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高等数学学习笔记 ☞ 定积分的积分方法

news 来源：原创 2025/6/8 3:42:36

1. 定积分的换元积分法

1. 换元积分公式：设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，令 $x=\psi (t)$ ，若 $x=\psi (t)$ 满足：

①：当 $t=\alpha$ 时， $\psi (\alpha)=a$ ；当 $t=\beta$ 时， $\psi (\beta)=b$ 。

$\rightarrow$ 此时的 $\alpha ,\beta$ 大小关系不一定，但 $\alpha ,\beta$ 与 $a,b$ 最好对应着写，否则就要留意变号的问题。

②： $\psi (t)$ 在闭区间 $[\alpha,\beta]$ 或 $[\beta,\alpha]$ 上连续可导，且 $\psi (t)$ 的值域 $R_{\psi }=[a,b]$ 。

$\rightarrow$ 之所以说 $[\alpha,\beta]$ 或 $[\beta,\alpha]$ ，是因为区间左边的值肯定要小于等于区间右边的值。

则： $\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta}f(\psi (t)){\psi }'(t)dx$ 。

2. 举例说明：

（1）求解 $\int_{0}^{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}dx(a>0)$ 的定积分：

解：令 $x=a\sin t$ ，则 $dx=a\cos tdt$ ，其中：当 $x:0\rightarrow a$ 时， $t:0\rightarrow\frac{ \pi}{2}$ 。则：

$\int_{0}^{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{a^{2}-a^{2}\sin^{2}t}\cdot a\cos tdt=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}a^{2}\cos^{2}tdt=$ $\frac{a^{2}}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1+\cos 2t)dt$

$= \frac{a^{2}}{2}(t|_{0}^{\frac{\pi}{2}}+\frac{1}{2}\sin 2t|_{0}^{\frac{\pi}{2}})=\frac{1}{4}\pi a^{2}$ 。

备注：上述例子属于第二换元积分法。换元后，积分区间是针对积分变量 $t$ 而言的。

小贴士：第二换元积分法求解定积分时，不需要进行回代，因为在换元之后，积分区间已经更改过了。

（2）求解 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{5}x\sin xdx$ 的定积分：

解： $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{5}x\sin xdx=-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{5}xd\cos x=-\frac{\cos ^{6}x}{6}|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{1}{6}$

备注：上述例子属于第一换元积分法。换元前，积分区间实际上是针对积分变量 $x$ 而言的，而不是 $\cos x$ 。

小贴士：第一换元积分法求解定积分时，以上述例子进行说明：

正规解法：当求解到 $-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{5}xd\cos x$ 时，令 $t=\cos x$ ，其中：当 $x:0\rightarrow\frac{ \pi}{2}$ 时， $t:1\rightarrow 0$ 。则：

$-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{5}xd\cos x=-\int_{1}^{0}t^{5}dt=-\frac{1}{6}t^{6}|_{1}^{0}=\frac{1}{6}$ 。

实际解题时，基本都是不进行替换这一步的，而是直接把 $\cos x$ 看成一个整体进行求解，同时积分区间不变。

（3）求解 $\int_{0}^{\pi}\sqrt{\sin^{3}x-\sin^{5}x}dx$ 的定积分：

解： $\int_{0}^{\pi}\sqrt{\sin^{3}x-\sin^{5}x}dx=\int_{0}^{\pi}\sin ^{\frac{3}{2}}x|\cos x|dx=$ $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin ^{\frac{3}{2}}x\cos xdx-\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\sin ^{\frac{3}{2}}x\cos xdx=$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin ^{\frac{3}{2}}xd\sin x-\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\sin ^{\frac{3}{2}}xd\sin x=$ $\frac{2}{5}\sin^{\frac{5}{2}}x|_{0}^{\frac{\pi}{2}}-\frac{2}{5}\sin^{\frac{5}{2}}x|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}=\frac{4}{5}$ 。

备注：当涉及到绝对值的问题时，需要对积分区间进行分段处理。

3. 重要知识点：

（1）定积分与被积函数和积分区间有关，与积分变量用什么符号表示无关。

（2）若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[-a,a]$ 上连续且为偶函数，则： $\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx$ 。

若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[-a,a]$ 上连续且为积函数，则： $\int_{-a}^{a}f(x)dx=0$ 。

（3）若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续，则： $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\sin x)dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\cos x)dx$ 。

若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续，则： $\int_{0}^{\pi}xf(\sin x)dx=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}f(\sin x)dx$ 。

（4）若函数 $f(x)$ 是连续的周期函数，周期为 $T$ ，则： $\int_{a}^{a+T}f(x)dx=\int_{0}^{T}f(x)dx$ 。

若函数 $f(x)$ 是连续的周期函数，周期为 $T$ ，则： $\int_{a}^{a+nT}f(x)dx=n\int_{0}^{T}f(x)dx(n\in N)$ 。

小贴士：奇函数与偶函数运算法则：

(1) 两个偶函数相加所得的和为偶函数。 (2) 两个奇函数相加所得的和为奇函数。

(3) 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数。

(4) 两个偶函数相乘所得的积为偶函数。 (5) 两个奇函数相乘所得的积为偶函数。

(6) 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数。

2. 定积分的分部积分法

1. 分部积分公式： $\int_{a}^{b}udv=(uv)|_{a}^{b}-\int_{a}^{b}vdu$ 。

2. 举例说明：

（1）求解 $\int_{0}^{\frac{1}{2}}\arcsin xdx$ 的定积分：

解： $\int_{0}^{\frac{1}{2}}\arcsin xdx=(x\arcsin x)|_{0}^{\frac{1}{2}}-\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}dx$

$=(x\arcsin x)|_{0}^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}d(1-x^{2})$

$=(x\arcsin x)|_{0}^{\frac{1}{2}}+\sqrt{1-x^{2}}|_{0}^{\frac{1}{2}}=\frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt{3}}{2}-1$ 。

（2）求解 $\int_{0}^{1}e^{\sqrt{x}}dx$ 的定积分：

解：令 $\sqrt{x}=t$ ，则 $dx=2tdt$ ，其中：当 $x:0\rightarrow 1$ 时， $t:0\rightarrow 1$ 。则：

$\int_{0}^{1}e^{\sqrt{x}}dx=\int_{0}^{1}e^{t}\cdot 2tdt=2\int_{0}^{1}tde^{t}=2((te^{t})|_{0}^{1}-\int_{0}^{1}e^{t}dt)=$ $2(e-e+1)=2$ 。

3. 重要知识点：

①：当 $n$ 为正偶数时， $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}xdx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n}xdx=\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdot ...\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{2}$ 。

②：当 $n$ 为大于1的正奇数时， $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}xdx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n}xdx=\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdot ...\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{2}{3}\cdot 1$ 。

3. 反常积分(广义积分)

3.1 无穷限的反常积分

1. 无穷限的反常积分描述：就是指被积函数 $f(x)$ 的积分区间为无穷区间的积分。

2. 定义1：设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,+\infty )$ 上是连续的，取 $t>a$ ，那么 $\displaystyle \lim_{t\rightarrow +\infty }$ $\int_{a}^{t}f(x)dx$ 的极限

称为函数 $f(x)$ 在区间 $[a,+\infty )$ 上的反常积分，记作： $\int_{a}^{+\infty }f(x)dx=\displaystyle \lim_{t\rightarrow +\infty }$ $\int_{a}^{t}f(x)dx$ 。

①：若 $\displaystyle \lim_{t\rightarrow +\infty }$ $\int_{a}^{t}f(x)dx$ 的极限存在，则称反常积分 $\int_{a}^{+\infty }f(x)dx$ 是收敛的。

②：若 $\displaystyle \lim_{t\rightarrow +\infty }$ $\int_{a}^{t}f(x)dx$ 的极限不存在，则称反常积分 $\int_{a}^{+\infty }f(x)dx$ 是发散的。

定义2：设函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty ,b]$ 上是连续的，取 $t<b$ ，那么 $\displaystyle \lim_{t\rightarrow -\infty }$ $\int_{t}^{b}f(x)dx$ 的极限

称为函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty ,b]$ 上的反常积分，记作： $\int_{-\infty }^{b }f(x)dx=\displaystyle \lim_{t\rightarrow -\infty }$ $\int_{t}^{b}f(x)dx$ 。

①：若 $\displaystyle \lim_{t\rightarrow -\infty }$ $\int_{t}^{b}f(x)dx$ 的极限存在，则称反常积分 $\int_{-\infty }^{b }f(x)dx$ 是收敛的。

②：若 $\displaystyle \lim_{t\rightarrow -\infty }$ $\int_{t}^{b}f(x)dx$ 的极限不存在，则称反常积分 $\int_{-\infty }^{b }f(x)dx$ 是发散的。

定义3：设函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty ,+\infty )$ 上是连续的，那么反常积分 $\int_{-\infty }^{0}f(x)dx$ 与反常积分 $\int_{0 }^{+\infty}f(x)dx$ 的和

称为函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty ,+\infty )$ 上的反常积分，记作： $\int_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=\int_{-\infty }^{0}f(x)dx+\int_{0 }^{+\infty}f(x)dx$ 。

①：若反常积分 $\int_{-\infty }^{0}f(x)dx$ 与反常积分 $\int_{0 }^{+\infty}f(x)dx$ 均收敛，则称反常积分 $\int_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx$ 是收敛的。

②：若反常积分 $\int_{-\infty }^{0}f(x)dx$ 与反常积分 $\int_{0 }^{+\infty}f(x)dx$ 不都收敛，则称反常积分 $\int_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx$ 是发散的。

备注：上述为无穷限的反常积分的3种情形。

3. 无穷限的反常积分求解方法：

（1）设函数 $F(x)$ 为函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty )$ 上的一个原函数，若 $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty }F(x)$ 的极限存在，则：

$\int_{a}^{+\infty }f(x)dx=\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty }F(x)-F(a)$ 。

其中，若 $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty }F(x)$ 的极限不存在，则称反常积分 $\int_{a}^{+\infty }f(x)dx$ 是发散的。

（2）若函数 $F(x)$ 为函数 $f(x)$ 在 $(-\infty ,b]$ 上的一个原函数，若 $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty }F(x)$ 的极限存在，则：

$\int_{-\infty }^{b}f(x)dx=\displaystyle F(b) -\lim_{x\rightarrow -\infty }F(x)$ 。

其中，若 $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty }F(x)$ 的极限不存在，则称反常积分 $\int_{-\infty }^{b}f(x)dx$ 是发散的。

（3）若函数 $F(x)$ 为函数 $f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上的一个原函数，若 $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty }F(x)$ 和 $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty }F(x)$ 的极限都存在，则：

$\int_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty } F(x) -\lim_{x\rightarrow -\infty }F(x)$ 。

其中，若 $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty }F(x)$ 和 $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty }F(x)$ 的极限不都存在，则称反常积分 $\int_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx$ 是发散的。

备注：上述反常积分求解方法称为广义牛顿 - 莱布尼茨公式。

4. 举例说明：求解 $\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{1+x^{2}}dx$ 的反常积分：

解： $\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{1+x^{2}}dx=\arctan x|_{-\infty }^{+\infty }=$ $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty }\arctan x-\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty }\arctan x = \frac{\pi}{2}-(-\frac{\pi}{2})=\pi$ 。

5. 重要知识点：已知反常积分 $\int_{a}^{+\infty }\frac{1}{x^{p}}dx(a>0)$ ，当 $p>1$ 时，反常积分收敛；当 $p\leq 1$ 时，反常积分发散。

3.2 无界函数的反常积分

1. 无界函数的反常积分描述：就是指被积函数 $f(x)$ 为无界函数的积分。

备注：

①：瑕点：把被积函数的定义域与积分区间进行比对，若积分区间超出了定义域的范畴，则超出去的点都为瑕点。

②：瑕积分：无界函数的反常积分又称为瑕积分。

2. 定义1：设函数 $f(x)$ 在区间 $(a,b]$ 上是连续的，点 $a$ 为瑕点，取 $t>a$ ，那么 $\displaystyle \lim_{t\rightarrow a^{+} }$ $\int_{t}^{b}f(x)dx$ 的极限

称为函数 $f(x)$ 在区间 $(a,b]$ 上的反常积分，记作： $\int_{a}^{b }f(x)dx=\displaystyle \lim_{t\rightarrow a^{+} }$ $\int_{t}^{b}f(x)dx$ 。

①：如果 $\displaystyle \lim_{t\rightarrow a^{+} }$ $\int_{t}^{b}f(x)dx$ 的极限存在，称反常积分 $\int_{a}^{b }f(x)dx$ 是收敛的。

②：如果 $\displaystyle \lim_{t\rightarrow a^{+} }$ $\int_{t}^{b}f(x)dx$ 的极限不存在，称反常积分 $\int_{a}^{b }f(x)dx$ 是发散的。

定义2：设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b)$ 上是连续的，点 $b$ 为瑕点，取 $t<b$ ，那么 $\displaystyle \lim_{t\rightarrow b^{-} }$ $\int_{a}^{t}f(x)dx$ 的极限

称为函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b)$ 上的反常积分，记作： $\int_{a}^{b }f(x)dx=\displaystyle \lim_{t\rightarrow b^{-} }$ $\int_{a}^{t}f(x)dx$ 。

①：如果 $\int_{a}^{b }f(x)dx=\displaystyle \lim_{t\rightarrow b^{-} }$ $\int_{a}^{t}f(x)dx$ 的极限存在，称反常积分 $\int_{a}^{b }f(x)dx$ 是收敛的。

②：如果 $\int_{a}^{b }f(x)dx=\displaystyle \lim_{t\rightarrow b^{-} }$ $\int_{a}^{t}f(x)dx$ 的极限不存在，称反常积分 $\int_{a}^{b }f(x)dx$ 是发散的。

定义3：设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,c)$ ， $(c,b]$ 上是连续的，点c为瑕点，那么反常积分 $\int_{a}^{c }f(x)dx$ 与反常积分 $\int_{c}^{b }f(x)dx$ 的和

称为函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的反常积分，记作： $\int_{a}^{b }f(x)dx=\int_{a}^{c }f(x)dx+\int_{c}^{b }f(x)dx$

①：如果反常积分 $\int_{a}^{c }f(x)dx$ 与反常积分 $\int_{c}^{b }f(x)dx$ 均收敛，则反常积分 $\int_{a}^{b }f(x)dx$ 是收敛的。

②：如果反常积分 $\int_{a}^{c }f(x)dx$ 与反常积分 $\int_{c}^{b }f(x)dx$ 不都收敛，则反常积分 $\int_{a}^{b }f(x)dx$ 是发散的。

备注：上述为无界函数的反常积分的3种情形。

3. 无界函数的反常积分求解方法：

（1）设函数 $f(x)$ 在 $(a,b]$ 上的一个原函数为 $F(x)$ ，瑕点为点 $a$ ，若 $\displaystyle \lim _{x\rightarrow a^{+}}F(x)$ 的极限存在，则：

$\int_{a}^{b }f(x)dx=F(b)- \displaystyle \lim_{x\rightarrow a^{+}}F(x)$ 。

（2）设函数 $f(x)$ 在 $[a,b)$ 上的一个原函数为 $F(x)$ ，瑕点为点 $b$ ，若 $\displaystyle \lim _{x\rightarrow b^{-}}F(x)$ 的极限存在，则：

$\int_{a}^{b }f(x)dx=\displaystyle \lim_{x\rightarrow b^{-}}F(x)-F(a)$ 。

（3）设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的一个原函数为 $F(x)$ ，瑕点为点 $c\in (a,b)$ ，若 $\displaystyle \lim _{x\rightarrow c^{-}}F(x)$ 与 $\displaystyle \lim _{x\rightarrow c^{+}}F(x)$ 的极限都存在，则：

$\int_{a}^{b }f(x)dx=\int_{a}^{c }f(x)dx+\int_{c}^{b }f(x)dx=\displaystyle \lim_{x\rightarrow c^{-}}F(x)$ $-F(a)+F(b)-\displaystyle \lim_{x\rightarrow c^{+}}F(x)$ 。

备注：上述反常积分求解方法称为广义牛顿 - 莱布尼茨公式。

4. 举例说明：求解 $\int_{0}^{a}\frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx(a>0)$ 的反常积分：

解：根据 $a^{2}-x^{2}>0$ ，可得： $x\in (-a,a)$ ，与积分区间比对可知：点 $a$ 为瑕点。

$\int_{0}^{a}\frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx=\arcsin \frac{x}{a}|_{0}^{a}=\displaystyle \lim_{x\rightarrow a^{-}}\arcsin \frac{x}{a}-0=\frac{\pi}{2}$ 。

5. 重要知识点：已知反常积分 $\int_{0}^{1 }\frac{1}{x^{p}}dx$ ，当 $0<p<1$ 时，反常积分收敛；当 $p\geq 1$ 时，反常积分发散。

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编程日记 2025/6/3 4:58:22

使用AI生成金融时间序列数据：解决股市场的数据稀缺问题并提升信噪比

“GENERATIVE MODELS FOR FINANCIAL TIME SERIES DATA: ENHANCING SIGNAL-TO-NOISE RATIO AND ADDRESSING DATA SCARCITY IN A-SHARE MARKET” 论文地址：https://arxiv.org/pdf/2501.00063 摘要金融领域面临的数据稀缺与低信噪比问题，限制了深度学习在…...

编程日记 2025/6/3 6:31:09

【银河麒麟高级服务器操作系统】业务访问慢网卡丢包现象分析及处理过程

了解更多银河麒麟操作系统全新产品，请点击访问麒麟软件产品专区：product.kylinos.cn 开发者专区：developer.kylinos.cn 文档中心：document.kylinos.cn 交流论坛：forum.kylinos.cn 服务器环境以及配置【内核版本…...

编程日记 2025/6/2 18:01:24

如何将数据库字符集改为中文，让今后所有的数据库都支持中文

最后一行有我自己的my.ini文件数据库输入中文数据时会变为乱码， 这个时候，我们为每个数据库设置字符集，太过于麻烦，为数据库单独设置重启后又会消失 Set character_set_database’utf8’; Set character_set_server’utf8’; …...

编程日记 2025/6/4 8:44:14

Linux-C/C++--深入探究文件 I/O (下)(文件共享、原子操作与竞争冒险、系统调用、截断文件)

经过上一章内容的学习，了解了 Linux 下空洞文件的概念；open 函数的 O_APPEND 和 O_TRUNC 标志；多次打开同一文件；复制文件描述符；等内容本章将会接着探究文件IO，讨论如下主题内容。  文件共享介绍&…...

编程日记 2025/5/28 9:02:57

Linux Bash 中使用重定向运算符的 5 种方法

注：机翻，未校。 Five ways to use redirect operators in Bash Posted: January 22, 2021 | by Damon Garn Redirect operators are a basic but essential part of working at the Bash command line. See how to safely redirect input and output t…...

编程日记 2025/6/2 6:49:00

opengrok_windows_环境搭建

目录软件列表软件安装工程索引编辑工程部署问题列表软件列表软件名下载地址用途JDKhttps://download.java.net/openjdk/jdk16/ri/openjdk-1636_windows-x64_bin.zipindex 使用java工具tomcathttps://dlcdn.apache.org/tomcat/tomcat-9/v9.0.98/bin/apache-tom…...

编程日记 2025/6/3 16:21:59

【无法下载github文件】虚拟机下ubuntu无法拉取github文件

修改hosts来进行解决。步骤一：打开hosts文件 sudo vim /etc/hosts步骤二：查询 github.com的ip地址 https://sites.ipaddress.com/github.com/#ipinfo将github.com的ip地址添加到hosts文件末尾，如下所示。 140.82.114.3 github.com步骤三…...

编程日记 2025/6/2 17:53:19

python——句柄

一、概念句柄指的是操作系统为了标识和访问对象而提供的一个标识符，在操作系统中，每个对象都有一个唯一的句柄，通过句柄可以访问对象的属性和方法。例如文件、进程、窗口等都有句柄。在编程中，可以通过句柄来操作这些对象&#x…...

编程日记 2025/6/2 19:14:01

.Net Core微服务入门系列（一）——项目搭建

系列文章目录 1、.Net Core微服务入门系列（一）——项目搭建 2、.Net Core微服务入门全纪录（二）——Consul-服务注册与发现（上） 3、.Net Core微服务入门全纪录（三）——Consul-服务注…...

编程日记 2025/6/3 16:23:19

Net Core微服务入门全纪录（三）——Consul-服务注册与发现（下）

编程日记 2025/6/3 16:23:51

[苍穹外卖] 1-项目介绍及环境搭建

项目介绍定位：专门为餐饮企业（餐厅、饭店）定制的一款软件产品功能架构： 管理端 - 外卖商家使用用户端 - 点餐用户使用技术栈： 开发环境的搭建整体结构： 前端环境前端工程基于 nginx 运行 - Ngi…...

编程日记 2025/6/3 16:22:16

【PCIe 总线及设备入门学习专栏 2 -- PCIe 的 LTSSM 和 Enumeration】

文章目录 OverviewLTSSM StatesDetect StatesDETECT_QUIETDETECT_ACTDETECT_WAITPolling StatesPOLL_ACTIVEPOLL_CONFIGPOLL_COMPLIANCEConfiguration StatesCONFIG_LINKWD_STARTCONFIG_LINKWD_ACCEPTCONFIG_LANENUM_WAITCONFIG_LANENUM_ACCEPTCONFIG_COMPLETECONFIG_IDLERecov…...

编程日记 2025/6/3 13:56:47

1. 定积分的换元积分法

2. 定积分的分部积分法

3. 反常积分(广义积分)

3.1 无穷限的反常积分

3.2 无界函数的反常积分

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