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3D数学基础2

矩阵的行列式

在任意方阵中都存在至少一个标量,称作该方阵的行列式。在线性代数中,行列式有很多有用的性质

线性运算法则

方阵 M M M的行列式记作 ∣ M ∣ |M| M或“det M”。非方阵矩阵的行列式是未定义的。
在这里插入图片描述注意,在书写行列式时,两边用竖线将数字块围起来,省略方括号。
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如果将3×3阶矩阵的行解释为3个向量,那么矩阵的行列式等于这些向量的所谓“三元组积”

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余子式

假设矩阵M有r行,c列。记法 M ( i j ) M^{(ij)} M(ij)表示从M中除去第i行和第j列后剩下的矩阵。显然,该矩阵有r-1行,c-1列。矩阵M称作M的余子式。
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代数余子式

对方阵M,给定行、列元素的代数余子式等于相应余子式的有符号行列式
C i j = ( − 1 ) ( i + j ) ∣ M ( i j ) ∣ C_{ij}=(-1)^{(i+j)}∣M^{(ij)}∣ Cij=(1)(i+j)M(ij)
记法 C i j C_{ij} Cij表示M的第i行,第j列元素的代数余子式

余子式是一个矩阵,代数余子式是一个标量

代数余子式计算式中的项 ( − 1 ) ( i + j ) (-1)^{(i+j)} (1)(i+j)有以棋盘形式使矩阵的代数余子式每隔一个为负的效果:
在这里插入图片描述
∣ M ∣ = ​​ ∑ i = 1 n a i 2 x i ∣M∣=​​\displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_i^2x_i M∣=​​i=1nai2xi​​

行列式的性质
  • 矩阵积的行列式等于矩阵行列式的积: ∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ |AB∣=∣A∣∣B| AB∣=∣A∣∣B
  • 这可以扩展到多个矩阵的情况:
    ∣ M 1 M 2 . . . M n ∣ = ∣ M 1 ∣ ∣ M 2 ∣ . . . ∣ M n ∣ ∣M_1M_2...M_n∣=∣M_1∣∣M_2∣...∣M_n∣ M1M2...Mn∣=∣M1∣∣M2...Mn
  • 矩阵转置的行列式等于原矩阵的行列式: ∣ M T ∣ = ∣ M ∣ |M^T ∣=∣M| MT∣=∣M
  • 如果矩阵的任意行或列全为零,那么它的行列式等于零。
  • 交换矩阵的任意两行或两列,行列式变负。
  • 任意行或列的非零积加到另一行或列上不会改变行列式的值。

几何解释

2D中,行列式等于以基向量为两边的平行四边形的有符号面积。有符号面积是指如果平行四边形相对于原来的方位“翻转”,那么面积变负。
3D中,行列式等于以变换后的基向量为三边的平行六面体的有符号体积。
3D中六面体“由里向外”翻转,则行列式变负。
行列式和矩阵变换导致的尺寸改变相关。
其中行列式的绝对值和面积(2D)、体积(3D)的改变相关。
行列式的符号说明了变换矩阵是否包含镜象或投影。
矩阵的行列式还能对矩阵所代表的变换进行分类。
如果矩阵行列式为零,那么该矩阵包含投影。
如果矩阵行列式为负,那么该矩阵包含镜象。

矩阵的逆

矩阵的求逆只能用于方阵
方阵 M M M的逆,记做 M − 1 M^{-1} M1,也是一个矩阵, M M M M − 1 M^{-1} M1相乘,结果是单位矩阵
M ( M − 1 ) = M − 1 M = I M(M^{-1})=M^{-1}M=I M(M1)=M1M=I
并非所有矩阵都有逆。一个明显的例子是若矩阵的某一行或列上的元素都为零,用任何矩阵乘以该矩阵,结果都是一个零矩阵。如果一个矩阵有逆矩阵,那么称它为可逆的或非奇异的。如果一个矩阵没有逆矩阵,则称它为不可逆的或奇异矩阵。奇异矩阵的行列式为零,非奇矩阵的行列式不为零,所以检测行列式的值是判断矩阵是否可逆的有效方法。此外,对于任意可逆矩阵 M M M,当且仅当 v ⃗ = 0 ⃗ \vec v=\vec 0 v =0 时, v ⃗ M = 0 \vec vM=0 v M=0
M M M 的“标准伴随矩阵”记作“adj M",定义为 M M M的所有代数余子式项构成的矩阵的转置矩阵。
在这里插入图片描述
M的标准伴随矩阵是代数余子式矩阵的转置:
在这里插入图片描述
矩阵的逆能够用标准伴随矩阵除以行列式来求得:
M − 1 = a d j M ∣ M ∣ M^{-1}=\frac {adjM}{∣M∣} M1=MadjM

以上矩阵的计算如下:
在这里插入图片描述
矩阵的逆的重要性质:

  • 如果M是非奇异矩阵,则该矩阵的逆的逆等于原矩阵: ( M − 1 ) − 1 = M (M^{-1})^{-1} =M (M1)1=M
  • 单位矩阵的逆是它本身: I − 1 = Ⅰ I^{-1}=Ⅰ I1=
  • 矩阵转置的逆等于它的逆的转置: ( M T ) − 1 = ( M − 1 ) T (M^T)^{-1}=(M^{-1})^T (MT)1=(M1)T
  • 矩阵乘积的逆等于矩阵的逆的相反顺序的乘积: ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} (AB)1=B1A1。这可扩展到多个矩阵的情况: ( M 1 M 2 … M n ) − 1 = M n − 1 . . . M 2 − 1 M 1 − 1 (M_1M_2…M_n)^{-1}=M_n^{-1}...M_2^{-1}M_1^{-1} (M1M2Mn)1=Mn1...M21M11
几何解释

矩阵的逆在几何上可以计算变换的“反向”或“相反”变换——能“撤消”原变换的变换。所以,如果向量 v ⃗ \vec v v 用矩阵 M M M 来进行变换,接着用 M M M 的逆 M − 1 M^{-1} M1 进行变换,将会得到原向量。
( v ⃗ M ) M − 1 = v ⃗ ( M M − 1 ) = v ⃗ I = v ⃗ (\vec vM)M^{-1}=\vec v(MM^{-1})=\vec vI=\vec v (v M)M1=v (MM1)=v I=v

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