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粒子的动力学和约束

news 来源：原创 2025/5/10 21:38:23

本文先介绍单粒子的力学(mechanics of a particle)，然后再介绍粒子系的力学(mechanics of particle system)，最后介绍约束(constraints)。

1. 单粒子的动力学

从原点出发有一个失径，记为 $\bm{r}$ ，速度矢量记为 $\bm{v}$ ，则：
$\bm{v} = \frac{{\rm d} \bm{r}}{{\rm d} t} \qquad (1.1)$

线性动量（linear momentum）定义为粒子质量和速度的乘积：
$\bm{p} = m \bm{v} \qquad (1.2)$

与外界物体和场相互作用，粒子将受到不同类型的力，例如重力、电磁力，将这些合力记为 $\bm{F}$ 。则粒子的力学由牛顿第二定律描述：存在一个参考系，这种参考系称为伽利略惯性系，使得粒子的运动通过如下微分方程描述：
$\bm{F} = \frac{{\rm d} \bm{p}}{{\rm d} t} = \dot{\bm{p}}$

也写为：
$\bm{F} = \frac{{\rm d} (\bm{v}m) }{{\rm d} t} \qquad (1.3)$

通常假设粒子的质量是常数，则可以引入加速度 $\bm{a}$ ：
$\bm{F} = m \frac{{\rm d} \bm{v}}{{\rm d} t} = m \bm{a} = m \frac{{\rm d}^2 \bm{r}}{{\rm d} t^2}$

在经典力学中，惯性系是一种理想化的参考系。在实际中，通常只能选取与惯性系特性接近的参考系。

力学的许多重要结论可以用守恒定律表述，即不同条件下力学量随时间不变的性质。方程(1.3)就是一个守恒定律，即粒子的线动量守恒定律：如果合力为零 $\bm{F}=0$ ，则线动量的变化率为零，即 $\dot{\bm{p}} = 0$ ，即线动量 $\bm{p}$ 守恒。

定义粒子相对点 $Q$ 的角动量（angular momentum of particle）：
$\bm{L} = \bm{r} \times \bm{p} \qquad (1.7)$

定义粒子相对点 $Q$ 的力矩（moment of force）：
$\bm{N} = \bm{r} \times \bm{F}\qquad (1.8)$

于是方程(1.3)可以写为角动量的形式：
$\bm{N} = \bm{r} \times \bm{F} = \bm{r} \times \frac{{\rm d} (\bm{v}m) }{{\rm d} t} = \bm{r} \times \dot{\bm{p}} \qquad (1.9)$

方程(1.9)中的导数项可用如下关系式代替：
$\frac{{\rm d}}{{\rm d} t} (\bm{r} \times \bm{v}m)= (\bm{v}m) \times \frac{{\rm d} \bm{r} }{{\rm d} t} + \bm{r} \times \frac{{\rm d} }{{\rm d} t}(\bm{v}m) \qquad (1.10)$

结合式(1.7)，(1.10)写为：
$\frac{{\rm d} \bm{L}}{{\rm d} t} = (\bm{v}m) \times \bm{v} + \bm{r} \times \frac{{\rm d} \bm{p}}{{\rm d} t} \qquad (1.10')$

式(1.10’)右侧第一项为零，注意 $\bm{N} = \bm{r} \times \bm{F}$ ，于是式(1.9)写为：
$\bm{N} = \frac{{\rm d} \bm{L}}{{\rm d} t} = \dot{\bm{L}} \qquad (1.11)$

式(1.11)类似式(1.3)，也导出一个守恒定律，即粒子的角动量守恒：如果力矩为零 $\bm{N}=0$ ，则动量矩的变化率为零 $\dot{\bm{L}}=0$ ，于是动量矩 $\bm{L}$ 守恒。

考虑外力的功(work done by the external force)，从点1到点2，则功定义为：
$W_{12} = \int_1^2 {\bm F} \cdot {\rm d} {\bm s} \qquad (1.12)$

根据动量的定义，且仍然假设质量为常数，上式可写为：
$W_{12} = m \int \frac{{\rm d} \bm{v}}{{\rm d} t} \cdot \bm{v} {\rm d} t \qquad (1.13)$

1. 单粒子的动力学

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