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[Collection与数据结构] PriorityQueue与堆

news 来源：原创 2025/6/18 16:34:12

1. 优先级队列

1.1 概念

前面介绍过队列，队列是一种先进先出(FIFO)的数据结构，但有些情况下，操作的数据可能带有优先级，一般出队列时，可能需要优先级高的元素先出队列，该中场景下，使用队列显然不合适，比如：在手机上玩游戏的时候，如果有来电，那么系统应该优先处理打进来的电话.
在这种情况下，数据结构应该提供两个最基本的操作，一个是返回最高优先级对象，一个是添加新的对象。这种数据结构就是优先级队列(Priority Queue)。
在这种情况下，数据结构应该提供两个最基本的操作，一个是返回最高优先级对象，一个是添加新的对象。这种数据结构就是优先级队列(Priority Queue)。
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2. 优先级队列的模拟实现

PriorityQueue底层实现使用了堆这种数据结构,堆实际上就是在完全二叉树的基础上做了一些调整,使得里面的元素按照一定地规则排列,而堆的元素存储在一个数组中.

2.1 堆的概念

如果有一个关键码的集合K = {k0，k1， k2，…，kn-1}，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储在一个一维数组中，并满足：Ki <= K2i+1 且 Ki<= K2i+2 (Ki >= K2i+1 且 Ki >= K2i+2) i = 0，1，2…，则称为小堆(或大堆)。也就是任意拿出一棵子树来,子结点都比父结点小(或大).将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。
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2.2 堆的性质

堆是一颗完全二叉树
堆中的某个结点的值总是不大于或者不小于父结点的值

2.3 堆的存储方式

从堆的概念可知，堆是一棵完全二叉树，因此可以层序的规则采用顺序的方式来高效存储.
实例如上图所示.
将元素存储到数组中后，可以根据二叉树章节的性质对树进行还原。假设i为节点在数组中的下标，则有：

如果i为0，则i表示的节点为根节点，否则i节点的双亲节点为 (i - 1)/2
如果2 * i + 1 小于节点个数(前提)，则节点i的左孩子下标为2 * i + 1，否则没有左孩子
如果2 * i + 2 小于节点个数(前提)，则节点i的右孩子下标为2 * i + 2，否则没有右孩子

2.4 堆的创建

2.4.1 向下调整创建堆

对于集合{ 27,15,19,18,28,34,65,49,25,37 }中的数据，如果将其创建成堆呢？
首先将数组中的元素按照二叉树层序遍历的方法进行存放.
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接下来,我们要做的就是对上面这颗二叉树进行向下调整.那么如何向下调整呢:我们以大根堆为例来说明.

从堆的最后一棵子树开始比较父结点和子结点的大小关系(之所以从最后一棵子树开始调整,是因为必须让子树满足堆的特性,后续才好调整).使用parent标记最后一棵子树的父节点,使用child标记最后一棵子树的左孩子.
把parent的值和child的值进行比较:
- 比较右孩子的值是否大于左孩子,如果大于,child++,child变量引用移动到右孩子上.
- 比较parent和child的值,如果child的值大于parent的值,则交换两个值,如果不是则停止向下调整.
- 之后把parent和child向下移动,再次向下调整,即parent = child,child = child*2+1.直到child的值大于存储元素的数组的最后一个下标.
之后把parent向上移动,即parent–,继续上述过程.
下面画图来举例,我们给定一个任意完全二叉树:

之后以此类推…
为什么要从子树开始调整呢?因为首先要保证子树是大根堆,调整根层数更小的树的时候才会好调整.就像我们盖房子一样,先要把地基打牢,才可以盖得起高楼大厦.

完整过程如下:

接下来我们通过代码来创建一个大根堆:

public class MyPriorityQueue {public int usedSize;public int[] elem;//堆通过数组来实现public MyPriorityQueue(int[] elem) {this.elem = elem;usedSize += elem.length;}public void createBigHeap(){for (int parent = (usedSize-2)/2; parent >= 0 ; parent--) {//从最后一棵子树开始调整//之后根向上父结点向上走shiftDown(parent,usedSize-1);//向下调整//子结点永远是这棵树的最后一个结点}}/*** 向下调整* @param parent 父节点* @param end 结束位置*/private void shiftDown(int parent,int end){int child = 2*parent+1;//此时child是左孩子while (child <= end){if (child+1 < usedSize && elem[child] < elem[child+1]){//若右孩子存在,并且大于左孩子child++;//让child到右孩子这里}if (elem[parent] < elem[child]){swap(parent,child);parent = child;child = 2*child+1;}else {break;//如果父结点不大于子结点,说明已经调整完成,因为是从下往上调的}}}private void swap(int s1,int s2){int tmp = elem[s1];elem[s1] = elem[s2];elem[s2] = tmp;}
}

接下来我们来看小根堆如何进行调整,小根堆的调整恰好和大根堆相反,小根堆的调整是从根节点开始调整,直到叶子结点.

让parent标记需要调整的结点,child标记parent的左孩子节点.
如果parent的左孩子存在,即child<size,进行以下的操作,直到parent的左孩子不存在.
- parent右孩子是否存在,存在的话,就找到左右孩子中最小的孩子,让child进行标注.
- 将parent和child进行比较,如果parent的值小于child,停止调整.否则交换parent和child的值,交换完成之后parent的值和child的值向下移动,即parent = child；child = parent*2+1之后重复上述步骤,直到child大于存储元素数组的最后一个位置.
之后让parent向下移动,即parent++.重复上述步骤,直到parent到达最后一棵子树.

代码实现:

/*** 创建小根堆*/
public void createSmallHeap(){for (int parent = 0;parent <= (usedSize-2)/2;parent++){shiftDown2(parent,usedSize-1);}
}/*** 小根堆向下调整*/
private void shiftDown2(int parent,int end) {int child = parent*2+1;if (child+1 < usedSize && elem[child] > elem[child+1]){child++;}while(child <= end){if (elem[parent] > elem[child]){swap(parent, child);parent = child;child = 2*child+1;}else{break;}}
}

向下调整的时间复杂度: 最坏的情况就是从根节点一直比较到叶子结点,比较的次数为完全二叉树的高度,即时间复杂度为O(log₂N).

2.4.1 创建堆的时间复杂度推导

在这里插入图片描述
因此：建堆的时间复杂度为O(N).

2.5 堆的插入与删除

2.5.1 堆的插入

堆的插入分下面两个步骤:

把结点插入树的最后一个位置
把这个结点进行向上调整

那么,向上调整又如何调整呢?我们以大根堆为例

把插入元素所在的结点与父节点进行比较.
如果父结点小于插入结点,则交换两个结点,否则停止向上调整.
如果成功交换,重复上述步骤,知道父结点大于子结点或者比较到根结点.
下面我们通过代码来展示:

/*** 插入元素* @param val 要插入的值*/public void offer(int val){if (isFull()){this.elem = Arrays.copyOf(elem,elem.length*2);//如果数组满了的话,需要进行扩容}elem[usedSize] = val;usedSize++;shiftUp(usedSize-1);//这里注意是usedSize-1,因为usedSize++过,现在需要//向上调整的元素是usedSize-1位置上的元素}/*** 向上调整* @param child 因为向上调整的终点都是根结点,所以传入child*/private void shiftUp(int child){int parent = (child - 1)/2;while (child > 0){if (elem[parent] < elem[child]){swap(elem[parent],elem[child]);child = parent;parent = (parent-1)/2;}else {break;}}}/*** 判断堆元素是否为满* @return*/private boolean isFull(){if (elem.length == usedSize){return true;}else {return false;}}

2.5.2 堆的删除

注意:在删除元素的时候,一定删除的是堆顶元素.

将堆顶元素和最后一个元素进行交换
删除最后一个元素
将堆顶结点进行向下调整

下面通过代码来展示:

/**
* 删除堆顶元素
*/
public void poll(){if (usedSize == 0){return;}swap(elem[0],elem[usedSize-1]);usedSize --;shiftDown(0,usedSize-1);
}

这里需要注意的是,与堆的创建不同,这里只需要堆根节点进行向下调整即可,不需要堆整棵树进行向下调整.

3. PriorityQueue

3.1 PriorityQueue的性质

Java集合框架中提供了PriorityQueue和PriorityBlockingQueue两种类型的优先级队列,PriorityQueue是线程不安全的，PriorityBlockingQueue是线程安全的，本文主要介绍PriorityQueue.
关于PriorityQueue的使用要注意：

使用时必须导入PriorityQueue所在的包，即：
import java.util.PriorityQueue;
PriorityQueue中放置的元素必须要能够比较大小，不能插入无法比较大小的对象，否则会抛出ClassCastException异常
不能插入null对象，否则会抛出NullPointerException
没有容量限制，可以插入任意多个元素，其内部可以自动扩容
插入和删除元素的时间复杂度为O(log₂N)
PriorityQueue底层使用了堆数据结构
PriorityQueue默认情况下是小堆—即每次获取到的元素都是最小的元素.要想创建大根堆,必须传入比较器对象.

3.2 PriorityQueue的使用

构造方法

构造器	功能介绍
PriorityQueue()	创建一个空的优先级队列，默认容量是11
PriorityQueue(int initialCapacity)	创建一个初始容量为initialCapacity的优先级队列，注意:initialCapacity不能小于1，否则会抛IllegalArgumentException异常
PriorityQueue(Collection<? extends E> c)	用一个集合来创建优先级队列
public PriorityQueue(Comparator<? super E> comparator)	传入比较器----改变元素之间的比较规则

源码如下:

private static final int DEFAULT_INITIAL_CAPACITY = 11;//默认容量
public PriorityQueue() {this(DEFAULT_INITIAL_CAPACITY, null);}
public PriorityQueue(int initialCapacity) {//用户传入自定义容量this(initialCapacity, null);}
public PriorityQueue(Comparator<? super E> comparator) {this(DEFAULT_INITIAL_CAPACITY, comparator);//通过比较器改变优先级队列中元素的比较规则}
public PriorityQueue(Collection<? extends E> c) {if (c instanceof SortedSet<?>) {SortedSet<? extends E> ss = (SortedSet<? extends E>) c;this.comparator = (Comparator<? super E>) ss.comparator();initElementsFromCollection(ss);}else if (c instanceof PriorityQueue<?>) {PriorityQueue<? extends E> pq = (PriorityQueue<? extends E>) c;this.comparator = (Comparator<? super E>) pq.comparator();initFromPriorityQueue(pq);}else {this.comparator = null;initFromCollection(c);}}

使用实例:

static void TestPriorityQueue(){// 创建一个空的优先级队列，底层默认容量是11PriorityQueue<Integer> q1 = new PriorityQueue<>();// 创建一个空的优先级队列，底层的容量为initialCapacityPriorityQueue<Integer> q2 = new PriorityQueue<>(100);ArrayList<Integer> list = new ArrayList<>();list.add(4);list.add(3);list.add(2);list.add(1);// 用ArrayList对象来构造一个优先级队列的对象// q3中已经包含了三个元素PriorityQueue<Integer> q3 = new PriorityQueue<>(list);System.out.println(q3.size());System.out.println(q3.peek());}

通过传入比较器来创建大根堆，需要注意的是，这里在创建比较器的时候，需要实现Comparator接口（注意单词的拼写），在接口之后指定泛型参数，并且重写compare()方法.

public class Compare implements Comparator<Integer> {@Overridepublic int compare(Integer o1, Integer o2) {return o2-o1;}
}
public class Main {public static void main(String[] args) {PriorityQueue<Integer> priorityQueue1 = new PriorityQueue<>(new Compare());priorityQueue1.offer(1);priorityQueue1.offer(2);priorityQueue1.offer(3);priorityQueue1.offer(4);priorityQueue1.offer(5);System.out.println(priorityQueue1);//通过传入比较器对象,可以构建大根堆}
}

也可以通过传入比较器使得不可比较的对象变为可比较的对象:

public class Student{public String name;public int age;@Overridepublic String toString() {return "Student{" +"name='" + name + '\'' +", age=" + age +'}';}public Student(String name, int age) {this.name = name;this.age = age;}
}
import java.util.Comparator;/*** 年龄比较规则*/
public class Compare1 implements Comparator<Student> {@Overridepublic int compare(Student o1, Student o2) {return o2.age - o1.age;}
}
public class Main {public static void main(String[] args) {PriorityQueue<Student> priorityQueue2 = new PriorityQueue<>(new Compare1());//由于Student没有默认创建比较方法,所以必须传入比较器对象,否者异常priorityQueue2.offer(new Student("zhangsan",12));priorityQueue2.offer(new Student("lisi",17));priorityQueue2.offer(new Student("wangwu",19));System.out.println(priorityQueue2);//按照年龄进行大根堆构建}
}

我们也可以使用lambda表达式代替比较器.其中lambda表达式中,括号中的两个参数表示的是优先级队列中的两个对象,箭头后面表示的是比较的规则.

public class Student{public String name;public int age;@Overridepublic String toString() {return "Student{" +"name='" + name + '\'' +", age=" + age +'}';}public Student(String name, int age) {this.name = name;this.age = age;}
}
public class Main {public static void main(String[] args) {PriorityQueue<Student> priorityQueue2 = new PriorityQueue<>((s1,s2) -> s2.age-s1.age);//由于Student没有默认创建比较方法,所以必须传入比较器对象,否者异常priorityQueue2.offer(new Student("zhangsan",12));priorityQueue2.offer(new Student("lisi",17));priorityQueue2.offer(new Student("wangwu",19));System.out.println(priorityQueue2);//按照年龄进行大根堆构建}
}

也可以不传入比较器,在类中实现Comparable接口,让这个对象变成一个可比较的对象,并重写其中的compareTo方法:

public class Student implements Comparable<Student>{public String name;public int age;@Overridepublic String toString() {return "Student{" +"name='" + name + '\'' +", age=" + age +'}';}public Student(String name, int age) {this.name = name;this.age = age;}@Overridepublic int compareTo(Student o) {return this.name.compareTo(o.name);}
}
public class Main {public static void main(String[] args) {PriorityQueue<Student> priorityQueue3 = new PriorityQueue<>();priorityQueue3.offer(new Student("zhang",12));priorityQueue3.offer(new Student("li",15));priorityQueue3.offer(new Student("wang",17));System.out.println(priorityQueue3);}
}

插入,删除,获取优先级队列中的方法

函数名	功能介绍
boolean oﬀer(E e)	插入元素e，插入成功返回true，如果e对象为空，抛出NullPointerException异常，时间复杂度，注意：空间不够时候会进行扩容
E peek()	获取优先级最高的元素，如果优先级队列为空，返回null
E poll()	移除优先级最高的元素并返回，如果优先级队列为空，返回null
int size()	获取有效元素的个数
void clear()	清空
boolean isEmpty()	检测优先级队列是否为空，空返回true

优先级队列的扩容
jdk17 的源码如下:

public boolean offer(E e) {if (e == null)throw new NullPointerException();modCount++;int i = size;if (i >= queue.length)grow(i + 1);//大于队列大小的时候,进行扩容siftUp(i, e);size = i + 1;return true;}
private void grow(int minCapacity) {int oldCapacity = queue.length;// Double size if small; else grow by 50%int newCapacity = ArraysSupport.newLength(oldCapacity,minCapacity - oldCapacity, /* minimum growth */oldCapacity < 64 ? oldCapacity + 2 : oldCapacity >> 1/* preferred growth */);queue = Arrays.copyOf(queue, newCapacity);}

优先级队列的扩容说明：

容量小于64的时候,按照2倍扩容.
容量大于64的时候,按照1.5倍扩容.

4. top-k问题

这种算法一般适用于数据比较大的情况下,比如要在1亿,甚至10亿数据中找出前k的数据.
OJ链接
在这里插入图片描述
这里在寻找top-k元素的时候为什么要创建大根堆呢，因为在元素与对顶元素比较的时候，比较的是大根堆中最大的元素，如果说这个元素比大根堆中最大的元素小的话，那么就会替换掉大根堆中最大的元素，每次删除的时候都删除的是堆中最大的元素, 最终保证大根堆中都是比较小的元素, 最终堆顶就是k个元素中最大的元素,即第k小的元素.

class BigComparator implements Comparator<Integer> {@Overridepublic int compare(Integer o1, Integer o2) {return o2-o1;//通过比较器来创建大根堆}
}
public class Top_k {public int[] smallestK(int[] arr, int k) {if (k <= 0){;return new int[0];//如果k==0,返回空数组}PriorityQueue<Integer> priorityQueue = new PriorityQueue<>(new BigComparator());//先取前k个元素放入for (int i = 0; i < k; i++) {priorityQueue.offer(arr[i]);}//如果堆顶元素大于遍历到的元素,删除堆顶元素,让遍历到的元素进来for (int i = k; i < arr.length; i++) {if (priorityQueue.peek() > arr[i]){priorityQueue.poll();priorityQueue.offer(arr[i]);}}int[] array = new int[k];//使用数组取出前k个元素for (int i = 0; i < k; i++) {array[i] = priorityQueue.poll();}return array;}
}

当然我们在每次入队列的时候也可以不与堆顶元素进行比较,直接让元素入队列,只需要保证每次队列中的元素是k个即可.如果队列中的元素个数超过了k个,就把堆顶元素弹出.
这种情况一般用于arr.length < k的情况,如果是上面的代码去跑arr.length < k的情况,会报出数组越界异常.

class Solution {public int[] smallestK(int[] arr, int k) {PriorityQueue<Integer> q = new PriorityQueue<>((x,y)->y-x);int[] ret = new int[k];for (int i = 0;i < arr.length;i++){q.offer(arr[i]);if (q.size() > k){q.poll();}}for (int i = 0;i < k;i++){ret[i] = q.poll();}return ret;}
}

其实这种做法和上面那种做法本质上是一样的,如果入了一个比堆顶元素大的元素,那么优先级队列在重新调整的时候,这个元素依然会把这个元素调整到堆顶,堆顶还是会被弹出,相当于这个元素没有进来过,如果小于堆顶元素,那么调整后的堆顶元素就不是这个元素,下一次出去的元素也不是这个元素,就相当于这个元素进入了队列.