A Unified Framework for STAR-RIS Coefficients Optimization

Abstract

Simultaneously transmitting and reflecting (STAR) reconfigurable intelligent surface (RIS) 近年来成为提升传统仅反射RIS性能的一项有前景的技术。考虑到比较不同STAR-RIS工作模式的无线系统的复杂性，以及由离散选择引起的性能下降，本文提出了一个统一的优化框架，用于处理来自不同STAR-RIS工作模式和离散相位系数的约束。通过巧妙引入惩罚项，该框架将原问题转化为两个迭代子问题：一个处理选择型约束（selection-type constraints），另一个处理其他无线资源。在温和的条件下，整个算法的收敛点至少是一个驻点。作为示例，本文将该框架应用于下行链路传输中的和速率最大化问题。仿真结果表明，基于该框架的算法不仅优于其他为不同STAR-RIS场景设计的现有算法，还能实现不同工作模式下的公平统一比较。此外，研究还发现，使用4个甚至2个离散相位的STAR-RIS，其和速率性能几乎与连续相位设置相同，这首次表明离散相位并不一定会导致显著的性能下降。

通过前述的讨论（preceding deliberations）可以看出，STAR-RIS中的不同约束条件是通过多种优化技术来处理的，这使得不同类型的STAR-RIS之间的比较变得困难。此外，当多个约束条件同时出现时，目前尚不清楚哪些现有方法可以推广到这种情形。为填补这一空白，本文首次提出了一种创新的统一框架，用于处理操作模式和离散相位约束。通过引入辅助变量来表示STAR-RIS系数，我们巧妙地将原问题转化为两个不同的子问题。一个子问题专门处理涉及离散选择的约束，另一个子问题则处理总功率约束以及额外的无线资源约束。这种战略性的解耦使得能够推导出与选择约束相关的子问题的闭式全局最优解，从而有助于证明所提出框架的解质量。具体而言，收敛的解在宽松条件下保证至少是一个驻点。据我们所知，这是首次在各种STAR-RIS配置下，即使在离散相位条件下，也提供了解质量保证的工作。

STAR-RIS有三种约束类型，即操作模式约束、无损功率约束和相位约束。以下是这些约束的详细说明。

Operating mode constraint. STAR-RIS 通常有三种操作模式 [15]：

1. ES模式（Energy Splitting mode）
   在这种模式下，入射信号被分为反射信号和透射信号，对应的约束条件为：
   $$|v_m^t|,|v_m^r|\in [0,1]$$

2. MS模式（Mode Switching mode）
   在这种模式下，每个 STAR-RIS 单元要么专用于反射，要么专用于透射，对应的约束条件为：
   ∣ v m t ∣ , ∣ v m r ∣ ∈ { 0 , 1 } |v_m^t|, |v_m^r| \in \{0, 1\} ∣vmt​∣,∣vmr​∣∈{0,1}

3. TS模式（Time Switching mode）
   在这种模式下，传输时间被划分为两个子区间，其中一个子区间专用于反射，另一个专用于透射。令 ${\lambda }^t\ge 0$ 和 ${\lambda }^r\ge 0$ 分别表示分配给透射时段和反射时段的时间比例，则有：
   $${\lambda }^t+{\lambda }^r=1$$对于 ES 和 MS 模式，由于透射和反射均占据整个时间区间，可以设置：${\lambda }^t={\lambda }^r=1$

Lossless power constraint. 通常假设超表面是无损的。因此，在 ES模式 和 MS模式 下，反射能量与透射能量之和必须等于入射信号能量，对应的约束条件为：
$$|v_m^t{|}^2+|v_m^r{|}^2=1$$

在 TS模式 下，由于在某一时间间隔内仅进行透射或反射操作，无损约束意味着：
$$|v_m^t|=|v_m^r|=1$$

图2展示了 STAR-RIS 在不同操作模式下的工作情况以及对应的约束条件。

Phase constraint ：
在实际应用中，STAR-RIS 的相位通常无法具有无限分辨率。在这种情况下：
∠ v m t , ∠ v m r ∈ { 0 , 2 π / L , ⋯ , 2 π ( L − 1 ) / L } \angle v_m^t, \angle v_m^r \in \{0, 2\pi/L, \cdots, 2\pi (L-1)/L\} ∠vmt​,∠vmr​∈{0,2π/L,⋯,2π(L−1)/L}
其中，$L$ 是可用相位的数量。最近，有研究提出了一种新的 耦合相位模型（coupled-phase model） [17]-[19]，该模型指出物理可实现的 STAR-RIS 必须满足以下条件：
$$|v_m^t||v_m^r|\cos (\angle v_m^t-\angle v_m^r)=0$$

在 ES模式 下，这等价于：
∠ v m t − ∠ v m r ∈ { π / 2 ( mod  2 π ) , − π / 2 ( mod  2 π ) } \angle v_m^t - \angle v_m^r \in \{\pi/2 \ (\text{mod } 2\pi), -\pi/2 \ (\text{mod } 2\pi)\} ∠vmt​−∠vmr​∈{π/2 (mod 2π),−π/2 (mod 2π)}

不同类型的 STAR-RIS 是上述约束条件的混合与匹配的结果，其总结见表 I。

需要注意的是，带有耦合相位的 MS 模式实际上只是基本的 MS STAR-RIS，因为 MS 模式要求：
∣ v m t ∣ , ∣ v m r ∣ ∈ { 0 , 1 } |v_m^t|, |v_m^r| \in \{0, 1\} ∣vmt​∣,∣vmr​∣∈{0,1}

结合无损功率约束： $|v_m^t{|}^2+|v_m^r{|}^2=1$。可以得出，必须满足以下条件之一： $|v_m^t|=0$ 或 $|v_m^r|=0$。这使得耦合相位约束： $|v_m^t||v_m^r|\cos (\angle v_m^t-\angle v_m^r)=0$ 自动成立。

对于 TS 模式，由于在某一时间段内，每个 STAR-RIS 元件只使用反射相位或透射相位，因此耦合相位约束不可能存在。因此，带有耦合相位（无论是否带有离散相位约束）的 MS 和 TS STAR-RIS 是不可行的，因此表 I 中未列出这些配置。

令 $\mathbf{z}$ 表示需要优化的其他通信资源 ${\mathbf{v}}^t={\left[v_1^t,\cdots ,v_M^t\right]}^T$，${\mathbf{v}}^r={\left[v_1^r,\cdots ,v_M^r\right]}^T$ 分别作为集合 { v m t } m = 1 M \{v_m^t\}_{m=1}^M {vmt​}m=1M​ 和 { v m r } m = 1 M \left\{{v_{m}^{\mathcal{r}}}\right\}_{m=1}^{M} {vmr​}m=1M​ 的简写表示，则一个涉及 STAR-RIS 的通用优化问题可以表述为：

min ⁡ { z , v t , v r , λ t , λ r } F ( z , v t , v r , λ t , λ r ) s . t . λ t ∣ v m t ∣ 2 + λ r ∣ v m r ∣ 2 = 1 , { ∣ v m t ∣ = ∣ v m r ∣ = 1 , { λ t , λ r } ≥ 0 , i f T S ∣ v m t ∣ , ∣ v m r ∣ ∈ { 0 , 1 } , λ t = λ r = 1 , i f M S ∠ v m t − ∠ v m r ∈ { π / π 2 2 ( m o d 2 π ) , − π / π 2 2 ( m o d 2 π ) } , λ t = λ r = 1 , i f E S 000000 ∠ v m t , ∠ v m r ∈ { 0 , 2 π / 2 π L L , ⋯ , 2 π ( L − 1 ) / 2 π ( L − 1 ) L L } , ( z , v t , v r , λ t , λ r ) ∈ Ω . \begin{align*} & \tag{1a} \mathop{\min}\limits_{\left\{{{{\boldsymbol z}},{{\boldsymbol v}}^{{\mathcal{t}}}, {{\boldsymbol v}}^{{\mathcal{r}}},{{\lambda}^{{\mathcal{t}}}}, {{\lambda}^{{\mathcal{r}}}}}\right\}}\;\;{\rm{{\cal F}}}\left({{{\boldsymbol z}}, {{\boldsymbol v}}^{{\mathcal{t}}},{{\boldsymbol v}}^{{\mathcal{r}}},{{\lambda}^{{\mathcal{t} }}},{{\lambda}^{{\mathcal{r}}}}}\right) \\ & \tag{1b}\;\;\;\;\;\;\;\;s.t.\;\;\;{\lambda^{\mathcal{t}}}{\left|{v_{m}^{ \mathcal{t}}}\right|^{2}}+{\lambda^{\mathcal{r}}}{\left|{v_{m}^{\mathcal{r}}} \right|^{2}}=1, \\ &\qquad \left\{ \begin{array}{l} \left|{v_{m}^{\mathcal{t}}}\right|=\left|{v_{m}^{\mathcal{r}}} \right|=1,\left\{{{{\lambda}^{{\mathcal{t}}}},{{\lambda}^{{\mathcal{r} }}}}\right\}\geq 0,\qquad {\rm if\;TS} \\[3pt] \left|{v_{m}^{\mathcal{t}}}\right|,\left|{v_{m}^{\mathcal{r}}} \right|\in\left\{{0,1}\right\},{{\lambda}^{{\mathcal{t}}}}={{ \lambda}^{{\mathcal{r}}}}=1,\quad {\rm if\;MS} \\[3pt] \begin{array}{l}\angle v_{m}^{\mathcal{t}}-\angle v_{m}^{\mathcal{r}}\in \left\{{{\pi\mathord{\left/{\vphantom{\pi 2}}\right.\kern-1.2pt}2} \left({\bmod 2\pi}\right),}\right. \\ \left.-{\pi\mathord{\left/{\vphantom{\pi 2}}\right.\kern-1.2pt}2}\left({\bmod 2 \pi}\right)\right\},{\lambda^{\mathcal{t}}}={\lambda^{\mathcal{r}}}=1, \end{array} \quad {\rm if\;ES} \end{array}\right. \phantom{000000} \tag{1c}\\ &\qquad \angle v_{m}^{\mathcal{t}},\angle v _{m}^{\mathcal{r}}\in\left\{{0,{{2\pi}\mathord{\left/{\vphantom{{2\pi} L}}\right.\kern-1.2pt}L},\cdots,{{2\pi\left({L-1}\right)}\mathord{\left/{ \vphantom{{2\pi\left({L-1}\right)}L}}\right.\kern-1.2pt}L}}\right\}, \tag{1d}\\ &\qquad \left({{\boldsymbol z},{{{\boldsymbol v}}^{\mathcal{t}}},{{{\boldsymbol v}}^{\mathcal{r}}},{{\lambda}^{\mathcal{t}}},{{\lambda}^{\mathcal{r}}} }\right)\in{\boldsymbol{\Omega}}. \tag{1e} \end{align*} ​{z,vt,vr,λt,λr}min​F(z,vt,vr,λt,λr)s.t.λt ​vmt​ ​2+λr∣vmr​∣2=1,⎩ ⎨ ⎧​∣vmt​∣=∣vmr​∣=1,{λt,λr}≥0,ifTS∣vmt​∣,∣vmr​∣∈{0,1},λt=λr=1,ifMS∠vmt​−∠vmr​∈{π/π22(mod2π),−π/π22(mod2π)},λt=λr=1,​ifES​000000∠vmt​,∠vmr​∈{0,2π/2πLL,⋯,2π(L−1)/2π(L−1)LL},(z,vt,vr,λt,λr)∈Ω.​(1a)(1b)(1c)(1d)(1e)​

在该优化问题中，$\mathcal{F}$ 是目标函数，并假设其有下界（这是一个显而易见的假设，因为问题是一个最小化问题）。公式 (1) 中的目标函数可以表示系统性能的不同形式，例如：功耗 [15], [19]、均方误差函数 [26] 。

另一方面，以下性能指标也常被用作优化目标，但由于这些指标需要最大化而非最小化，使用它们时需要在公式 (1) 中添加负号：总速率（Sum-rate）[14], [20] 、频谱效率（Spectral efficiency）[29]、保密容量（Secrecy capacity）[30], [34]

其中，$\mathbf{\Omega }$ 是 $z$、${\mathbf{v}}^t$、${\mathbf{v}}^r$、${\lambda }^t$、${\lambda }^r$ 的耦合约束集合。约束条件 (1b) 是涵盖所有三种 STAR-RIS 模式的通用表达形式，具体如下：

B. A Penalty-based Reformulation of (1)

注意到问题 (1) 中，由于约束 (1c) 包含二元选择，因此求解 STARRIS 系数 ${\mathbf{v}}_t$ 和 ${\mathbf{v}}_r$ 具有一定的挑战性。更具体地说，(1c) 中的第二个约束和第三个约束分别对振幅和两个相位之差进行了二元选择。此外，(1d) 中可能出现的离散相位也使得问题 (1) 成为一个混合整数优化问题（mixed integer optimization problem）。

为了解决这个问题，我们提出采用辅助向量 ${\mathbf{\phi }}_t,{\mathbf{\phi }}_r\in {\mathbb{C}}^{M\times 1}$，并结合一个惩罚项来处理约束 (1c) 和 (1d)。重新表述后的问题可以写成如下形式：
min ⁡ { z , v t , v r , φ t , φ r , λ t , λ r } F ( z , v t , v r , λ t , λ r ) + γ 2 ∑ p = t , r ∣ v p − φ p ∣ 2 2 s . t . { ∣ φ m t ∣ = ∣ φ m r ∣ = 1 , { λ t , λ r } ≥ 0 , i f T S ∣ φ m t ∣ , ∣ φ m r ∣ ∈ { 0 , 1 } , λ t = λ r = 1 , i f M S ∠ φ m t − ∠ φ m r ∈ { π / π 2 2 ( m o d 2 π ) , − π / π 2 2 ( m o d 2 π ) } , λ t = λ r = 1 , i f E S ∠ φ m t , ∠ φ m r ∈ { 0 , 2 π / 2 π L L , ⋯ , 2 π ( L − 1 ) / 2 π ( L − 1 ) L L } , ( 1b ) , ( 1e ) \begin{align*} &\mathop{\min}\limits_{\left\{{\scriptstyle{ \boldsymbol{z}},{{\boldsymbol{v}}^{{\mathcal{t}}}},{{\boldsymbol{v}}^{{ \mathcal{r}}}},{\boldsymbol{\varphi}}^{{\mathcal{t}}},\atop\scriptstyle{ {\boldsymbol{\varphi}}^{{\mathcal{r}}}},{\lambda}^{{\mathcal{t}}},{\lambda^{{ \mathcal{r}}}}} \right\}}{{\rm{{\cal F}}}}\left({{\boldsymbol{z}},{{ \boldsymbol{v}}^{\mathcal{t}}},{{\boldsymbol{v}}^{\mathcal{r}}},{{\lambda}^{ \mathcal{t}}},{{\lambda}^{\mathcal{r}}}}\right)+\frac{\gamma}{2}\sum\limits_{{ \mathcal{p}}={\mathcal{t}},{\mathcal{r}}}{\left|{{{\boldsymbol{v}}^{\mathcal{p }}} {-} {{\boldsymbol{\varphi}}^{\mathcal{p}}}}\right|_{2}^{2}}\tag{2a} \\ &\;\;\;\;\;\;\;\;s.t.\;\;\;\left\{\begin{array}{l}\left|{\varphi_{m}^{\mathcal{t}}}\right|=\left|{\varphi _{m}^{\mathcal{r}}}\right|=1,\left\{{{{\lambda}^{{\mathcal{t}}}},{{\lambda}^{{ \mathcal{r}}}}}\right\}\geq 0,\quad\;\;\;{\rm if\;TS}\\ \left|{\varphi_{m}^{\mathcal{t}}}\right|,\left|{\varphi_{m}^{ \mathcal{r}}}\right|\in\left\{{0,1}\right\},{{\lambda}^{{\mathcal{t}}}}={{ \lambda}^{{\mathcal{r}}}}=1,\;\;{\rm if\;MS}\\ \begin{array}{l}\angle\varphi_{m}^{\mathcal{t}}-\angle\varphi_{m }^{\mathcal{r}}\in\left\{{{\pi\mathord{\left/{\vphantom{\pi 2}}\right.}2}\left({\bmod 2\pi}\right),}\right.\\ \left.{-{\pi\mathord{\left/{\vphantom{\pi 2}}\right.}2}\left({\bmod 2 \pi}\right)}\right\},{\lambda^{\mathcal{t}}}={\lambda^{\mathcal{r}}}=1,\end{array}\;{\rm if\;ES}\end{array}\right.\tag{2b} \\ &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\angle\varphi _{m}^{\mathcal{t}},\angle\varphi_{m}^{\mathcal{r}}\in\left\{{0,{{2\pi}\mathord {\left/{\vphantom{{2\pi}L}}\right.}L},\cdots,{{2\pi\left({L-1} \right)}\mathord{\left/{\vphantom{{2\pi\left({L-1}\right)}L}}\right.}L}}\right\}, (\text{1b}), (\text{1e})\tag{2c} \end{align*} ​{φr,λt,λrz,vt,vr,φt,​}min​F(z,vt,vr,λt,λr)+2γ​p=t,r∑​∣vp−φp∣22​s.t.⎩ ⎨ ⎧​∣φmt​∣=∣φmr​∣=1,{λt,λr}≥0,ifTS∣φmt​∣,∣φmr​∣∈{0,1},λt=λr=1,ifMS∠φmt​−∠φmr​∈{π/π22(mod2π),−π/π22(mod2π)},λt=λr=1,​ifES​∠φmt​,∠φmr​∈{0,2π/2πLL,⋯,2π(L−1)/2π(L−1)LL},(1b),(1e)​(2a)(2b)(2c)​

其中，$\gamma$ 是惩罚系数。当惩罚系数增大时，RIS 系数向量 ${\mathbf{v}}_t$ 和 ${\mathbf{v}}_r$ 将被迫取与辅助向量 ${\mathbf{\phi }}_t,{\mathbf{\phi }}_r$ 相同的值，从而使 ${\mathbf{v}}_t$ 和 ${\mathbf{v}}_r$ 满足约束 (1c) 和 (1d)。

注意到 (2) 中 { φ t , φ r } \{\boldsymbol{\varphi}_t, \boldsymbol{\varphi}_r\} {φt​,φr​} 和 { z , v t , v r , λ t , λ r } \{\boldsymbol{z}, \boldsymbol{v}_t, \boldsymbol{v}_r, {\lambda}_t, {\lambda}_r\} {z,vt​,vr​,λt​,λr​} 的约束并未耦合，因此可以采用 BCD 框架来处理该问题，该框架涉及交替求解以下两个子问题：
P 1 : min ⁡ { φ t , φ r } ∣ v t − φ t ∣ 2 2 + ∣ v r − φ r ∣ 2 2 s . t . { ∣ φ m t ∣ = ∣ φ m r ∣ = 1 , i f T S ∣ φ m t ∣ , ∣ φ m r ∣ ∈ { 0 , 1 } , i f M S ∠ φ m t − ∠ φ m r ∈ { π / π 2 2 ( m o d 2 π ) , − π / π 2 2 ( m o d 2 π ) } , i f E S ∠ φ m t , ∠ φ m r ∈ { 0 , 2 π / 2 π L L , ⋯ , 2 π ( L − 1 ) / 2 π ( L − 1 ) L L } . \begin{align*} \begin{split}\displaystyle{\rm P1}:\mathop{\min}\limits_{\left\{{{{\boldsymbol\varphi} ^{\mathcal{t}}},{{\boldsymbol\varphi}^{\mathcal{r}}}}\right\}}&\displaystyle{\left|{{{ \boldsymbol v}^{\mathcal{t}}} {-} {{\boldsymbol\varphi}^{\mathcal{t}}}}\right|_{2}^{2}{+} \left|{{{\boldsymbol v}^{\mathcal{r}}} {-} {{\boldsymbol\varphi}^{\mathcal{r}}}}\right|_{2}^ {2}}\\ \displaystyle s.t.&\displaystyle\left\{\begin{array}{l}\left|{\varphi_{m}^{\mathcal{t}}}\right|=\left|{\varphi_{m}^{\mathcal{r}} }\right|=1,\qquad\qquad\qquad\;\;\;\;\;{\rm if\;TS}\\ \left|{\varphi_{m}^{\mathcal{t}}}\right|,\left|{\varphi_{m}^{ \mathcal{r}}}\right|\in\left\{{0,1}\right\},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;{\rm if\;MS}\\ \begin{array}{l}\angle\varphi_{m}^{\mathcal{t}}-\angle\varphi_{m}^{\mathcal{ r}}\in\left\{{{\pi\mathord{\left/{\vphantom{\pi 2}}\right.\kern-1.2pt}2}\left ({\bmod 2\pi}\right),}\right.\\ \left.{-{\pi\mathord{\left/{\vphantom{\pi 2}}\right.\kern-1.2pt}2}\left({\bmod 2 \pi}\right)}\right\},\end{array}\;\;{\rm if\;ES}\end{array}\right.\\ &\displaystyle\;\angle\varphi_{m}^{\mathcal{t}},\angle\varphi_{m}^{\mathcal{r} }\in\left\{{0,{{2\pi}\mathord{\left/{\vphantom{{2\pi}L}}\right.\kern-1.2pt}L}, \cdots,{{2\pi\left({L-1}\right)}\mathord{\left/{\vphantom{{2\pi\left({L-1} \right)}L}}\right.\kern-1.2pt}L}}\right\}.\end{split} \end{align*} P1:{φt,φr}min​s.t.​ ​vt−φt ​22​+∣vr−φr∣22​⎩ ⎨ ⎧​∣φmt​∣=∣φmr​∣=1,ifTS∣φmt​∣,∣φmr​∣∈{0,1},ifMS∠φmt​−∠φmr​∈{π/π22(mod2π),−π/π22(mod2π)},​ifES​∠φmt​,∠φmr​∈{0,2π/2πLL,⋯,2π(L−1)/2π(L−1)LL}.​​

P 2 : min ⁡ { z , v t , v r , λ t , λ r } F ( z , v t , v r , λ t , λ r ) + γ 2 ∑ p = t , r ∣ v p − φ p ∣ 2 2 s . t . { λ t + λ r = 1 , { λ t , λ r } ≥ 0 , i f T S ∣ v m t ∣ 2 + ∣ v m r ∣ 2 = 1 , λ t = λ r = 1 , i f M S / E S ( z , v t , v r , λ t , λ r ) ∈ Ω \begin{align*} \begin{split}\displaystyle{\rm P2}:\mathop{\min}\limits_{\left\{{\scriptstyle{ \boldsymbol z},{{\boldsymbol v}^{{\mathcal{t}}}},{{\boldsymbol v}^{{\mathcal{r}}}},{{\lambda}^{{\mathcal{t}}}},{\lambda^{{\mathcal{r}}}}} \right\}}&\displaystyle{\cal F}\left({{\boldsymbol z},{{\boldsymbol v}^{\mathcal{t}}},{{\boldsymbol v} ^{\mathcal{r}}},{\lambda^{\mathcal{t}}},{\lambda^{\mathcal{r}}}}\right){+} \frac{\gamma}{2}\sum\limits_{{\mathcal{p}}={\mathcal{t}},{\mathcal{r}}}{\left| {{{\boldsymbol v}^{\mathcal{p}}}{-}{{\boldsymbol\varphi}^{\mathcal{p}}}}\right|_{2}^{2}}\\ \displaystyle s.t.&\displaystyle\left\{\begin{array}{l}{\lambda^{\mathcal{t}}}+{\lambda^{\mathcal{r}}}=1,\left\{{{\lambda^{ \mathcal{t}}},{\lambda^{\mathcal{r}}}}\right\}\geq 0,\;\;\;{\rm if\;TS}\\ \begin{array}{l}{\left|{v_{m}^{\mathcal{t}}}\right|^{2}}+{ \left|{v_{m}^{\mathcal{r}}}\right|^{2}}=1,\\ {\lambda^{\mathcal{t}}}={\lambda^{\mathcal{r}}}=1,\end{array} \quad\;\;\;\;\;{\rm if\;MS/ES}\end{array}\right.\\ &\displaystyle\left({{\boldsymbol z},{{\boldsymbol v}^{\mathcal{t}}},{{\boldsymbol v}^{\mathcal{r}}},{ \lambda^{\mathcal{t}}},{\lambda^{\mathcal{r}}}}\right)\in{\boldsymbol\Omega}\end{split} \end{align*} P2:{z,vt,vr,λt,λr}min​s.t.​F(z,vt,vr,λt,λr)+2γ​p=t,r∑​∣vp−φp∣22​⎩ ⎨ ⎧​λt+λr=1,{λt,λr}≥0,ifTS∣vmt​∣2+∣vmr​∣2=1,λt=λr=1,​ifMS/ES​(z,vt,vr,λt,λr)∈Ω​​

III. OPTIMIZING AUXILIARY VARIABLES $\mathbf{\phi }$ IN P1

如表 I 所示，公式 (3) 的约束条件的不同组合导致了不同类型的 STAR-RIS。以下将讨论分为两种情况。首先，我们考虑没有耦合相位约束的情况，这对应于表 I 中的第 1 至第 6 种情况。然后，我们讨论表 I 中的第 7 和第 8 种具有耦合相位的情况。

无耦合相位的 STAR-RIS： 由此产生的子问题为：
min ⁡ φ m t , φ m r ∣ v m t − φ m t ∣ 2 + ∣ v m r − φ m r ∣ 2 s . t . { ∣ φ m t ∣ = ∣ φ m r ∣ = 1 , i f T S ∣ φ m t ∣ , ∣ φ m r ∣ = { 0 , 1 } o r { 1 , 0 } , i f M S φ m t , φ m r ∈ C , i f E S ∠ φ m t , ∠ φ m r ∈ { 0 , 2 π / 2 π L L , ⋯ , 2 π ( L − 1 ) / 2 π ( L − 1 ) L L } . \begin{align*} \mathop{\min}\limits_{\varphi_{m}^{\mathcal{t}},\varphi_{m}^{ \mathcal{r}}} & \left|{v_{m}^{\mathcal{t}}-\varphi_{m}^{\mathcal{t}}}\right|^{2}+ \left|{v_{m}^{\mathcal{r}}-\varphi_{m}^{\mathcal{r}}}\right|^{2} \tag{4a}\\ s.t. & \left\{\begin{array}{l}\left|{\varphi_{m}^{ \mathcal{t}}}\right|=\left|{\varphi_{m}^{\mathcal{r}}}\right|=1,\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm if\;TS}\\[3pt] \left|{\varphi_{m}^{\mathcal{t}}}\right|,\left|{\varphi_{m}^{ \mathcal{r}}}\right|=\left\{{0,1}\right\}{\rm\;or\;}\left\{{1,0}\right\},\;\;\;\;\;{\rm if\;MS}\\[3pt] \varphi_{m}^{\mathcal{t}},\varphi_{m}^{\mathcal{r}}\in{\mathbb{C}},\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm if\;ES} \end{array}\right. \tag{4b}\\ & \; \angle\varphi_{m}^{\mathcal{t}},\angle\varphi_{m}^{\mathcal{r}} \in\left\{{0,{{2\pi}\mathord{\left/{\vphantom{{2\pi}L}}\right.\kern-1.2pt}L},\cdots,{{2\pi\left({L-1}\right)}\mathord{\left/{\vphantom{{2\pi\left({L -1}\right)}L}}\right.\kern-1.2pt}L}}\right\}. \tag{4c} \end{align*} φmt​,φmr​min​s.t.​ ​vmt​−φmt​ ​2+∣vmr​−φmr​∣2⎩ ⎨ ⎧​∣φmt​∣=∣φmr​∣=1,ifTS∣φmt​∣,∣φmr​∣={0,1}or{1,0},ifMSφmt​,φmr​∈C,ifES​∠φmt​,∠φmr​∈{0,2π/2πLL,⋯,2π(L−1)/2π(L−1)LL}.​(4a)(4b)(4c)​

一般来说，这是一个包含整数变量的问题，因为相位是离散的，因此难以求解。然而，由于公式 (4) 中的幅度约束和相位约束是分离的，我们可以分别对其求解，并通过以下引理获得公式 (4) 的闭式解。

引理 1. 定义 ${\alpha }_m^t={\text{Proj}}_{\Theta }(\angle v_m^t)$， ${\alpha }_m^r={\text{Proj}}_{\Theta }(\angle v_m^r)$，${\beta }_m^t=|v_m^t|\cos ({\alpha }_m^t-\angle v_m^t)$，${\beta }_m^r=|v_m^r|\cos ({\alpha }_m^r-\angle v_m^r)$。公式 (4) 的最优解为：
$$\begin{array}{r}\begin{array}{l}{\phi }_m^t=e^{j{\alpha }_m^t},{\phi }_m^r=e^{j{\alpha }_m^r},\mathrm{if}\mathrm{TS}\\ {\phi }_m^t=\frac{1+\mathrm{sgn}\left({\beta }_m^t-{\beta }_m^r\right)}{2}{e}^{j{\alpha }_m^t},{\phi }_m^r=\frac{1+\mathrm{sgn}\left({\beta }_m^r-{\beta }_m^t\right)}{2}{e}^{j{\alpha }_m^r},\mathrm{if}\mathrm{MS}\\ {\phi }_m^t={\beta }_m^t{e}^{j{\alpha }_m^t},{\phi }_m^r={\beta }_m^r{e}^{j{\alpha }_m^r},\mathrm{if}\mathrm{ES}\end{array}\end{array}\text{\hspace{1em}(5)}$$

引理 2. If L > 2 and is an even number, the optimal solution of (6) is
$$\begin{array}{r}\begin{array}{l}{\phi }_m^t=\left|v_m^t\right|\cos \left({\theta }_m^t-\angle v_m^t\right)e^{j{\theta }_m^t},\\ {\phi }_m^r=\left|v_m^r\right|\left|\sin \left({\theta }_m^t-\angle v_m^r\right)\right|e^{j\left({\theta }_m^t-\frac{\pi }{2}\mathrm{sgn}\left(\sin \left({\theta }_m^t-\angle v_m^r\right)\right)\right)},\end{array}\end{array}\text{\hspace{1em}(7)}$$

其中 ${\theta }_m^t={\mathrm{Proj}}_{\mathbf{\Theta }}\left(\angle v_m^t-b_m/2+\pi /2\right)$，$b_m=-j\ln \left(\frac{\left[{|v_m^r|}^2\cos \left(2\angle v_m^t-2\angle v_m^r\right)+{|v_m^t|}^2\right]+j{|v_m^r|}^2\sin \left(2\angle v_m^t-2\angle v_m^r\right)}{\sqrt{{\left[{|v_m^r|}^2\cos \left(2\angle v_m^t-2\angle v_m^r\right)+{|v_m^t|}^2\right]}^2+{\left[{|v_m^r|}^2\sin \left(2\angle v_m^t-2\angle v_m^r\right)\right]}^2}}\right)$。

Proof. See Appendix C in supplementary material.

这里我必须要吐槽一下作者，这里看似 $b_m$ 的结果没有问题，实际上根本是无法仿真的，$\ln$ 函数中有虚数在MATLAB中是无法运行的。同时我下载了所谓 supplementary material，我们发现Appendix C中对于 ${\chi }_m$ 的推导是错误的，正确的结果应该是 ${\chi }_m={\left[{\left|v_m^t\right|}^2\cos \left(2\angle v_m^t-2\angle v_m^t\right)-{\left|v_m^t\right|}^2\right]}^2+{\left[{\left|v_m^r\right|}^2\sin \left(2\angle v_m^t-2\angle v_m^r\right)\right]}^2$。此外，此处相角的导出也非常反人类的直觉，他是根据 $e^{j{b}_m}=\cos b_m+j\sin b_m$，得到 $b_m=-j\ln (\cos b_m+j\sin b_m)$，只能说bro 一定觉得自己很幽默。

引理 1 和引理 2 涵盖了离散和连续相位的 STAR-RIS。对于后者情况，相当于取 $L\to \infty$，并且引理 1 和引理 2 中的投影函数可以省略。需要注意的是，对于最简单的 ES STAR-RIS（表 I 中的第五种情况），由于公式 (3) 中没有涉及相位和幅度的约束，辅助变量 ${\phi }^t$ 和 ${\phi }^r$ 的最优解将始终等于 $v^t$ 和 $v^r$。因此，惩罚循环只需执行一次，这就简化为许多现有文献中的传统无惩罚设计 [28], [44]。

由于 P1 的解覆盖了所有现有类型的 STAR-RIS，一旦解决了 P2，就可以轻松比较所有 STAR-RIS 类型的系统性能。这是第一次以统一的方式启用这样的比较。这一点很重要，因为如果我们分别在不同的 STAR-RIS 模式下优化资源分配问题 (1)，性能的差异可能不仅来自操作模式的不同，还来自算法的不同。因此，所提出的框架为通信系统研究人员提供了一种统一的方法，以决定哪种类型的 STAR-RIS 最适合特定场景或应用。此类比较的示例将在第 V 节中提供。

IV. A CASE STUDY OF P2 ON DOWNLINK STAR-RIS ASSISTED TRANSMISSION SYSTEM

所提出的框架在第II节中基于将原始问题合理地分解为两个子问题：P1用于解决由STAR-RIS引起的离散约束问题；P2用于优化其他无线资源。通过在第III节中为各种类型的STAR-RIS推导P1的闭合解，研究人员只需关注解决P2问题，这是无线通信资源分配中的常见情况。本节提供了一个关于下行STAR-RIS辅助通信系统的示例。

假设基站（BS）有$N$根天线，STAR-RIS包含$M$个元件。此外，反射区域和透射区域分别有$K^r$个用户和$K^t$个用户，这些用户均为单天线用户。在本文中，我们假设基站可获得信道状态信息（CSI）。设$s_i\in \mathbb{C}$为归一化功率的符号，表示针对第$i$个用户的信息符号（$i=1,\cdots ,K^r+K^t$）。基站通过波束成形向量${\mathbf{w}}_i\in {\mathbb{C}}^{N\times 1}$发送的信号为${\sum }_{i=1}^{K^r+K^t}{\mathbf{w}}_i{s}_i$。定义反射用户集和透射用户集分别为 K r = { 1 , ⋯ , K r } \mathcal{K}^r = \{1, \cdots, K^r\} Kr={1,⋯,Kr}和 K t = { K r + 1 , ⋯ , K r + K t } \mathcal{K}^t = \{K^r + 1, \cdots, K^r + K^t\} Kt={Kr+1,⋯,Kr+Kt}，则第$l$个用户接收到的信号为：

$$y_l=\{\begin{array}{ll}{\sum }_{i=1}^{K^r+K^t}\left({\mathbf{h}}_l^T\text{diag}({\mathbf{v}}^r)\mathbf{G}+{\mathbf{d}}_l^T\right){\mathbf{w}}_i{s}_i+n_l,& l\in {\mathcal{K}}^r\\ {\sum }_{i=1}^{K^r+K^t}\left({\mathbf{h}}_l^T\text{diag}({\mathbf{v}}^t)\mathbf{G}+{\mathbf{d}}_l^T\right){\mathbf{w}}_i{s}_i+n_l,& l\in {\mathcal{K}}^t\end{array}$$

其中$\mathbf{G}\in {\mathbb{C}}^{M\times N}$和${\mathbf{h}}_l\in {\mathbb{C}}^{M\times 1}$分别是基站到STAR-RIS的信道和STAR-RIS到第$l$个用户的信道。${\mathbf{d}}_l\in {\mathbb{C}}^{N\times 1}$是基站到第$l$个用户的直达链路信道，而$n_l\in \mathbb{C}$是均值为零、方差为${\sigma }_l^2$的高斯噪声。

在本节中，我们考虑下行链路的和速率最大化问题。由于不同用户的信息符号与噪声之间互不相关，整个系统的和速率为[23]：

$$\begin{array}{rl}& \mathcal{R}\left(\mathbf{w},{\mathbf{v}}^t,{\mathbf{v}}^r,{\lambda }^t,{\lambda }^r\right)\\ & ={\lambda }^r\sum _{l=1}^{K^r}\log \left(1+\frac{{\left|{\mathbf{a}}_l^T{\mathbf{w}}_l\right|}^2/{\lambda }^r}{{\sum }_{i=1,\ne l}^{K^r+K^t}{\left|{\mathbf{a}}_l^T{\mathbf{w}}_i\right|}^2/{\lambda }^r+{\sigma }_l^2}\right)\\ & +{\lambda }^t\sum _{l=K^r+1}^{K^r+K^t}\log \left(1+\frac{{\left|{\mathbf{a}}_l^T{\mathbf{w}}_l\right|}^2/{\lambda }^t}{{\sum }_{i=1,\ne l}^{K^r+K^t}{\left|{\mathbf{a}}_l^T{\mathbf{w}}_i\right|}^2/{\lambda }^t+{\sigma }_l^2}\right),\end{array}\text{\hspace{1em}(9)}$$

在(9)中，波束成形向量集合$\mathbf{w}$和RIS系数${\mathbf{v}}^t,{\mathbf{v}}^r$在分子和分母中非线性耦合。此外，存在多个数据速率的求和，这使得该目标函数难以处理。如果只有一个用户，优化数据速率等价于最大化信号干扰加噪声比（SINR），因此可以采用二次变换[47]来处理该单个分式。另一方面，由于存在多个用户，我们需要为(9)的情况使用如下等效的和速率函数。

$$\begin{array}{rl}{\mathcal{F}}_1\left(\mathbf{w},\mathbf{\rho },\mathbf{x},{\mathbf{v}}^t,{\mathbf{v}}^r,{\lambda }^t,{\lambda }^r\right)=& {\lambda }^r\sum _{l=1}^{K^r}\left[\log \left(1+{\rho }_l\right)-{\rho }_l\right]+{\lambda }^t\sum _{l=K^r+1}^{K^r+K^t}\left[\log \left(1+{\rho }_l\right)-{\rho }_l\right]\\ & +{\lambda }^r\sum _{l=1}^{K^r}\left\{2\left(1+{\rho }_l\right)\mathrm{Re}\left[\overline{x_l}{\mathbf{a}}_l^T{\mathbf{w}}_l\right]-\left(1+{\rho }_l\right){\left|x_l\right|}^2\left(\sum _{i=1}^{K^r+K^t}{\left|{\mathbf{a}}_l^T{\mathbf{w}}_i\right|}^2+{\lambda }^r{\sigma }_l^2\right)\right\}\\ & +{\lambda }^t\sum _{l=K^r+1}^{K^r+K^t}\left\{2\left(1+{\rho }_l\right)\mathrm{Re}\left[\overline{x_l}{\mathbf{a}}_l^T{\mathbf{w}}_l\right]-\left(1+{\rho }_l\right){\left|x_l\right|}^2\left(\sum _{i=1}^{K^r+K^t}{\left|{\mathbf{a}}_l^T{\mathbf{w}}_i\right|}^2+{\lambda }^t{\sigma }_l^2\right)\right\},\end{array}\text{\hspace{1em}(10)}$$

证明引理3
首先，为了处理(9)中的分数形式的对数求和目标函数，引入了闭合形式的分数规划(FP)方法[47], [64]，该方法包含两个关键步骤。

1. 拉格朗日对偶变换：对数函数可以通过辅助变量$\rho$表示为：
   $$\log (1+\gamma )=\underset{\rho }{\max }\log (1+\rho )-\rho +\frac{(1+\rho )\gamma }{1+\gamma },(48)$$
   where the optimal solution occurs at $\rho =\gamma$. Based on (48),the objective function (9) can be written as
   $$\begin{array}{rl}& \mathcal{R}\left(\mathbf{w},{\mathbf{v}}^t,{\mathbf{v}}^r,{\lambda }^t,{\lambda }^r\right)=\\ & \underset{\rho }{\max }{\lambda }^r\sum _{l=1}^{K^r}\log \left(1+{\rho }_l\right)-{\rho }_l+\frac{(1+{\rho }_l){\left|{\mathbf{a}}_l^T{\mathbf{w}}_l\right|}^2}{{\sum }_{i=1}^{K^r+K^t}{\left|{\mathbf{a}}_l^T{\mathbf{w}}_i\right|}^2+{\lambda }^r{\sigma }_l^2}\\ & \begin{array}{rl}& +{\lambda }^t\sum _{l=K^r+1}^{K^r+K^t}\log \left(1+{\rho }_l\right)-{\rho }_l+\frac{(1+{\rho }_l){\left|{\mathbf{a}}_l^T{\mathbf{w}}_l\right|}^2}{{\sum }_{i=1}^{K^r+K^t}{\left|{\mathbf{a}}_l^T{\mathbf{w}}_i\right|}^2+{\lambda }^t{\sigma }_l^2}.\end{array}\end{array}\text{\hspace{1em}(49)}$$第二步是处理(49)中的分式项。
2. 二次变换：通过引入辅助变量 $x$，以下方程成立：
   ∣ A ( u ) ∣ 2 B ( u ) = 2 Re { x ˉ A ( u ) } − ∣ x ∣ 2 B ( u ) . ( 50 ) \frac{|A(\boldsymbol u)|^2}{B(\boldsymbol u)} = 2\text{Re} \left\{\bar{x} A(\boldsymbol u)\right\} - |x|^2 B(\boldsymbol u). \qquad (50) B(u)∣A(u)∣2​=2Re{xˉA(u)}−∣x∣2B(u).(50)
   令$x=\frac{A(\mathbf{u})}{B(\mathbf{u})}$可以证明其是相等的。利用(50)中的变换，(49)可转化为：
   $$\mathcal{R}\left(\mathbf{w},{\mathbf{v}}^t,{\mathbf{v}}^r,{\lambda }^t,{\lambda }^r\right)=\underset{\rho ,x}{\max }{\mathcal{F}}_1\left(\mathbf{w},\rho ,x,{\mathbf{v}}^t,{\mathbf{v}}^r,{\lambda }^t,{\lambda }^r\right),(51)$$
   其中${\mathcal{F}}_1$在(10)中定义。
   
   
   注意到此处给出的公式和原本的FP论文给出的不一致，但我觉得此公式非常有用，$x$可以是复数的形式。

A. 优化 $x,\rho ,\mathbf{w},{\lambda }^t$ 和 ${\lambda }^r$

在块坐标下降 (BCD) 方法下，关于辅助变量 ( x, \rho )、波束形成向量 ( \mathbf{w} ) 和时间分配变量 ({ \lambda^t, \lambda^r }) 的子问题是凸优化问题，因此相对容易处理。

优化辅助变量 ( x )

注意到 (\mathcal{F}1) 是关于 ( \mathbf{x} ) 的凸函数，其中每个元素 ({x_l}{l=1}^{Kr + K^t}) 是可分离的，我们对 (\mathcal{F}_1) 关于每个 ( x_l ) 求导并令其为零，得到如下最优解：

$$\begin{array}{r}{x}_l=\{\begin{array}{l}\frac{{\mathbf{a}}_l^T{\mathbf{w}}_l}{{\Sigma }_{i=1}^{K^r+K^t}{|{\mathbf{a}}_l^T{\mathbf{w}}_i|}^2+{\lambda }^r{\sigma }_l^2},l\in {\mathcal{K}}^r,\\ \frac{{\mathbf{a}}_l^T{\mathbf{w}}_l}{{\Sigma }_{i=1}^{K^r+K^t}{|{\mathbf{a}}_l^T{\mathbf{w}}_i|}^2+{\lambda }^t{\sigma }_l^2},l\in {\mathcal{K}}^t.\end{array}\end{array}\text{\hspace{1em}(12)}$$

注意一下这里毕竟坑的一点，实际上是对 $x_l^{\star }$ 求导，而不是对 $x_l$ 求导

优化辅助变量 ( \rho )

由于 (\rho) 中的每个元素也是可分离的，我们对 (\mathcal{F}_1) 关于每个 (\rho_l \ (l = 1,2,…, K^r+Kt)) 求导并令其为零，得到如下结果：

$${\rho }_l=\{\begin{array}{ll}\frac{|{\mathbf{a}}_l^T{\mathbf{w}}_l{|}^2}{{\sum }_{i=1,i\ne l}^{K^r+K^t}|{\mathbf{a}}_l^T{\mathbf{w}}_i{|}^2+{\lambda }^r{\sigma }_l^2},& l\in {\mathcal{K}}^r\\ \frac{|{\mathbf{a}}_l^T{\mathbf{w}}_l{|}^2}{{\sum }_{i=1,i\ne l}^{K^r+K^t}|{\mathbf{a}}_l^T{\mathbf{w}}_i{|}^2+{\lambda }^t{\sigma }_l^2},& l\in {\mathcal{K}}^t\end{array}\text{\hspace{1em}(13)}$$

---

优化波束形成向量 ( \mathbf{w} )

考虑与 ( \mathbf{w} ) 相关的部分（如式(11)），关于 ( \mathbf{w} ) 的子问题为：

目标函数：

$$\underset{\mathbf{w}}{\min }\sum _{l=1}^{K^r+K^t}\left\{{\mathbf{w}}_l^H\mathbf{\Xi }{\mathbf{w}}_l-2\mathrm{Re}\left[{\mathbf{q}}_l^H{\mathbf{w}}_l\right]\right\}\text{\hspace{1em}(14a)}$$

约束条件：

$$\sum _{l=1}^{K^r+K^t}{\mathbf{w}}_l^H{\mathbf{w}}_l\le P_{BS}.\text{\hspace{1em}(14b)}$$

V. SIMULATION RESULTS AND DISCUSSIO

在本部分中，我们通过仿真评估下行链路的总速率传输性能。所有问题实例均在Windows x64桌面平台上使用Matlab-R2023a进行仿真，硬件配置为2.8 GHz CPU和16 GB RAM。仿真结果通过对100次仿真试验的平均值获得。仿真中使用了并行处理指数$P=4$。

在仿真设置中，基站（BS）和STAR-RIS分别位于坐标$(0,20\text{m})$和$(40\text{m},0)$。STAR-RIS沿$y$轴放置并垂直于地面。反射和透射用户在距离STAR-RIS两侧8米范围内均匀分布。参数 { G , h l , d l } \{G, h_l, d_l\} {G,hl​,dl​}被建模为Rician衰落信道，包含视距（LoS）和非视距（NLoS）分量[50]。以$h_l$为例，Rician衰落信道模型为：

$$h_l=\sqrt{\frac{\nu h_l}{{\kappa }_h+1}}\left(\sqrt{{\kappa }_h}{h}_l^{\text{LoS}}+h_l^{\text{NLoS}}\right)$$

其中每个参数的具体定义如下：

1. 路径损耗参数
   $\nu h_l=L_0{\left(\frac{d_{hl}}{d_0}\right)}^{-{\alpha }_h}$表示从RIS到第$l$个用户的距离相关路径损耗，其中$L_0=-30\text{dB}$表示参考距离$d_0=1\text{m}$处的路径损耗，$d_{hl}$是STAR-RIS与第$l$个用户之间的距离，${\alpha }_h=2.2$为RIS-用户链路的路径损耗指数。相应地，BS-RIS链路和BS-用户链路的路径损耗指数分别为2.2和3.6。

2. Rician因子
   ${\kappa }_h$为RIS-用户链路的Rician因子，较高的Rician因子表示较强的LoS分量。当Rician因子为0时，表明不存在LoS信号，信道简化为Rayleigh衰落。在仿真中，RIS-用户链路的Rician因子${\kappa }_h$设定为5，相应地，BS-RIS链路和BS-用户链路的Rician因子分别为5和0。

3. LoS分量
   $h_l^{\text{LoS}}$建模为阵列响应的导向矢量，其第$m$个元素为：
   $$h_l^{\text{LoS}}[m]=e^{j2\pi (m-1)d_A\sin (\omega )/\lambda }$$
   其中，$\omega$表示到达角（AoA）或离开角（AoD）。在仿真中，设$d_A/\lambda =1/2$，且$\omega$在$[0,2\pi )$范围内均匀分布。而$h_l^{\text{NLoS}}$表示NLoS分量信号，其每个元素服从归一化复高斯分布。

为了避免重复描述图例中的参数，$(M,N,K_r,K_t,L,P_{BS},{\sigma }_l^2)$的设置详见各图的图例说明。

在实现过程中，采用指数增长的$\gamma$更新方式：$\gamma \leftarrow \gamma \times 1.2$，这是现有涉及惩罚方法的研究中广泛采用的[51]-[54]。惩罚参数不断增加，直至交替优化中的$v_t,v_r$与${\varphi }_t,{\varphi }_r$的差距低于预定义的容差范围。已知只要惩罚参数在每次迭代中的增长幅度保持在适度范围内，性能将保持不变。 仿真结果如图4(a)和4(b)所示，分别对应于ES STAR-RIS和MS STAR-RIS。

图5比较了八种STAR-RIS的总速率性能，采用了提出的通用优化框架。首先可以看到，额外的离散相位约束仅略微降低了网络吞吐量（ES的两离散相位约束下降2.94%，MS和TS分别下降6.16%和8.31%），这与文献[55]中的结论不同。文献[55]认为稀疏相位（少于8相位）会显著影响性能，原因在于[55]的结论基于从连续相位解到最近离散相位的量化。在允许的离散相位数极少（例如仿真中仅允许2个相位）的情况下，连续相位与最近离散值差异很大。由于量化是独立应用于每个RIS单元的，与连续优化解相比，累积性能退化将非常显著。相比之下，本文提出的算法中辅助变量${\varphi }_t,{\varphi }_r$仅受到相位约束的影响，这可以被视为对$v_t,v_r$的相位校正，而不仅仅是相位约束的直接作用。通过本文提出的统一惩罚框架，首次揭示了这一洞见，并提供了便于比较的方式。

与直接将$v_t,v_r$量化为${\varphi }_t,{\varphi }_r$不同，本文引入了惩罚项来实现间接量化，这为$v$和$\varphi$在搜索更优解时提供了更大的自由度。这种方式避免了显著的性能损失，表明量化是导致性能退化的更重要因素，而不是离散相位本身。

其次，需要注意的是，MS和TS模式中的离散相位约束导致的性能损失比ES模式更明显。这可能是因为MS和TS STAR-RIS系数上额外施加了约束条件(1c)。在没有幅度约束的情况下，ES STAR-RIS可以通过优化幅度来弥补离散相位约束带来的损失。

第三（Thirdly），从图5的放大部分可以观察到，与非耦合相位情况相比，STAR-RIS中连续耦合相位约束（continuous coupled-phase constraint）对系统吞吐量几乎没有影响（仅0.89%的损失），这一结果与文献[20]的结论一致。相反，在MS模式下，由0-1幅度约束引入的吞吐量下降更加明显。这一洞见首次被揭示，这是因为提出的统一惩罚框架使得比较更加容易。

图6(a)和6(b)聚焦于具有耦合相位的ES STAR-RIS（即表1中的案例7和8），比较了本文提出的算法与以下算法的收敛性能：逐元素交替优化算法（elementwise-AO）[19]、耦合相位STAR-RIS框架（CP框架）[20]以及基于惩罚的保密波束成形算法（PSB算法）[34]。虽然原始PSB算法是为保密总速率设计的，但我们可以对其进行修改以处理总速率最大化问题。

对于图6(a)中的连续耦合相位情况，本文提出的算法在最短的执行时间内收敛到最高的总速率。相比之下，PSB算法和CP框架的性能略逊一筹，而逐元素交替优化（elementwise-AO）的表现最差。如命题1（第二节B部分）之前所述，CP框架和PSB算法所需的惩罚权重比本文提出的算法更大，从而减缓了它们的收敛速度。另一方面，逐元素交替优化需要在STAR-RIS逐元素级别上求解非凸子问题，这些问题通过SCA和CVX解决，因此计算量非常大。

为了进一步说明本文提出的算法和对比算法的复杂性，表3总结了各种算法的复杂度，其中$I_{AO}$表示交替优化（AO）迭代次数。注意，本文框架中的$\varsigma$为二分搜索的精度。从表3可以看出，忽略所有方法共有的项后，本文框架的复杂度在每次迭代中与$M$呈线性关系，即$O(M)$。相比之下，CP框架和PSB算法在每次迭代中的复杂度至少为$O(M^2)$。

由于STAR-RIS的单元数量$M$通常大于基站天线数量$N$以及用户数量$K^r$和$K^t$，CP框架和PSB算法的复杂度会远高于本文提出的框架。虽然逐元素交替优化（elementwise AO）算法没有外部惩罚循环，其复杂度包含$I_{AO}\cdot O(M^{3.5})$项，这显著降低了其整体执行速度。

由于本文方法在每次迭代中的复杂度较低，如图6(a)所示，与CP框架和PSB算法相比，本文算法将计算时间减少了近10倍；与逐元素交替优化算法相比，计算时间减少了近100倍。需要注意的是，由于CP框架、PSB算法和本文提出的算法引入了惩罚项，总速率可能不会随着迭代次数单调增加，因为单调性仅适用于包含惩罚项的目标函数。