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【算法学习】——设施选址问题（动态规划）

news 来源：原创 2025/5/10 16:01:36

题目描述

在一条高速公路附近有 V 个村庄，选择 P 个村庄在其附近建立邮局，要求每个村庄到最近的邮局的距离和最小(1<=V<=300，1<=P<=30)。

问题分析

这个问题是一个经典的设施选址问题（Facility Location Problem），具体来说是一个P-中位问题（P-Median Problem）。

为什么是中位问题？还加上个 P?

我们知道——一系列有序排列的数到其中位数的距离最小。所以，我们将问题简化一下，将这V个村庄的沿着高速公路从左往右依次列开，序号分别记为[1…i]（1<= i <= V），那么现在想要在这 V 个村庄选择其中1个村庄建设邮局，使其他村庄到邮局的总距离最小，那么这个邮局的位置必定是沿着高速公路上坐标上的第中位数个（即第 ( V + 1 ) / 2 (V+1)/2 (V+1)/2个），即问题就变成了求一个区间的中位数问题了，故称 中位问题。

那 P 的意思就自然可以理解了，就是现在问题不只是要求一个中位数，而是求 P 个。当然一列数只有一个中位数，这里的 P 个中位数的具体意义是将原本的一系列数进行分段，然后分别求出 P 个中位数，那么每一段到这个中位数点的距离都最小，P个邮局的地址就求出来了。

问题的简单示例

让我们用一个更直观的方式来理解这个问题。

想象一下你正在玩一个小游戏：在一条笔直的马路边上，有一些村庄，你需要决定在哪里建造邮局，让所有村民去邮局的路程总和最短。

让我们通过一个具体的例子来理解：

假设我们有5个村庄，它们在马路边的位置分别是：1公里、2公里、3公里、4公里和10公里处，我们需要建造2个邮局。

首先，我们要理解动态规划的思路：

  1. 如果只建一个邮局 当我们只需要建一个邮局时，最优的位置是在这些村庄的"中间位置"。这里的"中间位置"不是指距离的中间，而是指排序后的中间编号的村庄位置。比如对于村庄{1,2,3}，最优位置就是在2公里处。
  2. 如果要建两个邮局 我们可以把村庄分成两组：一组村庄由第一个邮局服务，另一组由第二个邮局服务。关键是找到最佳的分组方式。

让我用简单的代码来说明这个思路：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;// 这个函数计算在一段区间内放置一个邮局的最小距离和
int calculateOnePostOfficeCost(vector<int>& villages, int start, int end) {// 最优的邮局位置应该在中间的村庄int postOfficePos = villages[(start + end) / 2];int totalDistance = 0;// 计算这个区间内所有村庄到邮局的距离之和for (int i = start; i <= end; i++) {totalDistance += abs(villages[i] - postOfficePos);}return totalDistance;
}// 主函数：解决P个邮局的放置问题
int solvePostOffice(vector<int>& villages, int P) {int V = villages.size();// dp[i][j]: 前i个村庄放置j个邮局的最小距离和vector<vector<int>> dp(V + 1, vector<int>(P + 1, INT_MAX));dp[0][0] = 0;  // 初始状态：0个村庄0个邮局，距离和为0// 遍历村庄数量for (int i = 1; i <= V; i++) {// 遍历邮局数量（不能超过村庄数量）for (int j = 1; j <= min(i, P); j++) {// 尝试不同的分割点// k是最后一个邮局服务的起始村庄编号for (int k = j - 1; k < i; k++) {// 如果前k个村庄放置j-1个邮局是可行的if (dp[k][j-1] != INT_MAX) {// 计算新的距离和：// 前k个村庄放j-1个邮局的最小距离和 +// 区间[k,i-1]放置一个邮局的距离和int newCost = dp[k][j-1] + calculateOnePostOfficeCost(villages, k, i-1);// 更新最小值dp[i][j] = min(dp[i][j], newCost);}}}}return dp[V][P];
}int main() {// 示例：5个村庄的位置vector<int> villages = {1, 2, 3, 4, 10};int P = 2;  // 需要建造2个邮局int result = solvePostOffice(villages, P);cout << "最小距离和为：" << result << endl;return 0;
}

让我们一步一步地理解这个解决方案：

  1. 我们用动态规划数组 d p [ i ] [ j ] dp[i][j] dp[i][j]表示"在前i个村庄中放置j个邮局的最小距离和"。
  2. 对于具体的计算过程，假设现在我们在计算 d p [ 5 ] [ 2 ] dp[5][2] dp[5][2]（即5个村庄放置2个邮局的情况）：
    • 我们需要考虑在哪里"切分"这些村庄
    • 比如，我们可以让第一个邮局服务前3个村庄，第二个邮局服务后2个村庄
    • 或者让第一个邮局服务前2个村庄，第二个邮局服务后3个村庄
    • 我们需要尝试所有可能的切分方式，找到总距离和最小的方案
  3. 对于示例数据{1,2,3,4,10}，建造2个邮局：
    • 最优解是在2和10的位置建造邮局
    • 这样，前三个村庄(1,2,3)由位置2的邮局服务
    • 后两个村庄(4,10)由位置10的邮局服务
    • 总距离和 = (1+0+1) + (6+0) = 8

这个问题的难点在于：

  1. 理解为什么在一段连续村庄中，邮局放在中间村庄位置是最优的

    一列有序排列的数中，其他数到达中位数放入距离之和最小

  2. 理解如何通过动态规划来尝试不同的分割方案

  3. 理解如何利用已经计算出的更小规模问题的解来构建当前问题的解

求解原问题

我们来逐步深入分析原问题。

首先，让我们理解问题的本质：

  1. 我们有V个村庄(V≤300)
  2. 需要选择P个位置建立邮局(P≤30)
  3. 目标是最小化所有村庄到最近邮局的距离总和

问题分析： 这是一个典型的动态规划问题。选择使用动态规划的原因是：

  1. 问题具有最优子结构性质 - 如果我们知道前i个村庄放置j个邮局的最优解，就可以推导出i+1个村庄放置j个邮局的最优解
  2. 问题存在重叠子问题性质 - 在计算过程中会反复用到相同子问题的解

解决方案的核心思想：

  1. 状态定义：
  • d p [ i ] [ j ] dp[i][j] dp[i][j] 表示前i个村庄放置j个邮局时的最小距离和
  • $cost[i][j] $表示在区间[i,j]之间放置一个邮局的最小距离和
  1. 状态转移：
  • 对于每个状态 d p [ i ] [ j ] dp[i][j] dp[i][j]，我们需要考虑在什么位置放置最后一个邮局
  • 我们通过枚举最后一个邮局服务的区间起点k来寻找最优解
  • 状态转移方程： d p [ i ] [ j ] dp[i][j] dp[i][j] = min ⁡ ( d p [ k ] [ j − 1 ] + c o s t [ k ] [ i − 1 ] ) \min(dp[k][j-1] + cost[k][i-1]) min(dp[k][j−1]+cost[k][i−1])，其中k的范围是[j-1, i-1]
  1. 优化细节：
  • 在计算单个邮局的最优位置时，我们利用了一个重要性质：对于一段连续的村庄，在中间位置放置邮局可以得到最小距离和
  • 使用预处理数组cost[][]来存储所有可能区间的距离和，避免重复计算

让我们来实现这个解决方案：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <climits>
using namespace std;// 计算在区间[l,r]之间放置一个邮局的最小距离和
int calculateCost(const vector<int>& positions, int l, int r) {// 在区间中间位置放置邮局是最优的int mid = (l + r) / 2;int sum = 0;// 计算区间内所有村庄到邮局的距离和for (int i = l; i <= r; i++) {sum += abs(positions[i] - positions[mid]);}return sum;
}// 主要解决函数
int solvePostOffice(const vector<int>& positions, int V, int P) {// dp[i][j]表示前i个村庄放置j个邮局的最小距离和vector<vector<int>> dp(V + 1, vector<int>(P + 1, INT_MAX));// cost[i][j]表示区间[i,j]放置一个邮局的最小距离和vector<vector<int>> cost(V, vector<int>(V, 0));// 预处理所有区间放置一个邮局的成本for (int i = 0; i < V; i++) {for (int j = i; j < V; j++) {cost[i][j] = calculateCost(positions, i, j);}}// 初始化边界条件dp[0][0] = 0;// 动态规划主循环for (int i = 1; i <= V; i++) {  // 遍历村庄数量for (int j = 1; j <= min(i, P); j++) {  // 遍历邮局数量for (int k = j - 1; k < i; k++) {  // 尝试不同的分割点// 状态转移方程int val = dp[k][j-1];if (val != INT_MAX) {dp[i][j] = min(dp[i][j], val + cost[k][i-1]);}}}}return dp[V][P];
}int main() {int V, P;cout << "请输入村庄数量V和邮局数量P：";cin >> V >> P;vector<int> positions(V);cout << "请输入每个村庄的位置坐标：";for (int i = 0; i < V; i++) {cin >> positions[i];}int result = solvePostOffice(positions, V, P);cout << "最小距离和为：" << result << endl;return 0;
}

时间复杂度分析：

  • 预处理cost数组需要O(V²)的时间
  • 动态规划的三重循环需要O(V²P)的时间
  • 总的时间复杂度是O(V²P)

空间复杂度分析：

  • dp数组需要O(VP)的空间
  • cost数组需要O(V²)的空间
  • 总的空间复杂度是O(V² + VP)

这个解决方案的优点是：

  1. 能够保证得到全局最优解
  2. 实现相对简单，容易理解
  3. 对于给定的问题规模（V≤300，P≤30）来说，性能完全可以接受

使用示例：

输入：
V = 5, P = 2
positions = {1, 2, 3, 4, 10}输出：
最小距离和为：4

在这个例子中，最优的放置方案是在位置2和位置10处放置邮局，使得所有村庄到最近邮局的距离和最小。

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编程日记 2025/5/10 10:25:52

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在使用 Pangolin 库时&#xff0c;有时候会遇到由于版本不兼容而导致的编译错误。本文将通过一个具体的错误案例&#xff0c;展示如何识别和解决这种问题。 问题描述 在编译时&#xff0c;遇到如下编译错误&#xff1a; /usr/local/include/pangolin/gl/glsl.hpp: In member…...

编程日记 2025/5/7 2:02:48

day01_ Java概述丶开发环境的搭建丶常用DOS命令

编程常识 什么是编程&#xff1f; 所谓编程&#xff0c;就是人们可以使用编程语言对计算机下达命令&#xff0c;让计算机完成人们需要的功能。 编程语言的发展历程 第一代&#xff1a;机器语言 &#xff0c;机器语言由数字组成所有指令。计算器解析运行速度&#xff0c;最快…...

编程日记 2025/4/30 2:26:05

进程间通信——网络通信——UDP

进程间通信&#xff08;分类&#xff09;&#xff1a;网络通信、无名管道、有名管道、信号、消息队列、共享内存、信号量集 OSI七层模型&#xff1a;&#xff08;理论模型&#xff09; 应用层 : 要传输的数据信息&#xff0c;如文件传输&#xff0c;电子邮件等 表示层 : 数…...

编程日记 2025/5/7 8:04:01

（六）vForm 动态表单（数据量大，下拉选卡顿问题）

系列文章目录 （一）vForm 动态表单设计器之使用 （二）vForm 动态表单设计器之下拉、选择 （三）vForm 动态表单解决下拉框无数据显示id问题 （四）vForm 动态表单自定义组件、属性 （五）vForm 动态表单文件上传、下载 文章目录 目录 前言 一、组件改造 1.添加分页所需参…...

编程日记 2025/5/8 8:38:06

asp.net core mvc的 ViewBag ， ViewData ， Module ，TempData

在 ASP.NET MVC 和 ASP.NET Core MVC 中&#xff0c;ViewBag 和 ViewData 是两种用于将数据从控制器传递到视图&#xff08;View&#xff09;的常用方法。它们都允许控制器将动态数据传递给视图&#xff0c;但它们的实现方式有所不同。关于 Module&#xff0c;它通常指的是某种…...

编程日记 2025/5/7 13:49:23

C#语言的软件开发工具

C#语言的软件开发工具 C#语言作为一种现代化的编程语言&#xff0c;凭借其强大的功能和丰富的生态系统&#xff0c;在软件开发领域得到了广泛的应用。随着C#语言的发展&#xff0c;越来越多的开发工具应运而生。本文将详细介绍C#语言常用的开发工具&#xff0c;包括集成开发环…...

编程日记 2025/5/9 15:30:03

iOS - AutoreleasePool

1. 基本数据结构 // AutoreleasePool 的基本结构 struct AutoreleasePoolPage {static pthread_key_t const key AUTORELEASE_POOL_KEY;magic_t const magic;id *next; // 指向下一个可存放对象的地址pthread_t const thread; // 所属线程AutoreleasePoolPage …...

编程日记 2025/5/6 8:22:34

数据仓库建设方案和经验总结

在做数据集成的过程中&#xff0c;往往第二步的需求就是建设数仓由于数据分散在不同的存储环境或数据库中&#xff0c;对于新业务需求的开发需要人工先从不同的数据库中同步、集中、合并等处理&#xff0c;造成资源和人力的浪费。同时&#xff0c;目前的系统架构&#xff0c;无…...

编程日记 2025/5/9 15:31:03

该单据从未生成交易分录

经常听到采购说&#xff0c;采购匹配明细表中没有xx料号的记录&#xff0c;没有xx供应商的记录。它们用这个报表来与供应商对账的。每每以此为借口拖延着货款不付。没有记录出来&#xff0c;原因各种。之前没有记录下来&#xff0c;想不起来。今天重新分析发现其中一个原因&…...

编程日记 2025/4/28 18:14:10