$\mu, \sigma^2) = \prod_{i=1}^{N} p(x_i | \mu, \sigma^2)$
Here, the likelihood distribution is over the data ( $D$ ), but it depends on the parameters ( $\mu$ ) and ( $\sigma^2$ ). In Bayesian inference, we use the likelihood distribution to update our belief about the parameters.

2. Likelihood Function

A likelihood function is a function of the parameters given a fixed dataset. It is a specific form of the likelihood distribution that represents the likelihood of the parameters given the data. In other words, the likelihood function is the model for the parameters, and through it, we calculate the “likelihood” of observing the data for different values of the parameters.

For example, suppose you have a dataset ( $D = \{x_1, x_2, ..., x_N\}$ ) generated from a Gaussian distribution, and you want to estimate the mean ( $\mu$ ) and variance ( $\sigma^2$ ). The likelihood function would take the following form:
$L(\mu, \sigma^2 | D) = \prod_{i=1}^{N} \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \exp\left( -\frac{(x_i - \mu)^2}{2\sigma^2} \right)$
Here, ( $L(\mu, \sigma^2 | D)$ ) is the likelihood function, which gives the likelihood of the parameters ( $\mu$ ) and ( $\sigma^2$ ) given the data ( $D$ ).

Differences

Likelihood Distribution is the probability distribution of the data, dependent on the known parameters. It describes how the data is generated based on the model’s parameters.
Likelihood Function is the function of the parameters given the observed data. It is used to estimate parameters by evaluating how likely the data is under different parameter values.

Example:

Suppose you have data ( $D = \{x_1, x_2, ..., x_N\}$ ) assumed to come from a Gaussian distribution, and you want to estimate the mean ( $\mu$ ) and variance ( $\sigma^2$ ).

Likelihood Distribution describes the overall probability of the data ( $D$ ) under different values of ( $\mu$ ) and ( $\sigma^2$ ) (this is the model describing how data is generated).
Likelihood Function is the function ( $L(\mu, \sigma^2 | D)$ ) that gives the “likelihood” of the parameters ( $\mu$ ) and ( $\sigma^2$ ) given the data ( $D$ ). You can use the likelihood function to estimate the parameters by maximizing it.

Summary:

Likelihood Distribution typically refers to the distribution of data across different parameters.
Likelihood Function is a mathematical function used to describe how the parameters affect the data and is used to estimate parameters by calculating the likelihood of the data under various parameter values.

后记

2024年11月28日15点51分于上海，在GPT4o大模型辅助下完成。

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