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【高阶数据结构】线段树加乘（维护序列）详细解释乘与加懒标记

news 来源：原创 2025/6/9 15:01:55

文章目录

  • 1.题目
    • [AHOI2009] 维护序列
  • 2.懒标记处理
    • 先加后乘的形式
      • 1. 先加后乘的操作
    • 先乘后加的形式
      • 2. 先乘后加的操作
        • **乘法操作**
        • **加法操作**
    • 懒标记的下传
  • 3.代码

1.题目

题目来源:https://www.luogu.com.cn/problem/P2023

[AHOI2009] 维护序列

题目背景

老师交给小可可一个维护数列的任务，现在小可可希望你来帮他完成。

题目描述

有一个长为 n n n 的数列 { a n } \{a_n\} {an​}，有如下三种操作形式：

  1. 格式 1 t g c，表示把所有满足 t ≤ i ≤ g t\le i\le g t≤i≤g 的 a i a_i ai​ 改为 a i × c a_i\times c ai​×c ;
  2. 格式 2 t g c 表示把所有满足 t ≤ i ≤ g t\le i\le g t≤i≤g 的 a i a_i ai​ 改为 a i + c a_i+c ai​+c ;
  3. 格式 3 t g 询问所有满足 t ≤ i ≤ g t\le i\le g t≤i≤g 的 a i a_i ai​ 的和，由于答案可能很大，你只需输出这个数模 p p p 的值。

输入格式

第一行两个整数 n n n 和 p p p。

第二行含有 n n n 个非负整数，表示数列 { a i } \{a_i\} {ai​} 。

第三行有一个整数 m m m，表示操作总数。

从第四行开始每行描述一个操作，同一行相邻两数之间用一个空格隔开，每行开头和末尾没有多余空格。

输出格式

对每个操作 3，按照它在输入中出现的顺序，依次输出一行一个整数表示询问结果。

2.懒标记处理

先加后乘的形式

假设我们要在一个区间上做更新操作，区间内的某个数的值用 x x x 表示，add 和 mul 分别代表加法因子和乘法因子。

1. 先加后乘的操作

先加后乘的更新过程是：
我们想在区间上的每个元素先加一个数 a a a，再乘以一个数 m m m，这个操作可以表示为：

( x + add ) ∗ mul (x + \text{add}) * \text{mul} (x+add)∗mul

  • 乘法更新
    假设当前要在区间上乘以 a a a，则操作变成：
    ( x + add ) ∗ mul ∗ a (x + \text{add}) * \text{mul} * a (x+add)∗mul∗a
    新的乘法标记将变为 mul ∗ a \text{mul} * a mul∗a，这是可以接受的。

  • 加法更新
    假设现在要在区间上加上 a a a，则变成：
    ( x + add ) ∗ mul + a (x + \text{add}) * \text{mul} + a (x+add)∗mul+a
    这个表达式不容易简化成一种标准形式。我们可以尝试将其转换为：
    ( x + add + a mul ) ∗ mul (x + \text{add} + \frac{a}{\text{mul}}) * \text{mul} (x+add+mula​)∗mul

    然而，这样得到的 add 标记变成了 add + a mul \text{add} + \frac{a}{\text{mul}} add+mula​，这个值可能是一个小数，很难表示或处理。因此，先加后乘的形式并不理想。

先乘后加的形式

2. 先乘后加的操作

另一种常见的更新方式是先乘后加，即首先进行乘法操作，然后再进行加法操作。我们可以表示为：

x ∗ mul + add x * \text{mul} + \text{add} x∗mul+add

乘法操作

如果我们在这个数上乘以 m m m，则更新如下：

( x ∗ mul + add ) ∗ m = x ∗ mul ∗ m + add ∗ m (x * \text{mul} + \text{add}) * m = x * \text{mul} * m + \text{add} * m (x∗mul+add)∗m=x∗mul∗m+add∗m

因此：

  • 新的乘法标记变成了 mul ∗ m \text{mul} * m mul∗m。
  • 新的加法标记变成了 add ∗ m \text{add} * m add∗m。
加法操作

如果我们在这个数上加上 a a a，则更新如下：

x ∗ mul + add + a x * \text{mul} + \text{add} + a x∗mul+add+a

这里：

  • 新的加法标记变为 add + a \text{add} + a add+a。
  • 乘法标记保持不变。

懒标记的下传

考虑区间树的情况，假设父节点有乘法标记 m m m 和加法标记 a a a，其更新表达式为：

( x ∗ mul + add ) ∗ m + a = x ∗ mul ∗ m + add ∗ m + a (x * \text{mul} + \text{add}) * m + a = x * \text{mul} * m + \text{add} * m + a (x∗mul+add)∗m+a=x∗mul∗m+add∗m+a

  • 左右孩子节点的 sum 更新为：
    root.sum ∗ m + ( root.r − root.l + 1 ) ∗ a \text{root.sum} * m + (\text{root.r} - \text{root.l} + 1) * a root.sum∗m+(root.r−root.l+1)∗a
    这是一个标准的加法和乘法更新，可以继续进行懒标记下传。

  • 乘法标记（mul）下传时，更新为：
    mul ∗ m \text{mul} * m mul∗m

  • 加法标记（add）下传时，更新为：
    add ∗ m + a \text{add} * m + a add∗m+a

3.代码

//为什么先加后乘的形式不可以
//我们要变成(x+add)*mul的形式
//假设现在要在这个区间上乘 a
//那么这个数就变成了 (x+add)*mul*a
//新的mul标记就变成了 mul*a 这个是可以的
//假设现在要在这个区间上加 a
//那么这个数就变成了 (x+add)*mul + a
//化成上面的形式 (x+add + a/mul)*mul
//显然新的add标记(add+ a/mul)可能是个小数，不好表示，故而这种方式不合适//先乘后加形式
// x*mul +add的形式
// 在这个数上乘m
// (x*mul+add)*m
// x*mul*m + add*m
// 新的mul标记就变成了 mul*m
// 新的add标记就变成了 add*m
// 在这个数上加a
// x*mul + add + a
// mul标记不变
// 新的add标记就变成了 add + a
// pushdown的时候为什么l和r的懒标记怎么改
// 显然父亲结点的mul和add就是以先乘后加的形式下传
// 假设父亲结点为m和a
// (x*mul+add)*m+ a
// x*mul*m +add*m+a
// 左右孩子的 sum = (root.sum*m+(root.r-root.l+1)*add)
// mul : mul*m
// add : add*m+a#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
#define int long long
typedef long long ll;
using LL =long long;
const int N = 1e5 + 10;
int n, p, m;
int w[N];
struct Node{int l, r, sum, add, mul; 
} tr[4 * N];void pushup(int u)
{tr[u].sum = (tr[u<<1].sum+tr[u<<1|1].sum)%p;
}void cale(Node &root, int a, int m) 
{root.sum = (ll)((ll)(root.sum)*m +(ll)(root.r-root.l + 1)*a)%p;root.add = (ll)(root.add*m+a)%p;root.mul = (ll)root.mul*m%p;
}void pushdown(int u)
{Node & root = tr[u],& left =tr[u<<1], &right =tr[u<<1|1];cale(left,root.add,root.mul);cale(right,root.add,root.mul);tr[u].add=0;tr[u].mul=1;
}void build(int u, int l, int r)
{if(l==r){tr[u]={l,r,w[l],0,1};}else{tr[u]={l,r,0,0,1};int mid = l+r>>1;build(u<<1,l,mid);build(u<<1|1,mid+1,r);pushup(u);}
}void modify(int u, int l, int r, int add, int mul)
{if(tr[u].l>=l&&tr[u].r<=r){cale(tr[u],add,mul);}else{pushdown(u);int mid =tr[u].l+tr[u].r>>1;if(l<=mid)modify(u<<1,l,r,add,mul);if(r >mid)modify(u<<1|1,l,r,add,mul);pushup(u);}
}int query(int u, int l, int r)
{if(tr[u].l>=l &&tr[u].r<=r)return tr[u].sum;else{pushdown(u);int mid =tr[u].l+tr[u].r>>1;ll res =0;if(l<=mid)res += query(u<<1,l,r)%p;if(r >mid)res = (res+query(u<<1|1,l,r))%p;return res;}
}signed main()
{cin>>n>>p;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>w[i];build(1,1,n);cin>>m;while ( m -- ){int t, l, r, d;cin>>t>>l>>r;if ( t == 1 ) {cin>>d;modify(1, l, r, 0, d);}else if ( t == 2 ){cin>>d;modify(1, l, r, d, 1);}else cout<<query(1, l, r)<<'\n';}return 0;
}

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编程日记 2025/6/1 10:42:21

提高互联网Web安全性：避免越权漏洞的技术方案

目录 一、越权漏洞概述 二、常见的越权漏洞类型 三、越权漏洞的影响 四、越权漏洞的技术解决方案 一、越权漏洞概述 越权&#xff08;Authorization Bypass&#xff09;类漏洞是指在系统中&#xff0c;攻击者通过绕过身份验证或访问控制&#xff0c;获取本不应访问的资源或…...

编程日记 2025/6/1 3:39:22

c语言 --- 字符串

创建字符串 1. 使用字符数组创建字符串 #include <stdio.h>int main() {char str[20] "Hello, world!";str[0] h; // 修改字符串的第一个字符printf("%s\n", str); // 输出&#xff1a;hello, world!return 0; }解释&#xff1a; 数组大小 20 表…...

编程日记 2025/6/1 11:54:59

Linux探秘坊-------1.系统核心的低语：基础指令的奥秘解析（3）

1.zip/unzip指令 语法&#xff1a; zip 压缩⽂件.zip ⽬录或⽂件 功能&#xff1a;将⽬录或⽂件压缩成zip格式 常⽤选项: -r&#xff1a;递归处理&#xff0c;将指定⽬录下的 所有⽂件和⼦⽬录⼀并处理 example: 1.事前准备 建立以下文件与目录&#xff1a; 2.压缩test 目…...

编程日记 2025/6/3 7:51:09

Java中网络编程的学习

目录 网络编程概述 网络模型 网络通信三要素: IP 端口号 通信协议 IP地址&#xff08;Internet Protocol Address&#xff09; 端口号 网络通信协议 TCP 三次握手 四次挥手 UDP TCP编程 客户端Socket的工作过程包含以下四个基本的步骤&#xff1a; 服务器程序…...

编程日记 2025/5/29 6:11:52

微服务的CAP定理与数据一致性抉择

分布式系统中的CAP定理&#xff0c;包括一致性&#xff08;Consistency&#xff09;、可用性&#xff08;Availability&#xff09;和分区容错性&#xff08;Partition Tolerance&#xff09;三个核心要素。 微服务是分布式系统的一种表现形式&#xff0c;以及用户对于系统是分…...

编程日记 2025/6/3 10:15:16

正则表达式 - 简介

正则表达式 - 简介 正则表达式&#xff08;Regular Expression&#xff0c;简称Regex&#xff09;是一种用于处理字符串的强大工具&#xff0c;它允许我们按照特定的模式&#xff08;pattern&#xff09;来搜索、匹配、查找和替换文本。正则表达式广泛应用于各种编程语言和工具…...

编程日记 2025/6/4 2:10:45

MySQL：表的内外连接

目录 1.内连接 2.左外连接和右外连接 178. 分数排名 - 力扣&#xff08;LeetCode&#xff09; 1.内连接 内连接就是两张表做笛卡尔积&#xff0c;再加上一个筛选条件。 这两个sql语句是一样的。 2.左外连接和右外连接 左外连接就是左表必须是完全显示&#xff0c;即使筛选…...

编程日记 2025/6/4 0:12:35