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音频进阶学习九——离散时间傅里叶变换DTFT

news 来源：原创 2025/7/15 14:18:46

文章目录

前言
一、DTFT的解释
- 1.DTFT公式
- 2.DTFT右边释义
- - 1）复指数 $e^{-j\omega n}$
  - 2）序列与复指数相乘 $x[n]*e^{-j\omega n}$
  - - 复指数序列
    - 复数的共轭
    - 正交
    - 正交集
  - 3）复指数序列求和
- 3.DTFT左边边释义
- - 1）实部与虚部
  - 2）幅度与相位
二、IDTFT
- 1.逆离散时间的傅里叶变换
- 2.IDTFT验证
总结

前言

按照傅里叶发展的历史，本应该先介绍傅里叶级数，但是由于DTFT更通用，且DTFT是属于核心理论，而DFS是DTFT的一种特列，所以该系列文章中先介绍DTFT，也就是离散时间傅里叶变换。

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一、DTFT的解释

1.DTFT公式

看一下DTFT和CFT也就是连续傅里叶变换的对比：

DTFT
$X(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega n}$
CFT
$F(\omega)=\int^{\infty}_{-\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt$

对比CFT，我们可以看到DTFT和CFT的差别在于，一个自变量是 $n$ ，一个自变量是 $t$ ，一个是非连续一个是连续。所以二者对比：

连续信号：在CFT中，频率是连续变量，频谱 $F(\omega)$ 对应的是一个实数角频率 $\omega$ ，直接描述频率分量。
离散信号：在 DTFT （包括DFT）中，由于信号是离散的，频谱的周期性引入了单位圆上的频率表示。对于 $X(\omega)$ 写作 $X(e^{j\omega})$ ，所以DTFT写作为：
$X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega n}$

2.DTFT右边释义

对于DTFT右边 $\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega n}$ 我们来一步步分析这个公式的作用。

1）复指数 $e^{-j\omega n}$

上一篇文章中，我们用欧拉公式将极坐标表示为复指数形式：
$e^{j\theta}=\cos(\theta)+j\sin(\theta)$
由此可以得到
$e^{-j\omega n}=>\cos(j\omega n)-jsin(\omega n)$

实部： $\cos(j\omega n)$ 是以频率 $\omega$ 的余弦震荡
虚部： $sin(\omega n)$ 是以频率 $\omega$ 的正弦震荡

它表示的含义是随着 $n$ 的增长，以频率 $\omega$ 在一个单位圆上以顺时针方式进行周期震荡，如下图:

$n$ 代表时间 $t$ 在 $[0, 5]$ 区间上的变换
$Z$ 的指向是极坐标
$I m$ 是虚部比变化
$R e$ 是实部变化

2）序列与复指数相乘 $x[n]*e^{-j\omega n}$

复指数序列

在上一篇文章中，我们说 $z=r*e^{i\theta}$ 表示了极坐标的旋转， $r$ 代表了模长，而 $x[n]*e^{-j\omega n}$ 中 $x [n]$ 可以是实数和虚数，所以对于 $x[n]*e^{-j\omega n}$ 值得注意的是，应该理解为对于 $x [n]$ 进行旋转 $-\omega n$ 角度，而不是理解为模长。

而对于整个 $x [n]$ 的旋转，我们得到的是对于以某一个频率 $\omega$ 旋转了 $-\omega n$ 角度的新的序列，这就叫做复指数序列。其中对于 $e^{-j\omega n}$ 我们看作是对于复指数序列的基函数。

复数的共轭

对于一个复数 $z = a + bi$ ，它的共轭复数为 $\overline{z}=a-bi$

复数共轭的几何意义是以实轴为对称轴反射。
共轭复数在许多计算中很重要，例如求复数的模: $|z|=\sqrt{z*\overline{z}}$ ，展开来为：
$(a+bi)*a(-bi)=a^2-abi+abi-b^2*i^2,\quad (i^2=-1)=>a^2+b^2$

复数空间的内积使用了共轭来确保以下性质：

共轭对称性
$<f,g>=\overline{<g,f>}$
非负性
$\geq 0$

正交

正交：在数学中，正交（orthogonality）通常用于描述两个向量或函数之间的一种关系，表示它们彼此垂直或互不相关。

向量正交：在欧几里得空间中，两个向量 $u, v$ 如果它们的内积为 0，则称它们是正交的，即： $u * v = 0$
函数正交：两个函数 $f (x), g (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上内积为0，表示为函数正交，即： $<f,g>=\int_a^bf(x)g(x)^*dx =0$

正交意味着在平面上，角度为90°，例如 $(1, i), (1, - i)$ ：
在这里插入图片描述

正交集

正交集是由一组两两正交的向量或函数组成的集合。在这种集合中，任意两个不同的元素的内积为 0。而对于复指数序列的基函数 $e^{-j\omega n}$ 则有：
$<e^{-j\omega_l n}, e^{-j\omega_m n}>=\sum_{n=0}^{N-1}e^{-j\omega_l n}* (e^{-j\omega_m n})^*\\ (e^{-j\omega_m n})^*=e^{j\omega_m n},\quad 由于复共轭 \\ <e^{-j\omega_l n}, e^{-j\omega_m n}>=\sum_{n=0}^{N-1}e^{-j\omega_l n}*e^{j\omega_m n} =>\\ \sum_{n=0}^{N-1}e^{j(\omega_m-\omega_l)n}$
当 $\omega_m\neq \omega_l$ 时， $e^{j(\omega_m-\omega_l)n}$ 表示的是一个周期性复数，几何上表示在复平面上绕原点画圆，如同上文中对于 $e^{-j\omega n}$ 解释的图像，所以对于累加和 $\sum_{n=0}^{N-1}e^{j(\omega_m-\omega_l)n}$ 为0。

也就是说对于任意复指数序列的基函数，当 $\omega_m\neq \omega_l$ 时，两者之间相互不影响，这也正是DTFT使用复指数来进行运算的原因！

3）复指数序列求和

DTFT右边对于复指数序列为什么要进行求和，即 $\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega n}$ ？

上面我们说了对于任意复指数序列的基函数，当 $\omega_m\neq \omega_l$ 时，两者之间相互不影响。所以对于 $x[n]*e^{-j\omega n}$ 中，对于某一个 $\omega_k$ ， $x[n]*e^{-j\omega_k n}$ 中，将不会包含其他频率的影响。

在欧几里得空间中，投影的定义是： $投影 =< v * u > u$ ，其中

$v$ 是要投影的向量
$u$ 是基向量
$⟨ v, u ⟩$ 是内积，量化了 $v$ 与 $u$ 的相似程度

而对于复指数序列投影，则有：
$<x[n],e^{-j\omega n}>=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]*\overline{e^{-j\omega n}} \\ \overline{e^{-j\omega n}} =e^{j\omega n} 共轭性\\ <x[n],e^{-j\omega n}> =\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega n}$
其实就是DTFT函数，它的目的就是为了不同频率之间的影响。即如果 $<x[n],e^{-j\omega_k n}> =\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega_k n}=0$ ，那么序列 $x [n]$ 对于频率 $\omega_k$ 没有影响。

3.DTFT左边边释义

1）实部与虚部

上文中解释了DTFT函数的由来，即 $\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega n}$ 可以看作是对信号进行“投影”，找出信号与每个频率基函数的匹配程度。那么如果
$<x[n],e^{-j\omega_k n}> =\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega_k n}\neq 0$ 这个值我们表示为 $X(\omega_k)$ 有什么含义？或者说有什么作用？

我们知道对于欧拉公式：
$e^{j\theta}=\cos(\theta)+j\sin(\theta)$
它的实部表示了相位（两波之间的时间或空间偏移），虚部表示了幅度，那么对于DTFT公式：
$X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega n}$
其中复指数通过欧拉公式得到
$e^{-j\omega n}=\cos(\omega n)-j\sin(\omega n)$
因此DTFT可以拆解为：
$X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n](\cos(\omega n)-j\sin(\omega n)) \\ X(e^{j\omega})=\underbrace{\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]\cos(\omega n)}_{Re(X(e^{j\omega}))}-\underbrace{\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]j\sin(\omega n)}_{Ie(X(e^{j\omega}))}$

$Re(X(e^{j\omega})$ 是实部
$Im(X(e^{j\omega})$ 是虚部

2）幅度与相位

幅度：幅度是频谱中每个频率分量的强度或大小，实部和虚部的模长，可以得出该频率分量的幅度。使用 $|X(e^{j\omega})|$ 表示信号在频率 $\omega$ 处的能量强度或振幅
$|X(e^{j\omega})|=\sqrt{Re(X(e^{j\omega})^2+Im(X(e^{j\omega})^2}$
相位：相位是频谱中每个频率分量相对于其他频率分量的相位偏移，通过实部和虚部的比值，可以计算相位。使用 $\arg(X(e^{j\omega}))或\angle(X(e^{j\omega}))$ 表示：
$\angle(X(e^{j\omega}))=\tan^{-1}\frac{Im(X(e^{j\omega})}{Re(X(e^{j\omega})}$

二、IDTFT

1.逆离散时间的傅里叶变换

上文中我们使用的傅里叶变换将序列从时域转成了频域，那么从频域恢复到时域我们成为逆傅里叶变换，逆离散时间的傅里叶变换表示为IDTFT。
在这里插入图片描述
它的公式为：
$x[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega$

2.IDTFT验证

我们将 $X(e^{j\omega})$ 代入到公式中：
$x[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\big(\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]e^{-j\omega k}\big)e^{j\omega n}d\omega$
根据之前文章积分和求和的特性
$x[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]\big(\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{-j\omega (n-k)}dw\big)$
先看积分项
$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{-j\omega (n-k)}dw$

当 $k = n$ 时：
$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{-j\omega (n-k)}dw=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}1dw=1$
当 $k\neq n$ 时，上文中说过，因为 $e^{j(\omega_m-\omega_l)n}$ 表示的是一个周期性复数，其积分结果为零：
$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{-j\omega (n-k)}dw=\frac{1}{2\pi}*0=0$

因此
$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{-j\omega (n-k)}dw=\begin{cases}1,\quad n=k \\ 0,\quad n\neq k\end{cases}$
我们用单位脉冲 $\delta$ 表示0，1，所以可以得到
$x[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]\delta[n-k]$
有没有看起来很熟悉，这不就是冲激分解，使用单位冲激序列表示的加权和

总结

本篇文章中，我们对于DTFT做了深入的了解，附带着介绍了一些使用的数学知识，同时得到了IDTFT的公式。受到篇幅限制，本章只对DTFT公式进行了展示，并没有深入了解DTFT存在的条件和性质，那么在下一篇文章中会进行进一步介绍DTFT相关性质和条件。

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