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如何写出好证明（支持思想的深入数学写作）

news 来源：原创 2025/7/17 11:37:08

不断的修改和精炼是写作过程中的重要环节，数学写作最终目的是提供对问题的深刻洞察而非仅仅陈述细节。

根据harvey mudd college Francis Su教授的《GUIDELINES FOR GOOD MATHEMATICAL WRITING》讲稿，总结出撰写好的数学证明需要注意以下几个要点：

1. 了解读者

在写作前要明确目标读者是谁。设身处地地为读者着想，考虑他们的背景知识、理解程度和所需的术语。

最合适的程度是选择为那些即将步入这个知识点学习的同学进行写作。
所以，在证明中要适当定义概念，提醒读者他们可能已经学习过的内容，避免省略关键步骤。

下一步是根据读者的需求选择合适的“语气”，可以选择严谨或轻松的表达方式。

2. 设定邀请性语气

数学写作应该具有邀请性，用“我们”而不是“我”来表述。

例如：

“我们构造一个切平面...”而非“我构造...”

使用轻柔的命令式语句，引导读者进入思维过程。

例如：“设n为...”、“回顾一下...”

3. 使用完整句子

数学写作应该尽量避免不完整的句子，即使是公式和方程也要嵌入到完整的句子中。每一步推导都应清楚标明推理过程和上下文，使得推理逻辑更加清晰易懂。

例如：即使分了行，分段函数也需要使用逗号

4. 避免在正式写作中使用简写

在正式的数学写作中应避免使用简写符号（如“iff”等），而应写出完整的符号表达，如“对于所有”、“存在”、“当且仅当”、“这样”或其符号的替换等。
在定义符号时，应该确保清晰且准确，避免省略重要细节。

5. 学会遵守写作礼仪

数学写作中通常避免以数字或符号开头。

稍差的写法：“ $\{ x \in \mathbb{R} | x > 0\}$ 是正实数集合。”

较好的写法：“集合 $\{ x \in \mathbb{R} \mid x > 0 \}$ 包含所有正实数。”

对于新的定义或术语，应使用斜体或下划线进行突出，以帮助读者识别重点。
学习所在领域的数学写作规范，可以通过阅读高质量的数学书籍或论文来了解。

6. 简洁性与重点突出

证明时要避免冗长，突出证明过程中的关键部分。删除不必要的细节，聚焦于核心思想和推理步骤。

实例：简洁的证明可能是——“若 n 能被 4 整除，则 n = 4k 对于某些整数 k 成立。因为 n=2(2k)，所以 n 必然是偶数。”

强调论证中至关重要的定理或公理，说明它们在推导中的作用。写作的目的是提供对问题的深入理解，而不仅仅是展示细节。

7. 突出结构与层次

如果证明较为复杂，可以在开头简要概述证明的结构，帮助读者理解整体的思路。
使用段落来组织思路，每个段落的开头要清晰表达该段的主要内容。段落之间应有明确的逻辑衔接。

实例

在长篇证明中，可以在开始时概述结构：“首先，我们将证明定理的充分性，然后证明必要性。”
接下来，可以分段详细阐述每个部分。在每个段落的开头给出概述：“在这一部分，我们将展示如何利用定义证明充分性。” 这种方法能够帮助读者理解你推理的进展。

8. 选择恰当的例子（不止于证明的数学写作）

通过例子帮助读者理解复杂的数学思想，选择简单而具有代表性的例子，不要过于复杂。（学术论文尤其适用）
在适当的地方使用具体实例来说明抽象的概念，帮助读者把握关键要点。

9. 避免无关细节

在写作时，应避免加入与问题解决无关的内容，这些内容可能会分散读者注意力。
如果某些步骤或假设最终并没有在证明中使用，应该省略它们，避免引起混淆。

例如：如果在证明过程中并不需要证明“分数的最简形式”，就应该避免提到“假设分子分母没有公因数”。这种无关的细节会干扰读者的思路。

10. 简化证明过程

完成证明后，回顾并思考如何简化论证。去除冗余部分，精简不必要的假设。

例如，避免“反证法”中引入与矛盾无关的假设，保持证明的直接性和简洁性。

“假设 nnn 是一个整数，且 4 能整除 n，那么 n=4k。”
“因为 n 可以表示为 4k，所以 n 必定是偶数。”

这个证明显得冗余，因为“假设 n 不是偶数”这一假设并没有在证明过程中得到实际应用，可以去除。

11. 反复修改与精炼

写作是一个不断完善的过程。初稿可能并不完美，完成后需要多次修改，寻找更清晰、更简洁的表达方式。不论是平时做题还是学术写作都应一视同仁。
再次创作时，仍然注意选择合适的符号和定义，以便更好地传达思路。细心修改，去除不必要的冗余或不准确的表达。

12. 遵循文化规范

不同的数学学科和历史时期有不同的写作规范，理解和遵守这些规范是成功数学写作的一部分。
通过阅读相关领域的经典教材或论文，了解行业标准和写作惯例，适应学术环境中的写作文化。

总结

撰写好的数学证明不仅需要严谨的逻辑推理，还需要清晰的表达和恰当的结构。通过简洁明了的语言、适当的定义和清晰的思路来展示证明过程，能够帮助读者更好地理解数学论证。同时，不断的修改和精炼是写作过程中的重要环节，最终目的是提供对问题的深刻洞察而非仅仅陈述细节。