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【数学】概率论与数理统计（五）

news 来源：原创 2025/6/16 9:50:42

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二维随机向量及其分布
随机向量
离散型随机向量的概率分布律
性质
示例
问题
解答

连续型随机向量的概率密度函数
随机向量的分布函数
性质
连续型随机向量
均匀分布

边缘分布
边缘概率分布律
边缘概率密度函数
二维正态分布
示例
问题
解答

边缘分布函数

二维随机向量及其分布

随机向量

一般地，称 $n$ 个随机变量的整体 $(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n})$ 为 $n$ 维随机向量

离散型随机向量的概率分布律

设二维离散型随机向量 $(X, Y)$ 的所有可能取值的集合为 $\set{(x_{i}, y_{j}) , i, j = 1, 2, \cdots}$ ，并记 $(X, Y)$ 取各个可能取值的概率为 $p_{ij} = P\set{X = x_{i} , Y = y_{j}} , i, j = 1, 2, \cdots$ ，称为二维离散型随机向量 $(X, Y)$ 的概率分布律，或称为 $X$ ， $Y$ 的联合分布律

性质

$p_{ij} \geq 0 (i, j = 1, 2, \cdots)$
$\sum\limits_{i}\sum\limits_{j}{p_{ij}} = 1$
满足上述 $2$ 个性质的数集 $\set{p_{ij} , i, j = 1, 2, \cdots}$ 必可构成某二维离散型随机向量的一个分布律

示例

问题

某盒内放有 $12$ 个大小相同的球，其中 $5$ 个红球， $4$ 个白球， $3$ 个黑球，第一次随机地摸出 $2$ 个球，观察后不放回，第二次再取出 $3$ 个球，以 $X_{i}$ 表示第 $i$ 次取到红球的数目， $i = 1, 2$ ，求 $X_{1}, X_{2})$ 的分布律

解答

$P\set{X_{1} = i , X_{2} = j} = P\set{X_{1} = i} P\set{X_{2} = j | X_{1} = i} = \frac{C_{5}^{i} C_{7}^{2 - i}}{C_{12}^{2}} \times \frac{C_{5 - i}^{j} C_{5 + i}^{3 - j}}{C_{10}^{3}} (i = 0, 1, 2 , j = 0, 1, 2, 3)$

连续型随机向量的概率密度函数

设二维随机向量 $(X, Y)$ ，若存在非负可积函数 $\infty < x, y < + \infty)$ ，使得对任意实数对 $a_{1} \leq b_{1}$ ， $a_{2} \leq b_{2}$ 都有 $P\set{a_{1} \leq X \leq b_{1} , a_{2} \leq Y \leq b_{2}} = \int_{a_{1}}^{b_{1}}\int_{a_{2}}^{b_{2}}{f(x, y) dx dy}$ ，则称 $(X, Y)$ 为二维连续型随机向量，称 $f (x, y)$ 为 $(X, Y)$ 的概率密度函数或 $X$ 和 $Y$ 的联合概率密度函数，简称联合概率密度

随机向量的分布函数

设 $(X, Y)$ 是二维随机向量，对于任意实数 $x$ ， $y$ ，称二元函数 $P\set{X \leq x , Y \leq y}$ 为二维随机向量 $(X, Y)$ 的分布函数，或随机变量 $X$ ， $Y$ 的联合分布函数
对于任意的实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $x_{1} < x_{2}$ ， $y_{1} < y_{2}$ 随机点 $(X, Y)$ 落入矩形区域 $\set{(X, Y) | x_{1} < X \leq x_{2} , y_{1} < Y \leq y_{2}}$ 内的概率可由分布函数表示为 $P\set{x_{1} < X \leq x_{2} , y_{1} < Y \leq y_{2}} = F(x_{2}, y_{2}) - F(x_{2}, y_{1}) - F(x_{1}, y_{2}) + F(x_{1}, y_{1})$

性质

$F (x, y)$ 对每个自变量是单调不减函数，即对任意固定的 $y$ ，若 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $F(x_{1}, y) \leq F(x_{2}, y)$
$\infty, y) = \lim\limits_{x \rightarrow - \infty}{F(x, y)} = 0$
$F (x, y)$ 对每个自变量都是右连续的，即 $F (x + 0, y) = F (x, y)$ ， $F (x, y + 0) = F (x, y)$
对于任意的 $x_{1}, y_{1})$ ， $x_{2}, y_{2})$ ，若 $x_{1} < x_{2}$ ， $y_{1} < y_{2}$ ，则 $F(x_{2}, y_{2}) - F(x_{2}, y_{1}) - F(x_{1}, y_{2}) + F(x_{1}, y_{1}) \geq 0$

连续型随机向量

对于二维连续型随机向量 $(X, Y)$ ，可以证明，若 $D$ 是 $x O y$ 平面上一个可度量的平面区域，则有 $P\set{(X, Y) \in D} = \iint\limits_{D}{f(x, y) dx dy}$
若概率密度 $f (x, y)$ 在点 $(x, y)$ 处连续，则有 $\frac{\partial^{2}{F(x, y)}}{\partial{x} \partial{y}} = f(x, y)$

均匀分布

设二维随机向量 $(X, Y)$ 的概率密度为

$\begin{cases} \cfrac{1}{S_{D}} , & (x, y) \in D \\ 0 , & (x, y) \notin D \end{cases}$

则称 $(X, Y)$ 服从区域 $D$ 上的均匀分布

边缘分布

边缘概率分布律

二维离散型随机向量 $(X, Y)$ 的两个分量 $X$ 与 $Y$ 的概率分布律分别称为随机向量 $(X, Y)$ 关于 $X$ ， $Y$ 的边缘概率分布律
$p_{i \cdot} = P\set{X = x_{i}} = \sum\limits_{j}{p_{ij}} (i = 1, 2, \cdots)$
$p_{\cdot j} = P\set{Y = y_{j}} = \sum\limits_{i}{p_{ij}} (j = 1, 2, \cdots)$
由联合分布律可以唯一确定边缘分布律，反之则不然

边缘概率密度函数

二维连续型随机向量 $(X, Y)$ 关于其分量 $X$ ， $Y$ 的概率密度分别记为 $f_{X}(x)$ ， $f_{Y}(y)$ ，分别称 $f_{X}(x)$ ， $f_{Y}(y)$ 为 $(X, Y)$ 关于 $X$ ， $Y$ 的边缘概率密度函数，简称边缘概率密度
$f_{X}(x) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{f(x, y) dy}$
$f_{Y}(y) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{f(x, y) dx}$

二维正态分布

若二维连续型随机向量 $(X, Y)$ 的概率密度为

$\cfrac{1}{2 \pi \sigma_{1} \sigma_{2} \sqrt{1 - \rho^{2}}} \exp\left\{- \cfrac{1}{2 (1 - \rho^{2})} \left[\cfrac{(x - \mu_{1})^{2}}{\sigma_{1}^{2}} - 2 \rho \cfrac{(x - \mu_{1}) (y - \mu_{2})}{\sigma_{1} \sigma_{2}} + \cfrac{(y - \mu_{2})^{2}}{\sigma_{2}^{2}}\right]\right\} (- \infty < x < + \infty , - \infty < y < + \infty)$

其中 $\mu_{1}$ ， $\mu_{2}$ ， $\sigma_{1}$ ， $\sigma_{2}$ ， $\rho$ 均为常数，且 $\sigma_{1} > 0$ ， $\sigma_{2} > 0$ ， $|\rho| < 1$ ，则称 $(X, Y)$ 服从参数为 $\mu_{1}$ ， $\mu_{2}$ ， $\sigma_{1}^{2}$ ， $\sigma_{2}^{2}$ ， $\rho$ 的二维正态分布，记为 $\sim N(\mu_{1}, \mu_{2}, \sigma_{1}^{2}, \sigma_{2}^{2}, \rho)$

示例

问题

求二维正态随机向量 $(X, Y)$ 关于 $X$ ， $Y$ 的边缘概率密度

解答

$\frac{(x - \mu_{1})^{2}}{\sigma_{1}^{2}} - 2 \rho \frac{(x - \mu_{1}) (y - \mu_{2})}{\sigma_{1} \sigma_{2}} + \frac{(y - \mu_{2})^{2}}{\sigma_{2}^{2}} = (\frac{y - \mu_{2}}{\sigma_{2}} - \rho \frac{x - \mu_{1}}{\sigma_{1}})^{2} + (1 - \rho^{2}) \frac{(x - \mu_{1})^{2}}{\sigma_{1}^{2}}$
令 $\frac{1}{\sqrt{1 - \rho^{2}}} (\frac{y - \mu_{2}}{\sigma_{2}} - \rho \frac{x - \mu_{1}}{\sigma_{1}})$ ， $\sigma_{2} \sqrt{1 - \rho^{2}} dt$

$\begin{aligned} f_{X}(x) &= \int_{- \infty}^{+ \infty}{f(x, y) dy} \\ &= \cfrac{1}{2 \pi \sigma_{1} \sigma_{2} \sqrt{1 - \rho^{2}}} e^{- \frac{(x - \mu_{1})^{2}}{2 \sigma_{1}^{2}}} \int_{- \infty}^{+ \infty}{e^{- \frac{1}{2 (1 - \rho)^{2}} (\frac{y - \mu_{2}}{\sigma_{2}} - \rho \frac{x - \mu_{1}}{\sigma_{1}})^{2}} dy} \\ &= \cfrac{1}{2 \pi \sigma_{1}} e^{- \frac{(x - \mu_{1})^{2}}{2 \sigma_{1}^{2}}} \int_{- \infty}^{+ \infty}{e^{- \frac{t^{2}}{2}} dt} \\ &= \cfrac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma_{1}} e^{- \frac{(x - \mu_{1})^{2}}{2 \sigma_{1}^{2}}} , - \infty < x < + \infty \end{aligned}$

由此可知，二维正态分布的随机向量 $(X, Y)$ 关于 $X$ ， $Y$ 的边缘分布都是正态分布，且若 $\sim N (\mu_{1} , \mu_{2} , \sigma_{1}^{2} , \sigma_{2}^{2} , \rho)$ ，则 $\sim N (\mu_{1} , \sigma_{1}^{2})$ ， $\sim N (\mu_{2} , \sigma_{2}^{2})$ ，由于边缘概率密度与参数 $\rho$ 无关，故对不同的二维正态分布，只要参数 $\mu_{1}$ ， $\mu_{2}$ ， $\sigma_{1}$ ， $\sigma_{2}$ 对应相同，那么它们的边缘分布都是相同的，这一事实表明，虽然 $X$ ， $Y$ 的联合概率密度决定边缘密度，但反之不真

边缘分布函数

二维随机向量 $(X, Y)$ 关于两个分量 $X$ ， $Y$ 的分布函数分别记为 $F_{X}(x)$ 、 $F_{Y}(y)$ ，分别称之为随机向量 $(X, Y)$ 关于 $X$ ， $Y$ 的边缘分布函数
$F_{X}(x) = P\set{X \leq x} = P\set{X \leq x , Y < + \infty} = \lim\limits_{y \rightarrow + \infty}{F(x, y)} = F(x, + \infty) = \int_{- \infty}^{x}{\left[\int_{- \infty}^{+ \infty}{f(u, y) dy}\right] du}$

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