哈希C++

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一.哈希的概念

哈希又称散列，是一种组织数据的方式。本质是通过哈希函数把关键字 Key 跟存储位置建立一个映射关系，查找时通过这个哈希函数计算出 Key 存储的位置，进行快速查找。

1.直接定址法

当关键字的范围比较集中时，直接定址法就是非常简单高效的方法，假设一组关键字都在[0, 99]之间，我们开⼀个100个数的数组，那么每个关键字的值直接就是存储位置的下标。再比如一组关键字值在[a, z]的小写字母，我们开一个26个数的数组，每个关键字的ascall码 - ‘a’ascall码，就是存储位置的下标。

直接定址法本质就是用关键字计算出一个绝对位置或者相对位置。

2.负载因子

假设哈希表中已经映射存储了N个值，哈希表的大小为M，那么负载因子 = N / M。负载因子越大，哈希冲突的概率越高，空间利用率越高；负载因子越小，哈希冲突的概率越低，空间利用率越低。

二.哈希函数

1.除法散列法 / 除留余数法

（1）方法：假设哈希表大小为M，那么通过key除以M的余数作为映射位置的下标，也就是哈希函数为：h(key) = key % M。

（2）使用除法散列法时，要尽量避免M为某些值，如2的幂，10的幂。如果时2^X，那么 key % 2^X 本质相当于保留key的后X位，那么后X位相同的值，计算出的哈希值都是一样的，这样就会冲突。

例如：
{63，31}看似没有关联，如果M为16(2⁴)，那么计算出的哈希值都是15。
二进制63后八位：00111111
二进制31后八位：00011111
两数的后四位都为1111，因此哈希值都为15，产生冲突。

{112，12312}，如果M为100(10²)，那么计算出的哈希值都是12。

（3）使用除法散列法时，一般建议M取不太接近2的整数次幂的一个质数(素数)。实践中根据情况具体分析，灵活运用。

（4）实践中需要根据具体情况分析：
就比如Java的HashMap采用除法散列法时就是2的整数次幂做哈希表的大小M，这样玩，就不用%，可以直接进行位运算，相对而言位运算比%更加高效。但是它采用的方式并不是单纯的%。

例如：
M是2¹⁶，本质是取后16位，那么用key’ = key>>16，然后把key和key’异或，异或的结果作为哈希值。

也就是说我们映射出的值还是在[0，M)范围内，但是尽量让key所有的位都参与计算，这样映射出的哈希值会更均匀一些。

2.乘法散列法

（1）乘法散列法对哈希表大小M没有要求，大致思路是：
第一步：用关键字K乘上常数A(0 < A < 1)，并抽取出 k × A 的小数部分。
第二步：用 M × k × A 的小数部分，再向下取整。

（2）h(key) = floor(M × ((A × key) % 1.0))，floor表示对表达式进行向下取整，A∈(0，1)，这里比较重要的是A应该取何值，Knuth认为 A = (√5 - 1) / 2 = 0.6180339887…(黄金分割点1)比较好。

（3）假设M为1024，key为1234，A = 0.6180339887，A × key = 762.6539420558，取小数部分为0.6539420558，M × (( A × key ) % 1.0 ) = 0.6539420558 × 1024 = 669.6366651392，那么h(1234) = 669。

3.全域散列法（了解）

（1）如果存在⼀个恶意的对手，他针对我们提供的散列函数，特意构造出⼀个发⽣严重冲突的数据集。

比如，让所有关键字全部落⼊同⼀个位置中。这种情况是可以存在的，只要散列函数是公开且确定的，就可以实现此攻击。

解决方法自然是见招拆招，给散列函数增加随机性，攻击者就无法找出确定可以导致最坏情况的数据。这种⽅法叫做全域散列。

（2）h_ab(key) = ((a × key + b) % P ) % M，P需要选一个足够大的质数，a随机选[1，P - 1]之间的任意整数，b随机选[0，P - 1]之间的任意整数，这些函数构成了一个 P × (P - 1) 组全域散列函数组。

假设P = 17，M = 6，a = 3， b = 4，则h₃₄(8) = ((3 × 8 + 4) % 17) % 6 = 5 。

（3）需要注意的是每次初始化哈希表时，随机选取全域散列函数组中的⼀个散列函数使用，后续增删查改都固定使用这个散列函数。

三.处理哈希冲突

哈希冲突：

两个不同的key可能会映射到同⼀个位置去，这种问题我们叫做哈希冲突，或者哈希碰撞。理想情况是找出⼀个好的哈希函数避免冲突，但是实际场景中，冲突是不可避免的，所以我们尽可能设计出优秀的哈希函数，减少冲突的次数，同时也要去设计出解决冲突的⽅案。

1.开放定址法

开放定址法中所有的元素都放到哈希表里，当一个关键字key用哈希函数计算出的位置冲突了，则按照某种规则找到一个没有存储数据的位置进行存储，开放定址法中负载因子一定是小于1的。

这里的规则有三种：线性探测、二次探测、双重散列。

（1）线性探测：

Ⅰ：从发生冲突的位置开始，依次线性向后探测，直到寻找到下一个没有存储数据的位置为止，如果走到哈希表尾，则回绕到哈希表头的位置。

Ⅱ：h(key) = hash0 = key % M
hash0位置冲突了，则线性探测公式为：hc(key, i) = hashi = (hash0 + i) % M， i = {1, 2, 3, …, M − 1}，因为负载因子小于1，则最多探测 M - 1 次，一定能找到一个存储key的位置。

Ⅲ：线性探测的比较简单且容易实现，但是缺点很明显，比如hash0位置连续冲突，hash0，hash1，hash2位置已经存储数据了，后续映射到hash0，hash1，hash2，hash3的值都会争夺hash3位置，这种现象叫 群集 / 堆积。

我们来演示{19,30,5,36,13,20,21,12}这一组值映射到 M = 11 的哈希表中。

h(19) = 8，h(30) = 8，h(5) = 5，h(36) = 3，h(13) = 2，h(20) = 9，h(21) = 10，h(12) = 1

（2）二次探测：

Ⅰ：从发生冲突的位置开始，依次左右按二次方跳跃式探测，直到寻找到下一个没有存储数据的位置为止，如果往右走到哈希表尾，则回绕到哈希表头的位置；如果往左走到哈希表头，则回绕到哈希表尾的位置。

Ⅱ：h(key) = hash0 = key % M
hash0位置冲突了，则二次探测公式为 hc(key，i) = hashi = (hash0 ± i²) % M，i = {1, 2, 3, …, M / 2}。

Ⅲ：二次探测当 hashi = (hash0 − i²) % M 时，当hashi < 0 时，需要 hashi += M。

我们来演示{19,30,52,63,11,22}这一组值映射到 M = 11 的哈希表中。

h(19) = 8, h(30) = 8, h(52) = 8, h(63) = 8, h(11) = 0, h(22) = 0

（3）双重散列：

Ⅰ：第⼀个哈希函数计算出的值发生冲突，使用第⼆个哈希函数计算出⼀个跟key相关的偏移量值，不断往后探测，直到寻找到下⼀个没有存储数据的位置为止。

Ⅱ：h1(key) = hash0 = key % M
hash0位置冲突了，则双重探测公式为：hc(key, i) = hashi = (hash0 + i ∗ h₂(key)) % M， i = {1, 2, 3, …, M}

Ⅲ：要求 h₂(key) < M 且 h₂(key) 和M互为质数，有两种简单的取值方法：
1、当M为2整数幂时，h₂(key) 从[0，M-1]任选⼀个奇数
2、当M为质数时，h₂(key) = key % (M − 1) + 1

Ⅳ：保证 h₂(key) 与M互质是因为根据固定的偏移量所寻址的所有位置将形成⼀个群，若最大公约数 p = gcd(M, h₁(key)) > 1，那么所能寻址的位置的个数为 M / P < M，使得对于⼀个关键字来说无法充分利用个散列表。

例如：若初始探查位置为1，偏移量为3，整个散列表大小为12，那么所能寻址的位置为{1, 4, 7, 10}，寻址个数为 12 / gcd(12, 3) = 4。

我们来演示{19,30,52}这一组值映射到 M = 11 的哈希表中，设 h₂(key) = key%10 + 1

2.开放定址法代码实现

（1）开放定址法的哈希表结构：

我们需要给每个存储位置增加一个状态标识，否则删除掉一些值后，会影响后面冲突值的查找。

enum State
{EXIST,EMPTY,DELETE
};
template<class K, class V>
struct HashData
{pair<K, V> _kv;State _state = EMPTY;
};
template<class K, class V>
class HashTable
{
private :vector<HashData<K, V>> _tables;size_t _n = 0; // 表中存储数据个数
};

（2）扩容：

我们希望哈希表的负载因子控制在0.7，当负载因子到0.7后我们就需要扩容了，我们仍然是按照2倍扩容，但是同时要保持哈希表大小时一个质数，第一个是质数，2倍后就不是质数了。那么如何解决这种情况呢？

1、Java种HashMap的使用2的整数幂，但是计算时不能直接取模的改进方法。
2、sgi版本的哈希表使用的方法，给了一个近似2倍的质数表，每次取质数表获取扩容后的大小。

inline unsigned long __stl_next_prime(unsigned long n)
{// Note: assumes long is at least 32 bits.static const int __stl_num_primes = 28;static const unsigned long __stl_prime_list[__stl_num_primes] = {53, 97, 193, 389, 769,1543, 3079, 6151, 12289, 24593,49157, 98317, 196613, 393241, 786433,1572869, 3145739, 6291469, 12582917, 25165843,50331653, 100663319, 201326611, 402653189, 805306457,1610612741, 3221225473, 4294967291};const unsigned long* first = __stl_prime_list;const unsigned long* last = __stl_prime_list + __stl_num_primes;const unsigned long* pos = lower_bound(first, last, n);return pos == last ? *(last - 1) : *pos;
}

（3）key不能取模：

当key是 string / Data 等类型时，key不能取模，那么我们需要给 HashTable 增加一个仿函数，这个仿函数支持把key转换成一个可以取模的整形。

如果key可以转换为整形并且不容易冲突，那么这个仿函数就用默认参数即可；如果这个Key不能转换为整形，我们就需要自己实现⼀个仿函数传给这个参数，实现这个仿函数的要求就是尽量key的每个值都参与到计算中，让不同的key转换出的整形值不同。

string做哈希表的key非常常见，我们以特化string为例：

namespace wxy
{enum State{EXIST,EMPTY,DELETE};template<class K, class V>struct HashData{pair<K, V> _kv;State _state = EMPTY;};template<class K>struct HashFunc{size_t operator()(const K& key){return (size_t)key;}};// 特化template<>struct HashFunc<string>{// 字符串转换成整形，可以把字符ascii码相加即可// 但是直接相加的话，类似"abcd"和"bcad"这样的字符串计算出是相同的// 这⾥我们使⽤BKDR哈希的思路，用上次的计算结果去乘以一个质数，这个质数一般去31, 131等效果会比较好size_t operator()(const string& key){size_t hash = 0;for (auto e : key){hash *= 131;hash += e;} return hash;}};template<class K, class V, class Hash = HashFunc<K>>class HashTable{public:inline unsigned long __stl_next_prime(unsigned long n){// Note: assumes long is at least 32 bits.static const int __stl_num_primes = 28;static const unsigned long __stl_prime_list[__stl_num_primes] ={53, 97, 193, 389, 769,1543, 3079, 6151, 12289, 24593,49157, 98317, 196613, 393241, 786433,1572869, 3145739, 6291469, 12582917, 25165843,50331653, 100663319, 201326611, 402653189, 805306457,1610612741, 3221225473, 4294967291};const unsigned long* first = __stl_prime_list;const unsigned long* last = __stl_prime_list +__stl_num_primes;const unsigned long* pos = lower_bound(first, last, n);return pos == last ? *(last - 1) : *pos;}HashTable(){_tables.resize(__stl_next_prime(_tables.size()));}bool Insert(const pair<K, V>& kv){if (Find(kv.first))return false;// 负载因⼦⼤于0.7就扩容if (_n * 10 / _tables.size() >= 7){// 这⾥利⽤类似深拷⻉现代写法的思想插⼊后交换解决HashTable<K, V, Hash> newHT;newHT._tables.resize(__stl_next_prime(_tables.size()));for (size_t i = 0; i < _tables.size(); i++){if (_tables[i]._state == EXIST){newHT.Insert(_tables[i]._kv);}} _tables.swap(newHT._tables);}Hash hs;size_t hashi = hs(kv.first) % _tables.size();while (_tables[hashi]._state == EXIST){++hashi;hashi %= _tables.size();}_tables[hashi]._kv = kv;_tables[hashi]._state = EXIST;++_n;return true;}HashData<K, V>* Find(const K& key){Hash hs;size_t hashi = hs(key) % _tables.size();while (_tables[hashi]._state != EMPTY){if (_tables[hashi]._state == EXIST&& _tables[hashi]._kv.first == key){return &_tables[hashi];} ++hashi;hashi %= _tables.size();}return nullptr;}bool Erase(const K& key){HashData<K, V>* ret = Find(key);if (ret == nullptr){return false;} else{ret->_state = DELETE;return true;}}private:vector<HashData<K, V>> _tables;size_t _n = 0; // 表中存储数据个数};
}

3.链地址法

（1）思路：

链地址法中所有的数据不再直接存储在哈希表中，哈希表中存储⼀个指针，没有数据映射这个位置时，这个指针为空，有多个数据映射到这个位置时，我们把这些冲突的数据链接成⼀个链表，挂在哈希表这个位置下面，链地址法也叫做拉链法或者哈希桶。

我们演示{19,30,5,36,13,20,21,12,24,96}这一组值映射到 M = 11 的哈希表中。

h(19) = 8，h(30) = 8，h(5) = 5，h(36) = 3，h(13) = 2，h(20) = 9，h(21) =10，h(12) = 1,h(24) = 2,h(96) = 88

（2）扩容：

开放定址法负载因子必须小于1，链地址法的负载因子就没有限制了，可以大于1。

负载因子越大，哈希冲突概率越高，空间利用率越高；负载因子越小，哈希冲突的概率越低，空间利用率越低

STL中unordered_xxx的最大负载因子基本控制在1，大于1就扩容，我们下面的实现也采取这种做法。

4.链地址法代码实现

namespace wxy
{template<class K, class V>struct HashNode{pair<K, V> _kv;HashNode<K, V>* _next;HashNode(const pair<K, V>& kv):_kv(kv), _next(nullptr){}};template<class K>struct HashFunc{size_t operator()(const K& key){return (size_t)key;}};// 特化template<>struct HashFunc<string>{// 字符串转换成整形，可以把字符ascii码相加即可// 但是直接相加的话，类似"abcd"和"bcad"这样的字符串计算出是相同的// 这⾥我们使⽤BKDR哈希的思路，用上次的计算结果去乘以一个质数，这个质数一般去31, 131等效果会比较好size_t operator()(const string& key){size_t hash = 0;for (auto e : key){hash *= 131;hash += e;} return hash;}};template<class K, class V, class Hash = HashFunc<K>>class HashTable{typedef HashNode<K, V> Node;inline unsigned long __stl_next_prime(unsigned long n){static const int __stl_num_primes = 28;static const unsigned long __stl_prime_list[__stl_num_primes] ={53, 97, 193, 389, 769,1543, 3079, 6151, 12289, 24593,49157, 98317, 196613, 393241, 786433,1572869, 3145739, 6291469, 12582917, 25165843,50331653, 100663319, 201326611, 402653189, 805306457,1610612741, 3221225473, 4294967291};const unsigned long* first = __stl_prime_list;const unsigned long* last = __stl_prime_list +__stl_num_primes;const unsigned long* pos = lower_bound(first, last, n);return pos == last ? *(last - 1) : *pos;}public:HashTable(){_tables.resize(__stl_next_prime(_tables.size()), nullptr);}// 拷⻉构造和赋值拷⻉需要实现深拷⻉，有兴趣的同学可以⾃⾏实现~HashTable(){// 依次把每个桶释放for (size_t i = 0; i < _tables.size(); i++){Node* cur = _tables[i];while (cur){Node* next = cur->_next;delete cur;cur = next;}_tables[i] = nullptr;}}bool Insert(const pair<K, V>& kv){Hash hs;size_t hashi = hs(kv.first) % _tables.size();// 负载因⼦==1扩容if (_n == _tables.size()){/*HashTable<K, V> newHT;newHT._tables.resize(_tables.size() * 2);for (size_t i = 0; i < _tables.size(); i++){Node* cur = _tables[i];while(cur){newHT.Insert(cur->_kv);cur = cur->_next;}}_tables.swap(newHT._tables);*/// 这⾥如果使用上面的⽅法，扩容时创建新的结点，后⾯还要使用就结点，浪费了// 下⾯的⽅法，直接移动旧表的结点到新表，效率更好vector<Node*>newtables(__stl_next_prime(_tables.size()), nullptr);for (size_t i = 0; i < _tables.size(); i++){Node* cur = _tables[i];while (cur){Node* next = cur->_next;// 旧表中节点，挪动新表重新映射的位置size_t hashi = hs(cur->_kv.first) %newtables.size();// 头插到新表cur->_next = newtables[hashi];newtables[hashi] = cur;cur = next;}_tables[i] = nullptr;}_tables.swap(newtables);}// 头插Node* newnode = new Node(kv);newnode->_next = _tables[hashi];_tables[hashi] = newnode;++_n;return true;}Node* Find(const K& key){Hash hs;size_t hashi = hs(key) % _tables.size();Node* cur = _tables[hashi];while (cur){if (cur->_kv.first == key){return cur;}cur = cur->_next;}return nullptr;}bool Erase(const K& key){Hash hs;size_t hashi = hs(key) % _tables.size();Node* prev = nullptr;Node* cur = _tables[hashi];while (cur){if (cur->_kv.first == key){if (prev == nullptr){_tables[hashi] = cur->_next;}else{prev->_next = cur->_next;}delete cur;--_n;return true;}prev = cur;cur = cur->_next;}return false;}private:vector<Node*> _tables; // 指针数组size_t _n = 0; // 表中存储数据个数};
}