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秩为1的矩阵可以表示为两个向量的外积

news 来源：原创 2025/6/15 23:02:00

秩为1的矩阵可以表示为两个向量的外积，为什么

秩为 1 的矩阵可以表示为两个向量的外积，原因源于矩阵的线性代数性质。以下是详细的解释：

1. 矩阵的秩定义

矩阵的秩是矩阵列向量（或行向量）线性无关的最大个数。
当矩阵的秩为 1 时，所有列向量（或行向量）都可以表示为某一个非零向量的线性组合。

2. 外积定义

两个向量 $\mathbf{u} \in \mathbb{R}^m$ 和 $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^n$ 的外积定义为一个 $\times n$ 的矩阵：
$\mathbf{A} = \mathbf{u} \mathbf{v}^\top$
其中 $\mathbf{A}_{ij} = u_i v_j$ ，即矩阵的每个元素是 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 的对应元素相乘得到。

3. 外积矩阵的秩

外积矩阵 $\mathbf{A} = \mathbf{u} \mathbf{v}^\top$ 的秩为 1，原因如下：

矩阵 $\mathbf{A}$ 的列是向量 $\mathbf{u}$ 的线性组合：
- 第 $j$ 列为 $\mathbf{u} v_j$ ，即所有列都是 $\mathbf{u}$ 按比例缩放得到的。
- 因此，所有列向量都线性相关，矩阵的列空间维数为 1。
类似地，矩阵 $\mathbf{A}$ 的行是向量 $\mathbf{v}$ 的线性组合：
- 第 $i$ 行为 $\mathbf{v} u_i$ ，所有行都线性相关，行空间维数也为 1。

综上，矩阵 $\mathbf{A}$ 的秩为 1。

4. 反向证明

当矩阵的秩为 1 时，也可以反推出它可以表示为两个向量的外积：

设矩阵 $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 满足 $\text{rank}(\mathbf{A}) = 1$ ：

秩为 1 意味着矩阵的所有列向量是某个非零向量 $\mathbf{u} \in \mathbb{R}^m$ 的线性组合：
$\mathbf{A} = [\mathbf{u} \alpha_1, \mathbf{u} \alpha_2, \ldots, \mathbf{u} \alpha_n]$
其中 $\alpha_j \in \mathbb{R}$ 表示第 $j$ 列的缩放比例。
提取 $\mathbf{u}$ ，将列向量的线性组合形式转换为矩阵形式：
$\mathbf{A} = \mathbf{u} [\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n]$
定义 $\mathbf{v} = [\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n]^\top$ ，于是：
$\mathbf{A} = \mathbf{u} \mathbf{v}^\top$

因此，秩为 1 的矩阵可以写成两个向量 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 的外积。

5. 具体例子

考虑一个 $\times 3$ 的秩为 1 的矩阵：
$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$

验证秩：

矩阵行之间存在线性相关关系：
$\text{第 2 行} = \frac{1}{2} \times \text{第 1 行}, \quad \text{第 3 行} = \frac{3}{2} \times \text{第 1 行}$
因此，矩阵的秩为 1。

写成外积形式：

选择 $\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}$ ，选择 $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$ ，则：
$\mathbf{A} = \mathbf{u} \mathbf{v}^\top = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$

6. 结论

秩为 1 的矩阵的列空间和行空间都是 1 维，矩阵可以通过两个向量的外积表示。
这种表示形式揭示了矩阵的低秩结构。