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simulink离散传递函数得到差分方程并用C语言实现

news 来源：原创 2025/5/24 10:44:04

一. 创建连续时间的传递函数

$\frac{s^2+217s}{s^2+384s+8989}$

二. 离散连续时间的传递函数G(s)

2.1 在matlab中用c2d函数双线性变换法离散G(s)，

下面是matlab脚本代码

% 创建连续时间传递函数
num = [1 217 0];
den = [1 384 8989];
sys_c = tf(num, den);
% 设置采样时间
Ts = 0.001;
% 离散化传递函数（使用 tustin 方法）
sys_d = c2d(sys_c, Ts, 'tustin');
sys_d
% 查看离散化后的传递函数
disp('离散化后的传递函数:');
disp(sys_d);

2.2 matlab命令行显示结果

运行上面脚本代码后，matlab命令行显示的结果如下图，得到离散传递函数为
$\frac{0.9282z^2-1.6747z+0.7465}{z^2-1.6709z+0.6785}$
在这里插入图片描述
- z 的正幂形式

所有项均乘以最高次幂 $z^2$ （即将负幂形式清理为正幂形式）
常用于标准传递函数表达中，这样便于与连续系统的形式类比
$\frac{0.9282z^2-1.6747z+0.7465}{z^2-1.6709z+0.6785}$
- z 的负幂形式

所有项均除以最高次幂 $z^2$ ，即 $z^{-1}$ 表示一个采样时刻的延迟， $z^{-2}$ 表示两个采样时刻的延迟，
常用于传递函数的数字实现分析中，与差分方程直接相关
$\frac{0.9282-1.6747z^{-1}+0.7465z^{-2}}{1-1.6709z^{-1}+0.6785z^{-2}}$

三. 求出离散传递函数H(z)的差分方程

离散传递函数的标准形式

$\frac{Y(z)}{U(z)}= \frac{b_0+b_1z^{-1}+b_2z^{-2}}{1+a_1z^{-1}+a_2z^{-2}}$
其中：

Y(z) 和 𝑈(𝑧) 是输出和输入信号的 Z 变换
$b_0$ , $b_1$ , $b_2$ 是传递函数分子（与输入信号的关系）
$a_1$ , $a_2$ 是传递函数分母（与输出信号的关系）

3.1 求解传递函数的负幂形式得到差分方程Y(z)

$\frac{Y(z)}{U(z)}= \frac{0.9282-1.6747z^{-1}+0.7465z^{-2}}{1-1.6709z^{-1}+0.6785z^{-2}}$

去掉分母

$\cdot (1-1.6709z^{-1}+0.6785z^{-2}) = U(z) \cdot (0.9282-1.6747z^{-1}+0.6785z^{-2})$

左右两边同时展开

$Y(z) -1.6709z^{-1}Y(z)+0.6785z^{-2}Y(z)= 0.9282U(z)-1.6747z^{-1}U(z)+0.6785z^{-2}U(z)$

移项得到Y(z)

$Y(z) = 0.9282U(z)-1.6747z^{-1}U(z)+0.6785z^{-2}U(z)+ 1.6709z^{-1}Y(z) -0.6785z^{-2}Y(z)$

3.2 将 $z^{-1}$ 表示为时域延迟

从Z-变换的性质， $z^{-1}$ 表示信号延迟一个采样周期（即𝑘 → 𝑘−1）因此

$z^{-1}Y(z)$ 表示 $y [k - 1]$
$z^{-2}Y(z)$ 表示 $y [k - 2]$
同理 $z^{-1}U(z)$ 表示 $u [k - 1]$ ， $z^{-2}U(z)$ 表示 $u [k - 2]$

带入差分方程Y(z) 中的得到
$Y (z) = 0.9282 u [k] - 1.6747 u [k - 1] + 0.6785 u [k - 2] + 1.6709 y [k - 1] - 0.6785 y [k - 2]$

四. 差分方程Y(z) 的C代码实现

u[k] ：本次输入值
Y(z)：本次输出值

MCU代码中带入u[k] 时，需乘以采样周期Ts
$Y (z) = 0.9282 u [k] - 1.6747 u [k - 1] + 0.6785 u [k - 2] + 1.6709 y [k - 1] - 0.6785 y [k - 2]$