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探寻系统响应的奥秘：为何常用以 e 为底的指数组合表示

news 来源：原创 2025/7/6 14:15:39

一、引言

在工程与科学领域的系统分析中，常常会发现系统响应多以 e e e 为底的指数组合来表示。从电路系统里的电流电压变化，到机械系统的振动情况，再到控制系统的动态特性，这种表示方法无处不在。那么，究竟是什么原因使得以 e e e 为底的指数组合在描述系统响应时如此普遍且重要呢？本文将从多个层面深入剖析这一现象。

二、线性常系数微分方程理论基础

1. 线性常系数微分方程的重要性

许多实际系统，无论是电气、机械还是其他领域的系统，其动态行为都可以用线性常系数微分方程来描述。例如，一个简单的 RC 电路，电容的充电和放电过程就可以通过一个一阶线性常系数微分方程来刻画。对于一个更为复杂的机械振动系统，如弹簧 - 质量 - 阻尼系统，其位移随时间的变化则需要用二阶线性常系数微分方程来表示。

2. 求解线性常系数微分方程与指数函数的关联

对于线性常系数微分方程 a n d n y d t n + a n − 1 d n − 1 y d t n − 1 + ⋯ + a 1 d y d t + a 0 y = f ( t ) a_n\frac{d^n y}{dt^n}+a_{n - 1}\frac{d^{n - 1} y}{dt^{n - 1}}+\cdots+a_1\frac{dy}{dt}+a_0y = f(t) an​dtndny​+an−1​dtn−1dn−1y​+⋯+a1​dtdy​+a0​y=f(t)（其中 a i a_i ai​ 为常数， i = 0 , 1 , ⋯ , n i = 0,1,\cdots,n i=0,1,⋯,n），我们尝试将 y = e s t y = e^{st} y=est 代入方程。以二阶线性常系数微分方程 a d 2 y d t 2 + b d y d t + c y = 0 a\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+b\frac{dy}{dt}+cy = 0 adt2d2y​+bdtdy​+cy=0 为例，把 y = e s t y = e^{st} y=est 代入后得到 a s 2 e s t + b s e s t + c e s t = 0 as^{2}e^{st}+bse^{st}+ce^{st}=0 as2est+bsest+cest=0由于 e s t ≠ 0 e^{st}\neq0 est=0，方程可以化简为 a s 2 + b s + c = 0 as^{2}+bs + c = 0 as2+bs+c=0这就是特征方程。求解特征方程得到特征根 s 1 s_1 s1​ 和 s 2 s_2 s2​，那么方程的通解就是 y ( t ) = C 1 e s 1 t + C 2 e s 2 t y(t)=C_1e^{s_1t}+C_2e^{s_2t} y(t)=C1​es1​t+C2​es2​t（ C 1 , C 2 C_1,C_2 C1​,C2​ 为常数）。这种求解方法将复杂的微分运算转化为相对简单的代数运算，大大简化了方程的求解过程。

三、指数函数的数学原理层面优势

1. 指数函数的求导特性

指数函数 y = e x y = e^x y=ex 具有独特的求导性质，其导数 d d x ( e x ) = e x \frac{d}{dx}(e^x)=e^x dxd​(ex)=ex即它的导数等于自身。在求解线性常系数微分方程时，这一特性使得代入 y = e s t y = e^{st} y=est 后，求导运算变得十分简便。例如，对 y = e s t y = e^{st} y=est 求一阶导数为 d y d t = s e s t \frac{dy}{dt}=se^{st} dtdy​=sest求二阶导数为 d 2 y d t 2 = s 2 e s t \frac{d^{2}y}{dt^{2}}=s^{2}e^{st} dt2d2y​=s2est以此类推。这种简洁的求导结果使得在构建特征方程时，能够快速准确地将微分方程转化为代数方程。而对于其他底数 a a a 的指数函数 y = a x y = a^x y=ax其导数为 d d x ( a x ) = a x ln ⁡ a \frac{d}{dx}(a^x)=a^x\ln a dxd​(ax)=axlna相比之下，计算会更复杂一些。

2. 指数函数与复变函数和欧拉公式的紧密联系

在复数域中，欧拉公式 e i θ = cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta eiθ=cosθ+isinθ 建立了指数函数与三角函数之间的桥梁。对于复数形式的指数函数 e ( α + i β ) t = e α t ( cos ⁡ ( β t ) + i sin ⁡ ( β t ) ) e^{(\alpha + i\beta)t}=e^{\alpha t}(\cos(\beta t)+i\sin(\beta t)) e(α+iβ)t=eαt(cos(βt)+isin(βt))它可以将复数形式的指数函数表示为实部和虚部都是三角函数的形式。在分析系统的振荡和周期性行为时，这种表示方法非常有用。例如，在交流电路分析中，电压和电流通常是随时间作正弦或余弦变化的，通过欧拉公式，可以将其表示为以 e e e 为底的指数形式，方便进行复数运算和分析。

四、求解便利性层面考量

1. 简化计算过程

如前文所述，将 y = e s t y = e^{st} y=est 代入线性常系数微分方程得到特征方程，求解特征方程得到特征根，进而得到方程的通解。这种方法将求解微分方程的问题转化为求解代数方程的问题，大大简化了计算过程。例如，对于一个高阶线性常系数微分方程，如果不采用指数函数代入的方法，直接求解可能会涉及到复杂的积分和微分运算，计算量巨大且容易出错。而通过特征方程求解，只需要进行代数运算，相对简单易行。

2. 便于分析系统特性

通过求解特征方程得到的特征根可以直接反映系统的特性。例如，在控制系统中，特征根的实部和虚部分别与系统的稳定性和振荡特性相关。如果特征根的实部都小于零，那么系统是稳定的；实部的绝对值越大，系统响应衰减得越快；虚部不为零则表示系统会出现振荡，虚部的大小决定了振荡的频率。这种通过特征根分析系统特性的方法非常直观和有效，能够帮助工程师快速判断系统的性能，并进行相应的调整和优化。

3. 不同底数指数函数的等价性

指数函数组不一定非要以 e e e 为底，在理论上可以使用任意大于 0 且不等于 1 的正数作为底数，但以 e e e 为底有诸多独特优势，以下详细分析：

对于任意底数 a ( a > 0 , a ≠ 1 ) a(a>0,a\neq1) a(a>0,a=1) 的指数函数 y = a x y = a^x y=ax，根据对数的性质，可以将其转化为以 e e e 为底的指数函数形式。由对数恒等式 a = e ln ⁡ a a = e^{\ln a} a=elna，可得 a x = ( e ln ⁡ a ) x = e x ln ⁡ a a^x=(e^{\ln a})^x=e^{x\ln a} ax=(elna)x=exlna

这表明，任何底数的指数函数都能与以 e e e 为底的指数函数建立联系，它们在本质上是等价的，都能表示指数增长或衰减的变化规律。所以从表示系统响应的角度，用任意底数的指数函数组都可以描述系统的动态特性。

4. 以 e e e 为底的优势

  • 求导和积分运算简便：数学中，以 e e e 为底的指数函数 y = e x y = e^x y=ex 具有独特的求导性质，其导数 d d x ( e x ) = e x \frac{d}{dx}(e^x)=e^x dxd​(ex)=ex即它的导数等于自身。在求解线性常系数微分方程时，将 y = e s t y = e^{st} y=est 代入方程后，经过求导运算，能方便地得到关于 s s s 的代数方程（特征方程）。而对于 y = a x y = a^x y=ax，其导数为 d d x ( a x ) = a x ln ⁡ a \frac{d}{dx}(a^x)=a^x\ln a dxd​(ax)=axlna相比之下，计算会更复杂一些。在积分运算中 ∫ e x d x = e x + C \int e^x dx = e^x + C ∫exdx=ex+C形式简洁，这使得在处理涉及指数函数的积分问题时更加高效。
  • 自然科学中的广泛应用：在自然科学和工程领域，许多实际问题的数学模型都与以 e e e 为底的指数函数密切相关。例如，在描述放射性物质的衰变过程、电容器的充放电过程、生物种群的增长模型等问题中，自然地出现了以 e e e 为底的指数函数。这是因为这些现象的内在规律遵循指数变化，而以 e e e 为底能最自然、最简洁地表达这种变化关系。
  • 与复变函数和欧拉公式的紧密联系：在复数域中，欧拉公式 e i θ = cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta eiθ=cosθ+isinθ 建立了指数函数与三角函数之间的桥梁。这一公式在信号处理、电气工程、量子力学等领域有着广泛的应用。通过欧拉公式，可以将复数形式的指数函数 e ( α + i β ) t = e α t ( cos ⁡ ( β t ) + i sin ⁡ ( β t ) ) e^{(\alpha + i\beta)t}=e^{\alpha t}(\cos(\beta t)+i\sin(\beta t)) e(α+iβ)t=eαt(cos(βt)+isin(βt)) 表示为实部和虚部都是三角函数的形式，方便对系统的振荡和周期性行为进行分析。而对于其他底数的指数函数，与复变函数和三角函数的联系不如以 e e e 为底的指数函数直接和简洁。

五、物理意义层面体现

1. 描述系统的自然响应

在许多物理系统中，指数函数可以很好地描述系统的自然响应。例如，在电路系统中，电容的充电和放电过程、电感中的电流变化等都可以用指数函数来表示。以电容充电为例，电容电压 u C ( t ) = U ( 1 − e − t R C ) u_C(t)=U(1 - e^{-\frac{t}{RC}}) uC​(t)=U(1−e−RCt​)其中 U U U 是电源电压， R R R 是电阻， C C C 是电容， e − t R C e^{-\frac{t}{RC}} e−RCt​ 体现了电容电压随时间的指数变化规律。在机械系统中，弹簧 - 质量 - 阻尼系统的自由振动也可以用指数函数和三角函数的组合来描述。

2. 反映信号的传播和衰减

在信号处理和通信领域，指数函数可以表示信号的传播和衰减特性。例如，在传输线上，信号的幅度会随着距离的增加而按指数规律衰减。通过假设系统响应为以 e e e 为底的指数形式，可以方便地分析信号在系统中的传播和变化情况。例如，在光纤通信中，光信号在光纤中的传输会受到衰减，其强度随传输距离的变化可以用指数函数来描述。

六、函数空间完备性的支撑

下面将深入浅出地解释指数函数族构成完备函数空间以及它与线性常系数微分方程解的关系。

1. 什么是函数空间的完备性

想象有一个“函数大家庭”，里面住着各种各样满足特定规则的函数。这个“大家庭”就是函数空间。比如，所有在某个区间上连续的函数可以组成一个函数空间。

完备性就像是这个“大家庭”的一个优良特性。在这个“大家庭”里，如果有一串函数（就像排着队的一群小伙伴），它们彼此之间越来越“像”（用数学术语说就是满足柯西序列的条件），那么最终这串函数一定会收敛到这个“大家庭”里的某一个函数。也就是说，这个“大家庭”不会让这串函数跑到外面去，它是封闭的。

2. 指数函数族构成完备函数空间

指数函数族就是由很多形如 e s t e^{st} est（其中 s s s 是复数）的函数组成的一个“小团体”。在一定的条件下，这个“小团体”也能构成一个完备的函数空间。

这就好比在一个特殊的“小社会”里，里面住着很多长得像 e s t e^{st} est 的“居民”。只要满足特定的要求，这个“小社会”也是完备的。也就是说，如果有一串指数函数，它们彼此越来越接近，那么这串指数函数最终会收敛到这个“小社会”里的某个指数函数或者指数函数的组合。

3. 用指数函数的线性组合精确表示其他函数

因为指数函数族构成了完备的函数空间，所以对于一些满足特定条件的函数（就像是其他一些符合某些特征的“外来客人”），我们都可以用指数函数的线性组合来精确表示它们。

线性组合就像是把不同的指数函数“混搭”在一起。比如，有 e s 1 t e^{s_1t} es1​t、 e s 2 t e^{s_2t} es2​t、 e s 3 t e^{s_3t} es3​t 这些指数函数，我们可以给它们分别乘上一些系数 C 1 C_1 C1​、 C 2 C_2 C2​、 C 3 C_3 C3​ ，然后加起来，得到 C 1 e s 1 t + C 2 e s 2 t + C 3 e s 3 t C_1e^{s_1t}+C_2e^{s_2t}+C_3e^{s_3t} C1​es1​t+C2​es2​t+C3​es3​t这就是一个线性组合。对于那些满足条件的“外来客人”函数，我们总能找到合适的系数 C i C_i Ci​ 和 s i s_i si​ ，让这个线性组合和“外来客人”函数一模一样。

4. 与线性常系数微分方程解的关系

线性常系数微分方程是一类描述系统变化规律的方程，很多实际问题都可以用这类方程来表示，比如电路中的电流变化、机械系统的振动等。

根据指数函数族构成完备函数空间这个特性，我们就可以大胆地假设线性常系数微分方程的解是指数函数的线性组合形式，即 y ( t ) = ∑ i = 1 n C i e s i t y(t)=\sum_{i = 1}^{n}C_ie^{s_it} y(t)=i=1∑n​Ci​esi​t （其中 C i C_i Ci​ 是常数， s i s_i si​ 是特征根）。

这就好比我们知道在这个“小社会”（指数函数族构成的完备空间）里一定能找到符合线性常系数微分方程要求的“居民”组合。我们把 y ( t ) = ∑ i = 1 n C i e s i t y(t)=\sum_{i = 1}^{n}C_ie^{s_it} y(t)=i=1∑n​Ci​esi​t 代入到线性常系数微分方程中，通过一系列的计算（求解特征方程），就能确定出特征根 s i s_i si​ 。然后再根据一些初始条件，就能确定出系数 C i C_i Ci​ ，这样就找到了微分方程的解。

举个简单的例子，对于一个二阶线性常系数微分方程 d 2 y d t 2 + 3 d y d t + 2 y = 0 \frac{d^2y}{dt^2}+3\frac{dy}{dt}+2y = 0 dt2d2y​+3dtdy​+2y=0我们假设 y ( t ) = e s t y(t)=e^{st} y(t)=est 代入方程后得到 s 2 e s t + 3 s e s t + 2 e s t = 0 s^2e^{st}+3se^{st}+2e^{st}=0 s2est+3sest+2est=0 因为 e s t e^{st} est 不为零，所以可以得到特征方程 s 2 + 3 s + 2 = 0 s^2 + 3s + 2 = 0 s2+3s+2=0 解这个方程得到 s 1 = − 1 s_1=-1 s1​=−1 ， s 2 = − 2 s_2=-2 s2​=−2 ，那么方程的通解就是 y ( t ) = C 1 e − t + C 2 e − 2 t y(t)=C_1e^{-t}+C_2e^{-2t} y(t)=C1​e−t+C2​e−2t这里的 C 1 C_1 C1​ 和 C 2 C_2 C2​ 可以根据初始条件（比如 y ( 0 ) y(0) y(0) 和 y ′ ( 0 ) y^\prime(0) y′(0) 的值）来确定。

总之，指数函数族的完备性为我们求解线性常系数微分方程提供了一种有效的方法和理论依据。

七、收敛的概念与指数函数序列

为了更清楚地解释“如果有一串指数函数，它们彼此越来越接近，那么这串指数函数最终会收敛到这个 ‘小社会’ 里的某个指数函数或者指数函数的组合”，我们可以从收敛的概念、具体例子以及在微分方程求解中的意义等方面来详细说明。

1. 收敛的概念

在数学里，收敛描述的是一个序列的元素随着序号不断增大，逐渐趋近于某个特定值或对象的过程。对于函数序列而言，“彼此越来越接近”意味着随着序列中函数的序号增加，任意两个函数之间的差异会变得越来越小。

在函数空间中，我们通常使用某种度量（例如范数）来衡量两个函数之间的差异。对于指数函数族构成的函数空间，假设我们有一个指数函数序列 { f n ( t ) } \{f_n(t)\} {fn​(t)}，其中 f n ( t ) = C n 1 e s n 1 t + C n 2 e s n 2 t + ⋯ + C n k e s n k t f_n(t)=C_{n1}e^{s_{n1}t}+C_{n2}e^{s_{n2}t}+\cdots + C_{nk}e^{s_{nk}t} fn​(t)=Cn1​esn1​t+Cn2​esn2​t+⋯+Cnk​esnk​t（ n = 1 , 2 , 3 , ⋯ n = 1,2,3,\cdots n=1,2,3,⋯ ）。如果对于任意给定的一个非常小的正数 ϵ \epsilon ϵ，都能找到一个正整数 N N N，使得当 m , n > N m,n > N m,n>N 时，这两个函数 f m ( t ) f_m(t) fm​(t) 和 f n ( t ) f_n(t) fn​(t) 之间的差异（用范数表示，比如 ∥ f m − f n ∥ \|f_m - f_n\| ∥fm​−fn​∥ ）小于 ϵ \epsilon ϵ，那么就称这个序列是一个柯西序列。

而“最终会收敛到这个 ‘小社会’ 里的某个指数函数或者指数函数的组合”，意思是存在一个特定的指数函数或者指数函数的组合 f ( t ) = C 1 e s 1 t + C 2 e s 2 t + ⋯ + C k e s k t f(t)=C_1e^{s_1t}+C_2e^{s_2t}+\cdots + C_ke^{s_kt} f(t)=C1​es1​t+C2​es2​t+⋯+Ck​esk​t使得当 n n n 无限增大时，函数 f n ( t ) f_n(t) fn​(t) 与 f ( t ) f(t) f(t) 之间的差异（即 ∥ f n − f ∥ \|f_n - f\| ∥fn​−f∥ ）趋近于 0。

2. 具体例子

假设我们有一个指数函数序列 { f n ( t ) } \{f_n(t)\} {fn​(t)}，其中 f n ( t ) = 1 n e t + ( 1 − 1 n ) e 2 t f_n(t)=\frac{1}{n}e^{t}+(1 - \frac{1}{n})e^{2t} fn​(t)=n1​et+(1−n1​)e2t n = 1 , 2 , 3 , ⋯ n = 1,2,3,\cdots n=1,2,3,⋯ 。

当 n n n 越来越大时， 1 n \frac{1}{n} n1​ 会越来越趋近于 0， 1 − 1 n 1-\frac{1}{n} 1−n1​ 会越来越趋近于 1。所以，这个函数序列中的函数彼此会越来越接近。

我们可以计算两个函数 f m ( t ) f_m(t) fm​(t) 和 f n ( t ) f_n(t) fn​(t) 之间的差异。设 m > n m>n m>n，则：

∣ f m ( t ) − f n ( t ) ∣ = ∣ ( 1 m e t + ( 1 − 1 m ) e 2 t ) − ( 1 n e t + ( 1 − 1 n ) e 2 t ) ∣ = ∣ ( 1 m − 1 n ) e t + ( 1 n − 1 m ) e 2 t ∣ = ∣ n − m m n e t + m − n m n e 2 t ∣ \begin{align*} |f_m(t)-f_n(t)|&=\left|\left(\frac{1}{m}e^{t}+(1 - \frac{1}{m})e^{2t}\right)-\left(\frac{1}{n}e^{t}+(1 - \frac{1}{n})e^{2t}\right)\right|\\ &=\left|\left(\frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right)e^{t}+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\right)e^{2t}\right|\\ &=\left|\frac{n - m}{mn}e^{t}+\frac{m - n}{mn}e^{2t}\right| \end{align*} ∣fm​(t)−fn​(t)∣​= ​(m1​et+(1−m1​)e2t)−(n1​et+(1−n1​)e2t) ​= ​(m1​−n1​)et+(n1​−m1​)e2t ​= ​mnn−m​et+mnm−n​e2t ​​

随着 m m m 和 n n n 不断增大， n − m m n \frac{n - m}{mn} mnn−m​ 会趋近于 0，所以 ∣ f m ( t ) − f n ( t ) ∣ |f_m(t)-f_n(t)| ∣fm​(t)−fn​(t)∣ 会趋近于 0，即函数序列 { f n ( t ) } \{f_n(t)\} {fn​(t)} 是一个柯西序列。

而这个序列最终会收敛到函数 f ( t ) = e 2 t f(t)=e^{2t} f(t)=e2t ，因为当 n → ∞ n\to\infty n→∞ 时， lim ⁡ n → ∞ f n ( t ) = lim ⁡ n → ∞ ( 1 n e t + ( 1 − 1 n ) e 2 t ) = e 2 t \lim_{n\to\infty}f_n(t)=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n}e^{t}+(1 - \frac{1}{n})e^{2t}\right)=e^{2t} n→∞lim​fn​(t)=n→∞lim​(n1​et+(1−n1​)e2t)=e2t e 2 t e^{2t} e2t 是指数函数族里的一个函数，属于这个“小社会”。

3. 在微分方程求解中的意义

在求解线性常系数微分方程时，我们常常会得到一系列可能的解的形式，这些解可以看作是指数函数的组合。通过不断地分析和调整，我们可以得到一个解的序列。

由于指数函数族构成的函数空间是完备的，这个解的序列如果满足彼此越来越接近（即构成柯西序列），那么它最终会收敛到一个确定的解，这个解也是指数函数的组合。这就为我们求解微分方程提供了理论保障，让我们知道只要按照一定的方法去寻找解，最终一定能找到一个在这个函数空间内的准确解。

例如，在求解一个复杂的高阶线性常系数微分方程时，我们可能会先通过一些近似方法得到一系列的近似解，这些近似解构成一个指数函数序列。随着近似程度的不断提高，这些近似解彼此会越来越接近。根据指数函数族的完备性，我们知道这个序列最终会收敛到方程的精确解，这个精确解同样是指数函数的组合形式。

八、其他完备的函数族与系统响应表示

从理论上来说，如果某个函数族能够构成完备函数空间，那么系统响应也可以用该函数族的线性组合来表示。以下从不同构成完备函数空间的函数族以及在系统响应表示中的应用来具体阐述。

1. 三角函数族

  • 完备性与傅里叶级数：三角函数族 { 1 , cos ⁡ ( n ω t ) , sin ⁡ ( n ω t ) } ( n = 1 , 2 , ⋯ ) \{1, \cos(n\omega t), \sin(n\omega t)\}(n = 1,2,\cdots) {1,cos(nωt),sin(nωt)}(n=1,2,⋯)在一定区间上构成完备函数空间。对于满足狄利克雷条件的周期函数 f ( t ) f(t) f(t)，可以展开为傅里叶级数，即 f ( t ) = a 0 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ ( n ω t ) + b n sin ⁡ ( n ω t ) ) f(t)=a_0+\sum_{n = 1}^{\infty}(a_n\cos(n\omega t)+b_n\sin(n\omega t)) f(t)=a0​+n=1∑∞​(an​cos(nωt)+bn​sin(nωt))其中 a 0 a_0 a0​、 a n a_n an​、 b n b_n bn​为傅里叶系数。
  • 在系统响应表示中的应用：在信号处理和通信领域，许多信号是周期信号或者可以近似看作周期信号。例如，在分析交流电路中的周期性电压或电流信号时，就可以将其表示为不同频率的正弦和余弦函数的组合。通过傅里叶级数展开，能够清晰地了解信号包含的频率成分，进而进行滤波、调制等信号处理操作。

2. 正交多项式族

  • 完备性与正交性：像勒让德多项式、切比雪夫多项式等正交多项式族在特定区间上构成完备函数空间。以勒让德多项式 P n ( x ) P_n(x) Pn​(x)为例，它们在区间 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [−1,1]上具有正交性，即 ∫ − 1 1 P m ( x ) P n ( x ) d x = 0 ( m ≠ n ) \int_{-1}^{1}P_m(x)P_n(x)dx = 0(m\neq n) ∫−11​Pm​(x)Pn​(x)dx=0(m=n)任意在 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [−1,1]上平方可积的函数 f ( x ) f(x) f(x)都可以展开为勒让德多项式的级数 f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n P n ( x ) f(x)=\sum_{n = 0}^{\infty}a_nP_n(x) f(x)=n=0∑∞​an​Pn​(x)
  • 在系统响应表示中的应用：在数值分析和逼近理论中，正交多项式常被用于函数逼近。在处理一些复杂系统的响应时，如果系统的输入输出关系可以用一个函数来描述，那么可以利用正交多项式展开来近似表示这个函数，从而简化系统分析和计算。例如，在一些物理系统的建模中，当系统的特性难以用简单的函数描述时，使用正交多项式展开可以更准确地拟合系统响应。

3. 小波函数族

  • 完备性与多分辨率分析：小波函数族具有完备性，并且能够实现多分辨率分析。小波变换可以将信号在不同尺度和不同位置上进行分解，能够同时提供信号的时域和频域信息。通过小波基函数 ψ a , b ( t ) = 1 a ψ ( t − b a ) \psi_{a,b}(t)=\frac{1}{\sqrt{a}}\psi(\frac{t - b}{a}) ψa,b​(t)=a ​1​ψ(at−b​)（ a a a为尺度因子， b b b为平移因子）的线性组合，可以表示各种信号。
  • 在系统响应表示中的应用：在图像处理、语音处理等领域，小波变换被广泛应用。例如，在图像压缩中，将图像信号用小波函数展开，根据不同频率成分的重要性进行量化和编码，能够在保证一定图像质量的前提下，实现较高的压缩比。在分析系统响应时，如果系统响应信号具有局部特征或者非平稳特性，小波函数族是一种很好的表示工具。

九、结论

综上所述，系统响应常用以 e e e 为底的指数组合来表示，是由多方面因素共同决定的。从线性常系数微分方程理论出发，指数函数能够将微分方程转化为代数方程，简化求解过程；在数学原理层面，指数函数的求导特性以及与复变函数和欧拉公式的紧密联系使其具有独特优势；求解便利性方面，它便于计算和分析系统特性；物理意义上，能很好地描述系统的自然响应和信号的传播衰减；函数空间完备性为其作为系统响应的表示形式提供了理论支撑，收敛的概念则保证了求解过程的合理性。虽然其他完备的函数族如三角函数族、正交多项式族、小波函数族也可用于表示系统响应，但在处理线性常系数微分方程描述的系统时，以 e e e 为底的指数组合因其简洁性、实用性和通用性，成为了最为常用的表示方法。

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C++滑动窗口技术深度解析：核心原理、高效实现与高阶应用实践

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编程日记 2025/7/5 6:21:45

【HarmonyOS之旅】基于ArkTS开发(三) -＞ 兼容JS的类Web开发(四) -＞ 常见组件(一)

目录 1 -> List 1.1 -> 创建List组件 1.2 -> 添加滚动条 1.3 -> 添加侧边索引栏 1.4 -> 实现列表折叠和展开 1.5 -> 场景示例 2 -> dialog 2.1 -> 创建Dialog组件 2.2 -> 设置弹窗响应 2.3 -> 场景示例 3 -> form 3.1 -> 创建…...

编程日记 2025/7/1 11:56:53

【加餐】使⽤指针实现链表

【加餐】使⽤指针实现链表 ​ 面向过程方式和面向对象方式（把面向过程的封装一下就行了）是两种不同的编程方法论...

编程日记 2025/7/6 14:11:08

用 Python 绘制爱心形状的简单教程

1. 引言 在本教程中，我们将学习如何使用 Python 和 Matplotlib 库来绘制一个简单的爱心形状。这是一个有趣且简单的项目，适合初学者练习图形绘制和数据可视化。 2. 环境准备 首先，确保您的系统上安装了 Python 和 Matplotlib 库。如果还未…...

编程日记 2025/7/1 15:57:14

DeepSeek安装

安装运行环境 https://ollama.com/ 安装验证 cmd指令 ollama -v 安装运行模型 https://ollama.com/library/deepseek-r1:14b-qwen-distill-q4_K_M 例如： ollama run deepseek-r1:1.5b-qwen-distill-q4_K_M 结果 再次使用时，直接cmd运行上一步的ru…...

编程日记 2025/7/2 15:40:10

Git--使用教程

Git的框架讲解 Git 是一个分布式版本控制系统，其架构设计旨在高效地管理代码版本，支持分布式协作，并确保数据的完整性和安全性。 Git 的核心组件： 工作区（Working Directory）： - 作区是你在本…...

编程日记 2025/7/2 1:22:37

【HTML性能优化】提升网站加载速度：GZIP、懒加载与资源合并

系列文章目录 01-从零开始学 HTML：构建网页的基本框架与技巧 02-HTML常见文本标签解析：从基础到进阶的全面指南 03-HTML从入门到精通：链接与图像标签全解析 04-HTML 列表标签全解析：无序与有序列表的深度应用 05-HTML表格标签全面…...

编程日记 2025/6/28 4:13:10

C#从XmlDocument提取完整字符串

方法1：通过XmlDocument的OuterXml属性，见XmlDocument类 该方法获得的xml字符串是不带格式的，可读性差 方法2：利用XmlWriterSettings控制格式等一系列参数，见XmlWriterSettings类 例子： using System.IO; …...

编程日记 2025/7/5 21:52:42

wordpress每隔24小时 随机推荐一个指定分类下的置顶内容。

在WordPress中实现每隔24小时随机推荐一个指定分类下的置顶内容，可以通过以下步骤实现： 1. 创建自定义函数 在主题的functions.php文件中添加以下代码，用于创建一个定时任务，每隔24小时随机选择一个置顶文章并存储到选项中&…...

编程日记 2025/7/2 1:37:51

《chatwise：DeepSeek的界面部署》

ChatWise：DeepSeek的界面部署 摘要 本文详细描述了DeepSeek公司针对其核心业务系统进行的界面部署工作。从需求分析到技术实现，再到测试与优化，全面阐述了整个部署过程中的关键步骤和解决方案。通过本文，读者可以深入了解DeepSee…...

编程日记 2025/7/3 8:32:18

HTTP请求响应周期步骤

一个典型的 HTTP 请求/响应周期 从建立连接开始，经过客户端向服务器发送请求、服务器处理请求并返回响应，最终关闭连接。这个过程可以分为多个阶段，以下是详细的步骤： 一、建立连接（TCP连接） 客户端发起连接请求：在HTTP通信中，客户端通常是浏览器，首先通过 DNS 查询…...

编程日记 2025/6/30 20:12:54

synchronized, volatile 在 DCL 的作用

背景 最近在看设计模式，在单例模式的 Double Check Lock（DCL）中，存在两个关键字：volatile & synchronized。 之前都知道 DCL 怎么写，直接套娃。但是这两关键字在单例里面的作用还没深究过&#xff0c…...

编程日记 2025/7/3 5:14:49

Java进阶笔记（中级）

-----接Java进阶笔记（初级）----- 目录 集合多线程 集合 ArrayList 可以通过List来接收ArrayList对象（因为ArrayList实现了List接口） 方法：接口名 柄名 new 实现了接口的类(); PS: List list new ArrayList();遍历…...

编程日记 2025/7/6 14:06:32

人生总有终点，不必好高骛远

夕阳西下，我漫步在河堤上。河水缓缓流淌，倒映着天边最后一抹晚霞。岸边垂柳依依，枝条轻拂水面，荡起一圈圈涟漪。这涟漪由近及远，渐渐消散在暮色中，如同我们每个人在时间长河中泛起的微澜。 记得年少时&…...

编程日记 2025/7/1 1:17:19

C#中堆和栈的区别

C#中的堆（Heap）和栈（Stack）详解 基本概念 栈（Stack） 栈是一个后进先出（LIFO）的内存结构由系统自动分配和释放存储空间连续，大小固定主要用于存储值类型和对象引用 堆…...

编程日记 2025/7/4 18:27:27

如何利用i18n实现国际化

1.首先新建i18.js文件 // i18n配置 import { createI18n } from vue-i18n // import ElementPlus from element-plus import zhCn from element-plus/es/locale/lang/zh-cn import zh from ./zh-cn import en from ./en import ru from ./ru const messages {en_US: {...en,//…...

编程日记 2025/7/1 20:07:26

SpringMVC响应

第一章&#xff1a;数据处理及跳转 1. 结果跳转方式 ①.ModelAndView 设置ModelAndView对象 , 根据view的名称 , 和视图解析器跳到指定的页面 . <bean id"templateResolver" class"org.thymeleaf.spring4.templateresolver.SpringResourceTemplateResolv…...

编程日记 2025/6/30 7:53:46

深入理解特征值与稳定性密码：以弹簧 - 质量 - 阻尼典型二阶系统为例

从看特征值决定稳定性的原因 摘要 本文以弹簧 - 质量 - 阻尼系统这一典型二阶系统为研究对象&#xff0c;深入剖析特征值决定系统稳定性的内在原因。通过详细的数学推导和直观的物理意义阐释&#xff0c;全面揭示了特征值与系统稳定性之间的紧密关联&#xff0c;为理解和分析…...

编程日记 2025/7/5 21:51:14

python pandas 读取合并单元格并保留合并信息

读取合并单元格并保留合并信息 当我们只是使用 pandas 的 read_excel 方法读取 Excel 文件时&#xff0c;我们可能会遇到一个很棘手的问题&#xff1a;合并单元格的信息将会丢失&#xff0c;从而导致我们的数据出现重复或缺失的情况。 在本篇文章中将介绍使用 pandas 正确地读…...

编程日记 2025/7/1 15:22:06

Go-Gin Web 框架完整教程

1. 环境准备 1.1 Go 环境安装 Go 语言&#xff08;或称 Golang&#xff09;是一个开源的编程语言&#xff0c;由 Google 开发。在开始使用 Gin 框架之前&#xff0c;我们需要先安装 Go 环境。 安装步骤&#xff1a; 访问 Go 官网下载页面&#xff1a;https://golang.org/dl…...

编程日记 2025/7/1 8:06:25

机器学习专业毕设选题推荐合集 人工智能

目录 前言 毕设选题 开题指导建议 更多精选选题 选题帮助 最后 前言 大家好,这里是海浪学长毕设专题! 大四是整个大学期间最忙碌的时光&#xff0c;一边要忙着准备考研、考公、考教资或者实习为毕业后面临的升学就业做准备,一边要为毕业设计耗费大量精力。学长给大家整理…...

编程日记 2025/7/4 17:12:44

Java程序员 面试如何介绍项目经验？

项目经历是面试过程中重点问的&#xff0c;但是很多人在回答的时候往往会有问题&#xff1a; 重点是介绍项目&#xff0c;而忽略了个人的经历。 经历是你做了什么、你怎么做的、做完后的结果。例如&#xff1a;项目中的哪些部分是你做的&#xff1f;你是不是核心人员&#xf…...

编程日记 2025/7/2 16:44:57

YONBIP后端环境搭建-IDEA

1、IDEA环境搭建 1.1、插件安装 打开设置窗口&#xff0c;添加自定义插件存储库路径。 https://nccdev.yonyou.com/ide/idea/latest/updatePlugin.xml 在 Marketplace 中搜索 YonBuilder Premium开发者工具 &#xff0c;点击安装。 1.2、Home配置 点击Home配置按钮&#xf…...

编程日记 2025/7/1 2:41:42

Java 微服务实用指南（一）

Java 微服务&#xff1a;基础 要真正理解 Java 微服务&#xff0c;就必须从最基本的东西开始&#xff1a;为人诟病的 Java 大型单体应用是什么&#xff0c;它的优点和缺点是什么。 什么是 Java 大型单体应用&#xff1f; 假设你正在为一家银行或一家金融科技初创公司工作。你为…...

编程日记 2025/7/5 19:13:18

Windows图形界面(GUI)-QT-C/C++ - QT Frame

公开视频 -> 链接点击跳转公开课程博客首页 -> ​​​链接点击跳转博客主页 目录 一、概述 二、使用场景 1. 分隔内容区域 2. 装饰性边框 3. 自定义控件容器 三、常见样式 1. 框架形状&#xff08;Shape&#xff09; 2. 框架阴影&#xff08;Shadow&#xff09;…...

编程日记 2025/7/1 2:40:17

优选算法合集————双指针(专题二)

好久都没给大家带来算法专题啦&#xff0c;今天给大家带来滑动窗口专题的训练 题目一&#xff1a;长度最小的子数组 题目描述&#xff1a; 给定一个含有 n 个正整数的数组和一个正整数 target 。 找出该数组中满足其和 ≥ target 的长度最小的 连续子数组 [numsl, numsl1, …...

编程日记 2025/7/2 16:25:35

WebSocket协议里客户端发送给服务器的数据会用4字节的掩码循环异或的分析

首先&#xff0c;我需要回顾WebSocket协议中对掩码处理的具体要求。根据RFC 6455&#xff0c;客户端发送到服务器的帧必须使用掩码&#xff0c;而服务器发送的帧不需要掩码。掩码是4字节的&#xff0c;应用于有效载荷数据&#xff0c;每个字节依次与掩码的对应字节异或&#xf…...

编程日记 2025/7/2 18:16:09

【字节青训营-9】：初探字节微服务框架 Hertz 基础使用及进阶（下）

本文目录 一、Hertz中间件Recovery二、Hertz中间件跨资源共享三、Hertz 响应四、Hertz请求五、Hertz中间件Session 一、Hertz中间件Recovery Recovery中间件是Hertz框架预置的中间件&#xff0c;使用server.Default()可以默认注册该中间件&#xff0c;为Hertz框架提供panic回复…...

编程日记 2025/7/5 21:18:33

新版AndroidStudio 修改 jdk版本

一、问题 之前&#xff0c;在安卓项目中配置JDK和Gradle的过程非常直观&#xff0c;只需要进入Android Studio的File菜单中的Project Structure即可进行设置&#xff0c;十分方便。 如下图可以在这修改JDK: 但是升级AndroidStudio之后&#xff0c;比如我升级到了Android Stu…...

编程日记 2025/7/3 12:25:28

cocos spine执行动画报错Cannot read properties of null (reading ‘data‘)

cocos v3.8.3 当想this.spine.setAnimation(0, "action1", false);播放spine动画时报错↓ 解决方法一&#xff1a; 在setAnimation之前调用this.spine.__preload() 解决方法二&#xff1a; 不要让spine或其父节点通过active显隐...

编程日记 2025/7/1 19:32:47

笔记：新能源汽车零部件功率级测试怎么进行？

摘要：本文旨在梳理主机厂对新能源汽车核心零部件功率级测试需求，通过试验室的主流设备仪器集成，快速实现试验方案搭建，并体现测试测量方案的时效性、便捷性优势。目标是通过提升实现设备的有效集成能力、实现多设备测试过程的有效协同、流程化测试，可快速采集、分析当前数…...

编程日记 2025/7/5 6:54:53

【starrocks学习】之将starrocks表同步到hive

目录 方法 1&#xff1a;通过HDFS导出数据 1. 将StarRocks表数据导出到HDFS 2. 在Hive中创建外部表 3. 验证数据 方法 2&#xff1a;使用Apache Spark同步 1. 添加StarRocks和Hive的依赖 2. 使用Spark读取StarRocks数据并写入Hive 3. 验证数据 方法 3&#xff1a;通过…...

编程日记 2025/7/4 22:15:26

Linux提权--SUDO提权

​sudo​ 是 Linux 中常用的特权管理工具&#xff0c;允许普通用户以其他用户&#xff08;通常是 root 用户&#xff09;的身份运行命令。如果配置不当&#xff0c;攻击者可能通过滥用 sudo​ 权限来提升自己的权限。 一.常见的 sudo 提权方法&#xff1a; 误配置的 sudo 权限&…...

编程日记 2025/7/1 1:21:25

【AIGC提示词系统】基于 DeepSeek R1 + Claude 的新年运势占卜系统设计与实现

提示词在最下方 DeepSeek R1调试了整体的提示词&#xff0c;使用Claude进行渲染 引言 在人工智能与传统文化交融的今天&#xff0c;如何让 AI 充分理解并传递东方玄学文化的精髓&#xff0c;成为一个极具挑战性的课题。本文将详细介绍一个基于 Claude 的新年运势占卜系统的设计…...

编程日记 2025/7/2 17:09:05

11. Global Object 全局对象的使用

Global Object 全局对象 1 引言2 制作全局对象3 调用全局对象4 扩展使用1 引言 全局对象适用于大量重复的对象，比如阀门，电机等，如果这些设备的基本逻辑与状态都是一样的，那么就可以使用全局对象的方法来做HMI，省时省力。并且在后期修改的时候只需要修改全局对象即可。 …...

编程日记 2025/6/30 16:25:37

Java synchronized锁升级

偏向锁、轻量级锁和重量级锁是Java中synchronized关键字的三种锁状态&#xff0c;用于优化多线程环境下的性能。以下是它们的简要说明&#xff1a; 1. 偏向锁&#xff08;Biased Locking&#xff09; 目的&#xff1a;减少无竞争时的锁开销。适用场景&#xff1a;只有一个线程…...

编程日记 2025/7/5 16:54:19

【Hadoop】Hadoop的HDFS

这里写目录标题 HDFS概述HDFS产出背景及定义HDFS产生背景HDFS定义 HDFS优缺点HDFS优点HDFS缺点 HDFS组成架构HDFS文件块大小 HDFS的Shell操作常用命令实操准备工作上传下载HDFS直接操作 HDFS的API操作客户端环境准备HDFS的API案例实操HDFS文件上传HDFS文件下载HDFS文件更名和移…...

编程日记 2025/7/2 23:01:02

JAVA异步的TCP 通讯-客户端

一、客户端代码示例 import java.io.IOException; import java.net.InetSocketAddress; import java.nio.ByteBuffer; import java.nio.channels.AsynchronousSocketChannel; import java.nio.channels.CompletionHandler; import java.util.concurrent.ExecutorService; impo…...

编程日记 2025/6/30 12:24:44

4.回归与聚类算法 4.1线性回归

4.1.1 线性回归的原理 1 线性回归应用场景&#xff1a; 房价预测 销售额度预测 金融&#xff1a;贷款额度预测&#xff0c;利用线性回归以及系数分析因子 2 什么是线性回归 1&#xff09; 定义&#xff1a;利用回归方程&#xff08;函数&#xff09;对一个或者多个自变量…...

编程日记 2025/7/2 5:44:05

联想拯救者开机进入bios

如果你的联想拯救者&#xff08;Lenovo Legion&#xff09;笔记本电脑开机后直接进入 BIOS 设置界面&#xff0c;可能是以下原因之一导致的。以下是解决方法&#xff1a; 1. 检查启动顺序 进入 BIOS 后&#xff0c;找到 Boot&#xff08;启动&#xff09;选项卡。检查启动顺序…...

编程日记 2025/7/1 13:58:00

【贪心算法篇】：“贪心”之旅--算法练习题中的智慧与策略（四）

✨感谢您阅读本篇文章&#xff0c;文章内容是个人学习笔记的整理&#xff0c;如果哪里有误的话还请您指正噢✨ ✨ 个人主页&#xff1a;余辉zmh–CSDN博客 ✨ 文章所属专栏&#xff1a;贪心算法篇–CSDN博客 文章目录 前言例题1.合并区间2.无重叠的区间3.用最少数量的箭引爆气球…...

编程日记 2025/7/3 15:44:43

Junit5使用教程(3)

第三部分&#xff1a;JUnit 5 进阶 3. 动态测试 一、动态测试是什么&#xff1f; 动态测试&#xff08;Dynamic Test&#xff09;允许在运行时生成测试用例&#xff0c;而不是在编译时通过 Test 静态定义。它通过 TestFactory 注解标记的方法动态生成一组测试用例&#xff0…...

编程日记 2025/7/3 8:09:54

WPS中解除工作表密码保护（忘记密码）

1.下载vba插件 项目首页 - WPS中如何启用宏附wps.vba.exe下载说明分享:WPS中如何启用宏&#xff1a;附wps.vba.exe下载说明本文将详细介绍如何在WPS中启用宏功能&#xff0c;并提供wps.vba.exe文件的下载说明 - GitCode 并按照步骤安装 2.wps中点击搜索&#xff0c;输入开发…...

编程日记 2025/7/3 8:54:34

通向AGI之路：人工通用智能的技术演进与人类未来

文章目录 引言：当机器开始思考一、AGI的本质定义与技术演进1.1 从专用到通用：智能形态的范式转移1.2 AGI发展路线图二、突破AGI的五大技术路径2.1 神经符号整合（Neuro-Symbolic AI）2.2 世界模型架构（World Models）2.3 具身认知理论（Embodied Cognition）三、AGI安全：价…...

编程日记 2025/7/3 20:45:50

kamailio-osp模块

该文档详细讲解了如何在Kamailio中配置和使用OSP模块&#xff08;Open Settlement Protocol Module&#xff09;&#xff0c;以实现基于ETSI标准的安全多边对等互联&#xff08;Secure Multi-Lateral Peering&#xff09;。以下是核心内容的总结&#xff1a; 1. 模块功能 OSP模…...

编程日记 2025/7/1 13:58:55

【Linux网络编程】：URL（encode），HTTP协议，telnet工具

&#x1f381;个人主页&#xff1a;我们的五年 &#x1f50d;系列专栏&#xff1a;Linux网络编程 &#x1f337;追光的人&#xff0c;终会万丈光芒 &#x1f389;欢迎大家点赞&#x1f44d;评论&#x1f4dd;收藏⭐文章 ​ Linux网络编程笔记&#xff1a; https://mp.csdn…...

编程日记 2025/7/6 8:58:28

SpringMVC SpringMVC响应 一、数据处理及跳转

1. 结果跳转方式 ①.ModelAndView 设置ModelAndView对象 , 根据view的名称 , 和视图解析器跳到指定的页面 <bean id"templateResolver" class"org.thymeleaf.spring4.templateresolver.SpringResourceTemplateResolver"><property name"p…...

编程日记 2025/7/6 5:18:01