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离散数学群（半群，群，交换群,循环群，对称群，置换群,置换,交代群,轮换）详细,复习笔记

news 来源：原创 2025/5/14 21:51:34

半群:

设G是一个非空集合，若·为G上的二元代数运算，且满足结合律，则称该代数系统(G,·)为半群

性质:非空,封闭,结合律

独异点:

含有单位元的半裙

练习题：

例:设S是一个非空集合，p(S)是S的幂集，∩和U是p(S)上的交运算和并运算，则

(p(S),∩)为半群，也是独异点。单位元：全集

((S),U)为半群。也是独异点。单位元：空集

证明半群的三个步骤：非空，封闭，结合律

例:设S是一个非空集合，规定S上的运算如下:a^b=b，其中a、b是S中任意元素。

证明他是半群:

1,非空:显然非空

2,封闭:任意a,b属于S,a*b=b,显然封闭

3,结合律:a*(b*c)=(a*b)*c=c

例:.对于自然数集N、整数集Z、有理数集O、实数集R、正整数集Z+以及数的加法+、减法-、乘法x:

(1)代数系统(Z,-)、(Q,-)、(R,-)不是半群。因为数的减法运算不满足结合律。

(2)代数系统(Z+,+)是半群不是独异点。因为Z中不含数的加法运算单位元。

(3)代数系统(N,+)、(N,x)、(Z,+)、(Z,x)、0.+)、(Q,*)、(R,+)、(R,x)、(Z+ ,x)都是半群，也都是独异点。

群:

设(G,·)为半群，如果满足下面条件:

(1)G中有一个元素1，使得对于G中任意元素a，都有1·a=a·1=a;

(2)对于G中任意a，都可找到G中一个元素a-，使得a·a^(-1)=a^(-1).a =1:

则称(G,·)为群。元素1称为G的单位元或壹元:a^(-1)称为a的逆元。如果群G包含的元素个数有限，则称G为有限群，否则称G为无限群

简记:半群+单位元(对称中心,对称轴)+逆元(对称过去后的点，仍在集合内)

在整数集合上,加法是群,乘法是半群,不是群,因为除了1和-1,其他的元素都没有逆元

练习题：

例.G={1,-1}关于整数乘法运算构成一个群

非空，封闭，乘法有结合律，然后是单位元 1，逆元都是自己

例.G={1,-1,i,-}关于复数乘法运算构成一个群,其中 i=(-1)^(1/2)

非空，封闭，乘法有结合律，然后是单位元 1，i的逆元：-i ,-i : i . ...

例.N阶非奇异实数方阵的集合关于矩阵乘法运算构成一个群。

例.集合Z={1,2,3,4}，二元代数运算*定义如下:对任意a、b属于Z，a*b=(a*b)/5的余数这里x、

/为普通整数乘法和除法，(Z-;*)是否为群?

1,非空

2,封闭显然

3,结合律(普通的乘法有结合律且(a*b)/5*(c*d)/5)=(a*b*c*d)/5

4,单位元 1

5,2的逆元:3 3的逆元:2 4的逆元:4

经典例题：

例:设p是一个素数，F,{0,1,…,p-1}，F’=F,-{0},证明集合F’对于乘法:a*b=(a*b (mod p))构成一个群。

1,非空

2,封闭因为模p所以范围都在p内,由于是素数所以在(1到p-1)内没有相乘出来是p的倍数的

3,结合律:结合律

4,单位元:1

5,逆元:由费马小定理:如果p是素数,a与p互质,有 a^(p-1)=1mod(p),所以有a^(-1)=a^(p-2)

例:设n是一个合数，Z.={0,1,..,n-1}，Z+:Z.-{0}请说明集合Z+对于乘法:a*b=(a*b (mod n)不构成一个群

1,不封闭,因为是合数,所以存在a,b属于Z+,a*b=0

但是如果题目改成Z-为Z+为和p互素的数

1,非空,2封闭,3,结合律都满足,4,单位元1,5,逆元为a*x=1 mod p(有解的条件为a,p互质)

例:设n是正整数，Z={0,1.….n-1}，规定Z上的模n加法运算+如下:

当a+b<n时a+b=a+b 当a+b>n时a+b=a+b-n

其中a、b是Z,中任意元素，+、-为数的加减，则(Z,+)为群，称为模n整数加法群。

相类似的还有模p的剩余类,也构成一个群

例:设(G，)是一个半群，如果对所有的a,b属于G，只要a≠b必有a*b≠b*a。证明:

(1)任意a属于G，有a*a=a;

(2)任意a,b属于G，有a*b*a=a;

(3)任意a,b,c属于G，有a*b*c=a*c.

1,因为只有a不等于b的时候,a*b != b*a,所以如果有a*b=b*a,那么一定是a=b,所以让b=a*a

因为是半群,所以有a*(a*a)=(a*a)*a,所以a=b,即a*a=a

2.a*(a*b*a)=(a*a)*(b*a)=a*b*a

(a*b*a)*a=(a*b)*(a*a)=a*b*a

所以a*(a*b*a)=(a*b*a)*a,由题:a*b*a=a

3,a*b*b*c=a*b*c

a=a*b*a c=c*b*c a*c=a*b*a*c*b*c

B*(a*c)*b=a*c

a*(a*c)*c=a*C

得证

群的3个结论

1,群中的单位元是唯一一个幂等元

2,群的大小如果大于1,则没有零元（等于1的话，零元和单位元一体）

3,群中满足消去律

练习题

例:证明:在偶数元的有限群G中必存在元素a!=e使得a^2=e(其中e是群的单位元)

一个元素和他的逆元成对存在,假设他们互不不相等

假设有n对逆元对,一个单位元

元素个数就是1+2*n为奇数,所以一定存在至少一个(可以是更多的奇数个)自己就是自己的单位元,比如上面的例题Z5(1,2,3,4)的模5乘法群里面,2和3互逆,4逆元为自己,

例:设G={2^n*3^m叫m,n属于Z}.G关于普通数的乘法构成一个群。

由于对于乘法来说就是指数的加法,整数上的加法是群,那这个也是群

群的4个判定法（重要）:

1,半群(非空,封闭,结合律)+单位元+任意元有逆

2,半群(...)+左/右单位元 + 有左/右逆元

证明：我们假设el,er是左右单位元，a的左逆元为 b ，b*a=el，假设b的左逆元为c,c*b=el

先证左右单位元一致：el*er =er=el

对于a*b=(c*b)*a*b=c*b =el 所以b也是a的右逆元

3,半群(...)+对任意a,b属于G,均有 x*a=b,a*y=b(排列,可除性)(即存在b*a^-1和a^(-1)*b)

4,半群(...)+有限+对任意a,b属于G,右 a*x=a*y x*a=y*a 都可以推出 x==y (左右消去律)

练习题：

例:给定正整数m，令G={kmlk属于Z}证明:(G,+)是一个群。

1,非空 2,封闭任意a,b属于z,有m(a+b)也属于z 3,结合律成立

4,左单位元 0 5,a的左逆元 -a

例:设(G,*)是群，u属于G，在G上定义另一个二元运算。，使得a o b=a*u^-1*b(任意a、b属于G)

证明:(G,o)也是群。

证明:

1,非空 2,封闭显然,因为*是群(G,*)的运算 3,结合律也是

4,对任意a,b属于G，存在x=b*a^-1*u，使得x o a=b*a^-1*u*u^-1*a=b，

存在y=u*a^-1*b，使得a o y=a*u^-1*u*a^-1*b=b，满足可除条件。

三大指数定律和求逆法则

1,a^m * a^n=a^(m+n) 第一指数
2,(a^m)^n=a^(mn) 第二指数

3,(a*b)^-1 = b^-1 * a^ -1

(但是不一定有 (a*b)^2=a^2 * b^2,这个得是交换群才可以) 第三指数

交换群(Abel群):

如果群(G,*)的*满足交换律

交换群的判别:

半群 + 任意a,b属于G,b/a(b*a^-1)属于G(对比群的第三个判定法b*a^-1 ,a^-1 *b)

或者是群+交换律

练习题:

例:(Z,+)、(Q,+)、(R,+)、(C,+)都是无限Abe1群。

例:(Q,·)、(R,·)、(C,·)也是无限交换群，

上面两个例都是用的对应的普通加法和乘法具有的交换律的性质

例:元素为实数或复数的n(n>1)阶可逆矩阵的全体关于矩阵的乘法组成群，都是非交换群，叫全线性群，记为GL(n,R)或GL(n,C)

经典例题

例:设(G,*)是一个群，若群G的每一个元素都满足方程x^2=1(其中1是G的单位元)，那么G是Abel群，

任意a,b属于G,有a*a=1 所以a^-1=a

a*b=(a*b)^-1=b^-1 * a^-1 =b*a

加法和乘法有交换律,所以对于整数多项式的加法是交换群,整数多项式的乘法是交换半群(因为0无逆元)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

证明:每个有限半群至少有一个幂等元。

半群有非空,封闭,结合律的性质

任意a属于S ;则a,a^2,a^3,....,a^(n+1)均属于S.
故存在a^i=a^j，其中1<=i<j<=n+1，(鸽巢原理)

存在k(整数)有，k(j-i)>=i，a^[2k(j-i)]=a^[2k(j-i)-i]a^i=a^[2k(j-i)-i]a^j=a^[2(k-1)(j-i)]=...=a^[k(j-i)]
那么b=a^[k(j-i)]是幂等元。令p=j-i 则 a^(kp)就是幂等元

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

置换:

设M为非空有限集合，M的一个一对一变换f称为一个置换。如果IM|=n，则f称为n元置换或n阶置换(G中所有元素的一个排列)

M={a1,a2.....an}其置换为

其中bi=6(ai)

如果是6(ai)=ai,那么就是恒等置换 I

M的置换一共有n!个(全排列)

练习题

例:证明:设(G,*)是有限群，则此群的运算表中每一行以及每列都是G中所有元素的一个排列。

我们任取一个元素a作为左操作数,然后任意取一个G中的元素b,一定存在y,使得a*y=b,y=a^-1 *b

所以一定是一个排列(判定条件3的第四个)

a作右操作数也一样

例:设M={1，2，3}，则有3!=6个3元置换

置换的乘积:

假如有两个置换f,g fg(x)=f(g(x))

置换乘积的性质

1,有结合律

2,有单位元(I)

3,有逆元(上下颠倒)

(所以部分置换可以构成群:置换群)

例:

(从左到右乘)

n次对称群:

n元置换的全体作成的集合S,对置换的乘法作成一个群

当n=1时，M={a}，S{a}关于置换乘法作成1次对称群为Abel群;

当n=2时，M={a,b}，S2{{a,b},{b,a}}成2次对称群，为Abel群;

当n=3时，S.不是交换群，是一个6元群

轮换

上面的(1)的形式叫做轮换,表示一个置换内部的1个循环关系

轮换的长度是r(循环长度)

如果不止一个循环就不是轮换

练习题:

例:

不是,有多个循环

多个循环的表示方式(132)(45) -->数字都不相交

如果相交 ,比如(1 3 4)(3 4 6)表示两个相乘的结果->(13)(46)

注意,没有交换律,交换后的乘积结果和现在的不一致,具体交换后结果是(14)(36)

例:(341)=(413)对吗?

对,相对的次序都是134

轮换乘积的性质

不相交轮换的乘积可交换:t*g=g*t

相交轮换的乘积不可以交换:比如上面的交换的话就是(14)(36)

任意置换可以写成不相交的不相交的轮换乘积,且唯一(不考虑顺序的话)

例设M={1,2,3,4}，M的24个置换可写成:

I(恒等置换)

(1 2),(1 3),(1 4),(2 3),(2 4),(3 4)

(1 2 3),(1 3 2),(1 2 4),(1 4 2),(1 3 4),(1 4 3)，(2 3 4)，(2 4 3)

(1 2 3 4)，(1 2 4 3)，(1 3 2 4)，(1 3 4 2),(1 4 2 3)，(1 4 3 2);

对换:

(长度为2的轮换)

任意的轮换可以表示为r-1个对换的乘积

比如:(a1,a2...a,)=(a ar)(a ar-1)...(a a3)(a a2)

或者(a1a2...a,)=(a1 a2)(a2 a3)...(ar-2 ar-1)(ar-1 ar)

任意置换也肯定至少有一个方法可以表示为一些对换

(12)=(12)(13)(13)

练习题:

例:

原式=(123)(456)=(12)(23)(45)(56)

对于(12) 只能写作3,5,7...个对换之积

不能写作2,4,6......个对换之积

奇置换和偶置换:

定性数:对于t=元素总数-轮换的个数(包括长度为1的)

如果t是奇数就是奇置换,只能表示为奇数个对换的积

偶数就是偶置换,只能表示为偶数个对换的积

对换是奇置换

置换可以表示为t个对换

练习题:

比如G={1,2,3,4,5,6}.M=(1 3 4)(25)可以表示为(13)(34)(25)/(14)(13)(25)

例:集合M={1,2,3,4,5,6}，置换,t1,t2,t3是集合M上的对换(这里允许t1=t2=t3;)那么是否t1*t2*t3*t=t?如果是t1*t2*t?如果是t1*t?

第一个不可能，第二个可能，第三个不可能

置换的逆和原置换保持一样的奇偶性

思考:(重要)

如果(a b)是集合M上的对换，T是集合M上的奇置换，那么(ab)t是什么置换? 偶置换

T是集合M上的偶置换，那么(ab)t是奇置换

设t的定性数为n-k

(1)若a、b分别出现在t的两个不同轮换中,设τ=(a a1....as)(b b1....bi), 则 (ab)t=(a a1....as b b1....bi)比t少一个轮换，所以(ab)t的定性数为n-(k-1)。

eg:G={1,2,3,4,5,6} .t=(134)(25) 定性数为3 f=(15)f*t=(13452)定性数为 4

(2)若a和b同时出现在的一个轮换中:设τ=(a a1....as)(b b1....bi),则(ab)t=(a a1....as b b1....bi)

比t多一个轮换，所以(ab)t的定性数为n-(k+1)

置换σ、T的奇偶性与其乘积σT的奇偶性关系:

偶x偶=偶，奇x奇=偶，奇x偶=奇，偶x奇=奇。

因为对换是奇置换，所以奇数个对换之积是奇置换，偶数个对换之积是偶置换

奇置换的个数和偶置换的个数

设M的元数为n，若n>1，则奇置换的个数和偶置换的个数相等，都等于n!/2

n次交代群:

所有n元偶置换作成的集合，乘法构成一个群，个数是n!/2。

置换群：

是由若干个n阶置换关于置换乘积运算所构成的群是n次对称群的一个子群。

(下面是ai列举的找置换群的方法,总结就是先平凡,后循环,然后非循环...)

练习题:

例：

(153)(46) (243)(56)
都是lcm(2,3)=6
t和6都是奇置换,所以t^-1也是奇置换所以是奇置换

例:设多项式f=(x1+x2)(x3+x4)，找出使f保持不变的所有下标的置换，这些置换在置换的乘法下是否构成群?

解:由加法交换律和乘法交换律可得到使f保持不变的所有下标的置换的集合为:

G={(1)(2)(3)(4),(1 2)(3)(4)，(1)(2)(3 4),(1 2)(3 4),(1 3)(2 4)，(14)(23)，(1324)，(1423)}。

G是S,的有限非空子集;可以验证置换乘法在G上是封闭的:

离散数学群（半群，群，交换群,循环群，对称群，置换群,置换,交代群,轮换）详细,复习笔记

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编程日记 2025/5/11 0:07:51

IOS safari 播放 mp4 遇到的坎儿

起因事情的起因是调试 IOS 手机下播放服务器接口返回的 mp4 文件流失败。对于没调试过移动端和 Safari 的我来说着实费了些功夫，网上和AI也没有讲明白。好在最终大概理清楚了，在这里整理出来供有缘人参考。问题因为直接用 IOS 手机的浏览器打开页面…...

编程日记 2025/5/12 23:28:14

LLM常见面试题（26-30题）--langchain篇

26，什么是langchain? 一个局域语言模型的框架，用于构建聊天机器人、生成式回答、摘要等功能。核心思想是将不同的组件“链”在一起，连接大语言模型和外部资源，以创建更高级的语言模型应用。使得开发人员可以快速开发原型系统和…...

编程日记 2025/5/14 15:40:55

【Python运维】构建基于Python的自动化运维平台：用Flask和Celery

《Python OpenCV从菜鸟到高手》带你进入图像处理与计算机视觉的大门！解锁Python编程的无限可能：《奇妙的Python》带你漫游代码世界在现代IT运维中，自动化运维平台扮演着至关重要的角色，它能够显著提高运维效率，减少人为错误，并且增强系统的可维护性。本文将引导读者如…...

编程日记 2025/5/10 8:16:37

socket编程(C++/Windows)

相关文章推荐： Socket 编程基础面试官，不要再问我三次握手和四次挥手 TCP的三次握手与四次挥手参考视频： https://www.bilibili.com/video/BV1aW4y1w7Ui/?spm_id_from333.337.search-card.all.click TCP通信流程服务端 #include<…...

编程日记 2025/5/14 5:38:43

Spring Boot介绍、入门案例、环境准备、POM文件解读

文章目录 1.Spring Boot(脚手架)2.微服务3.环境准备3.1创建SpringBoot项目3.2导入SpringBoot相关依赖3.3编写一个主程序；启动Spring Boot应用3.4编写相关的Controller、Service3.5运行主程序测试3.6简化部署 4.Hello World探究4.1POM文件4.1.1父项目4.1.2父项目的父…...

编程日记 2025/5/12 3:52:39

【hackmyvm】deba靶机wp

tags: HMVnodejs反序列化CVE-2017-5941wine命令定时任务 1. 基本信息^toc 文章目录 1. 基本信息^toc2. 信息收集2.1. 端口扫描2.2. 目录扫描 3. nodejs反序列化 (CVE-2017-5941)4. www-data提权low用户5. 定时任务提权6. wine命令提权root6.1. 利用CS获取root 靶机链接 http…...

编程日记 2025/5/14 9:52:56

新浪微博大数据面试题及参考答案（数据开发和数据分析）

介绍一下你所掌握的计算机网络和操作系统相关知识计算机网络：计算机网络是将地理位置不同的具有独立功能的多台计算机及其外部设备，通过通信线路连接起来，在网络操作系统，网络管理软件及网络通信协议的管理和协调下，实现资源共享和信息传递的计算机系统。我掌握了网络协议…...

编程日记 2025/5/7 13:34:41

去除 el-input 输入框的边框（element-ui@2.15.13）

dgqdgqdeMac-mini spid-admin % yarn list --pattern element-ui yarn list v1.22.22 └─ element-ui2.15.13 ✨ Done in 0.23s.dgqdgqdeMac-mini spid-admin % yarn list vue yarn list v1.22.22 warning Filtering by arguments is deprecated. Please use the pattern opt…...

编程日记 2025/5/11 8:50:30

半群:

独异点:

练习题：

群:

练习题：

经典例题：

群的3个结论

练习题

群的4个判定法（重要）:

练习题：

三大指数定律和求逆法则

交换群(Abel群):

交换群的判别:

练习题:

经典例题

置换:

练习题

置换的乘积:

置换乘积的性质

n次对称群:

轮换

练习题:

轮换乘积的性质

对换:

练习题:

奇置换 和 偶置换:

练习题:

思考:(重要)

置换σ、T的奇偶性与其乘积σT的奇偶性关系:

奇置换的个数和偶置换的个数

n次交代群:

置换群：

练习题:

相关文章：

奇置换和偶置换: