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考研数学【线性代数基础box（数二）】

news 来源：原创 2025/6/18 21:03:07

本文是对数学二线性代数基础进行总结，一些及极其简单的被省略了，代数的概念稀碎，不如高数关联性高，所以本文仅供参考，做题请从中筛选！

本文为初稿，后面会根据刷题和自己的理解继续更新

高数：考研数学【高数基础box（数二）】-CSDN博客

第一章：行列式：

基本概念：

link:

求n阶行列式: $\sum _{j_{1}j_{2}...j_{n}} (-1)^{r(j_{1}j_{2}...j_{n})}a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}...a_{n j_{n}}$
余子式： $a_{ij}$ 的余子式 $M_{ij}$ 是除去i行、j列的其余项组成的行列式
代数余子式： $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$
按某行展开： $|A|=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in}$ ,元素乘其代数余子式，然后相加

记：

行列互换值不变
若某行元素全为0，行列式为0
k*行列式=对行列式的一行都乘k倍
某行元素是两个数之和，可以拆成两个行列式之和
行列式两行互换，行列式变号
行列式中某行的k倍加到另一行，行列式不变

重要行列式：

link:

主对角线行列式：无论上下都是主对角线的乘积（这个概念对于分块矩阵也成立，称为拉普拉斯展开式）
副对角线行列式 $(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}*$ 副对角线元素的乘积（分块阵： $(-1)^{mn}|A||B|$ ,AB为副对角线行列式乘积，m、n分别为A、B的阶数）
范德蒙德行列式：形如的行列式，其值为：

行列式计算：

link:

爪型行列式：利用斜爪消去竖爪或者横爪。然后展开
递推法：找规律，适用与宽对角类型的行列式行列式递推法1_哔哩哔哩_bilibili
抽象型行列式：性质、|AB|=|A||B|、将行列式拆分成两个行列式的乘积
余子式和代数余子式的线性组合：行列式按行（或按列）展开的“逆过程”。如：给|A|，和代数余子式的线性组合，把线性组合的系数换掉其按行展开的行，求出行列式就是代数余子式的和
求解n元非齐次方程组：克拉默法则：非齐次线性方程组的行列式（行列式不带等号右边的常数项），若不等于0，则方程组存在唯一解且解为 $x_{i}\frac{D_{i}}{D},i=1,2,3,...,n$ ， $D_{i}$ 是常数项（等号右边的值 $b_{i}$ ）替换第i列得到的行列式。

第二章：矩阵：

矩阵基本运算：

link：

不满足交换律 $AB\neq BA$
加法：每项相加；数乘：每项都乘
转置矩阵的性质： $(A^{T})^{T}=A,,,(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T},,,(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$ $|kA|=k^{n}|A|,,,|A+B|\neq |A|+|B|,,,|AB|=|A||B|,,,|A^{T}|=|A|$ 相当重要

特殊矩阵：

link：

数量矩阵：k倍的单位矩阵
对称矩阵：满足条件 $A^{T}=A$ 的矩阵称为对称矩阵
反对称矩阵：满足条件 $A^{T}=-A$ ，对角线为0， $a_{ij}=-a_{ji}$
分块矩阵：比较特殊的就是分块矩阵的n次幂 $\begin{bmatrix} A & O\\ O & B \end{bmatrix}^{n}=\begin{bmatrix} A^{n} & O\\ O & B^{n} \end{bmatrix}$ 、求逆： $\begin{bmatrix} A & O\\ O & B \end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix} A^{-1} & O\\ O & B^{-1} \end{bmatrix}$ 、 $\begin{bmatrix} O & A\\ B & O \end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix} O & B^{-1}\\ A^{-1} & O \end{bmatrix}$
正交矩阵： $A^{T}A=E<=>A^{T}=A^{-1}<=>$ A的行（列）向量是规范正交基（正交的长度为单位1的向量）。

矩阵的逆

link：

本质：定义：AB=BA=E，则B为A的逆
可逆的充要条件是： $|A|\neq 0$
$(A^{-1})^{-1}=A$ ，可以把-1理解成负一次方： $(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}$ ，或者就是，把A做的变换反向变回去
重要性质： $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ 、 $(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}$ 、 $|A^{-1}|=|A|^{-1}=\frac{1}{|A|}$
求逆矩阵：定义法（AB=BA=E， $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ ）、用伴随矩阵、初等变换求逆矩阵

伴随矩阵

link:

本质:定义:由A的代数余子式构成的矩阵
$AA^{*}=A^{*}A=|A|E$ 、 $|A^{*}|=|A|^{n-1}$ 、 $|A^{T}|^{*}=(A^{*})^{T}$ 、 $(A^{-1})^{*}=(A^{*})^{-1}$ $(AB)^{*}=B^{*}A^{*}$ 、 $(A^{*})^{*}=|A|^{n-2}A$
求逆矩阵的公式： $A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^{*}$
求伴随矩阵：定义法、用逆矩阵求伴随

初等矩阵：

link:

本质：对另一个矩阵进行初等变换，初等变换包括：数乘、互换、倍加
初等矩阵都可逆，逆矩阵也为初等矩阵（后面可以看一下初等变换逆前后对另一个矩阵的影响的变化）
可逆矩阵可表示为有限个初等矩阵的乘积。
对A作初等行变换，相当于左乘初等矩阵，列则是右。
初等变换求逆矩阵 $[A\vdots E]\rightarrow [E\vdots A^{-1}]$

矩阵方程：

$AX=B,X=A^{-1}B$ ,类似可自行推理

等价矩阵和等价标准型：

$PAQ=B$ ，P、Q为初等矩阵，也就是说，A通过初等变换可以变成B，则A和B等价。将其化为 $\begin{bmatrix} E_{r} & O\\ O& O \end{bmatrix}$ ,r为矩阵的秩。这个矩阵为等价标准型。
求可逆矩阵P：1、单个，把A化到B的过程每次行变换的矩阵相乘即可。2、求所有的可逆矩阵P：第四讲方程组求解再来看？？？？

矩阵的秩：

本质：定义：存在k阶子式子不为0，任意k+1阶子式全为0，矩阵的秩r(A)=k。
k是A的线性无关向量的个数；k个线性无关的向量，任意k+1个向量线性相关。
如何理解线性相关和线性无关：线性无关的向量撑起“整个空间”，线性相关的则是由这些线性无关向量表示，“躺平”在这个空间里。
重要式子： $0<r(A)<min{m,n}$ 、 $r(kA)=r(A)$ 、 $r(AB)\leq min ( r(A),r(B))$ 、 $r(A+B)\leq r(A)+r(B)$ 、 $r(A^{*})==\left\{\begin{matrix} n,&r(A)=n \\ 1,& r(A)=n-1\\ 0,& r(A)=n-1 \end{matrix}\right.$ 、 $r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)$ 、 $A_{m*n}B_{n*s}=r(A)+r(B)\leq n$ 、 $r(A)=r(A^{T})=r(A^{T}A)=r(AA^{T})$

第三章：向量组：

link:

正交向量： $\alpha ^{T}\beta =0$ ,本质是垂直向量
向量的模： $||\alpha ||=\sqrt{\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}}$ ,二维向量为例好记
标准正交基：本质就是相互垂直的单位向量组
线性无关：向量组中的每个向量都是“基础”的，它们独立存在，没有多余的部分
线性相关：向量组中有一些向量是“多余的”，可以由其他向量通过线性组合得到（存在不全为0的数，使 $k_{1} \alpha_{1}+k_{2} \alpha_{2}+...+k_{n} \alpha_{n}=0$ 成立，其中k为0的就是多余的向量）

线性相关、线性无关

link：

判定线性相关的定理：

线性相关<=>向量组中，至少有一个向量可由其余的向量线性表示。（本质是存在非0的k），逆否命题：线性无关<=>向量中任何向量都不能由其余向量表示（本质不存在非0的k）
向量组a线性无关，a加一个向量 $\beta$ 后线性相关，则 $\beta$ 可由向量组a线性表示且唯一。（本质是引入了冗余向量）
大向量组b可由小a线性表示（大小体现在列），则向量组b线性相关。（本质：b 中所有向量实际上都“依赖”于 a）
m（m列）个n（行）维向量组线性相关<=>其所构成的齐次线性方程组=0，有非零解<=>构成的矩阵的秩<m（列数）（本质：把方程列出来化简之后就是线性相关的定义，若有非零解就是k不全为0；m-秩=自由度，存在自由度，使方程=0）等价就是：线性无关充要条件是齐次方程组只有零解
$\beta$ 可由向量组a表示<=>非齐次线性方程组= $\beta$ 有解<=>r([a, $\beta$ ])=r([a]) （本质： $\beta$ 在a的空间内，可由a表示）
如果向量组a一部分线性相关，则整个向量组线性相关，（小部分就能概括整个空间，则其余的都是多余向量）逆否命题：如果a向量无关，则任何一部分向量组都线性无关。
如果n维向量组a线性无关，则向量组添加m个分量得到的向量组(m+n)维也是线性无关。（添加的分量，是独立的信息，没有引入与原来a线性相关的冗余）逆否命题：a线性相关，去掉若干分类后也是线性相关。
总结：判断能不能线性表示，就看添加后是否多一维（秩），如果向量为撑起空间的向量，则不能被线性表示，如果向量不是撑起空间的向量，则可以被线性表示

记：

自由度：就是对秩展成的空间的约束

极大线性无关组

link:

本质：向量组中撑起空间的那几个向量的集合
求极大线性无关组用进行初等行变换，找出和矩阵秩相同的子矩阵就是（不唯一）
也就是说，求极大线性无关组可以作为空间的基向量，表示其他向量。那怎么表示其他向量呢：用矩阵乘法，基向量*倍数矩阵。

等价向量组：

link：

本质：两个向量组可以相互线性表示（同一个空间中的同一个子空间，只是使用的基向量不同），记为 $A\cong B$
等价向量组有传递性、对称性
若 $A\cong B$ <=>r(a)=r(B)=r(A,B)（三秩相同）

向量组的秩：

link:

三秩相等：r(A)=A的行秩=A的列秩
等价向量组=>秩相等
对A进行初等行变换后变为B，A、B的行向量是等价向量组
向量组A、B，若A中向的向量均可由B线性表示，则r(A)<=r(B)（A 的向量组实际上“依赖于” B 的向量组，说明 A 张成的子空间是 B 张成空间的子空间）
r(A+B)<=r(A,B)<=r(A)+r(B)

第四章：线性方程组：

齐次线性方程组：

r(A)=n，n为未知数的数量，此时有唯一0解，（此时，向量组为线性无关，只有x全为0的时候成立）
r(A)=r<n，有非零解（无穷多个），且有n-r个线性无关解（自由度）（基础空间r+约束(自由度)=总维度n，）。
求解方法：1、行变换化为行阶梯型矩阵（方便看秩）。2、找出一个秩为r的子矩阵，其余位置为自由变量（明确自由变量）。3、设基础解系个数为n-r。4、设解中自由变量的位置为任意值（方便解题就行，一般是0或1），然后用A的每非0行和基础解系相乘，求出基础解系所有项。5、k*基础解系然后相加即可。
基础解系的理解：秩组成了基本的空间，如三维，自由项就是在三维上开辟一个二维的子空间（通过原点的线性子空间），这个子空间由基础解系描述

非齐次线性方程组：

$AX=B,\begin{bmatrix} A \vdots B \end{bmatrix}$ 为A的增广矩阵。
$r(A)\neq r([A\vdots B])$ ,方程无解（说明增广矩阵引入了新的独立方向，B不在A的空间内）
$r(A)= r([A\vdots B])=n$ 方程有唯一解（B在A内，没有自由项，所以解空间被完全限制，只要一个）
$r(A)= r([A\vdots B])=r<n$ ,方程有无穷多解
基础解系的理解：与非齐次的相同，但其描述的是偏移的线性子空间，与一阶的通过原点的不同。
求解方法：1、求出齐次方程通解，2、求出特解（设一个特解，在增广矩阵中选出秩相同的子矩阵，令自由变量全为0，带入行求出其他值）3、解=通解+特解。或者使用下面的解法：非齐次线性方程组求通解_哔哩哔哩_bilibili

公共解：

A与B的公共解： $\begin{bmatrix} A\\ B \end{bmatrix}x=0$ ，其实就是求通解的公共部分

同解方程组：

A与B有完全相同的解
$r(A)=r(B)=r(\begin{bmatrix} A\\ B \end{bmatrix})$ （三秩相同）

第五章：特征值与特征向量

矩阵的特征值和特征向量：

link：

本质：矩阵A对这个特殊的向量的变换就是λ，而这个特殊的向量就是特征向量
$(\lambda E-A)\xi =0$ ， $\lambda$ 为特征值<=>方程有非零解<=>所以 $|\lambda E-A|=0$ （这个叫做特征方程，可求出 $\lambda$ 的n个解）。（求这个 $\lambda$ 需要做多项式除法）
若 $\lambda_{1} \lambda_{2}... \lambda_{n}$ 为A的n个特征值， $|A|=\lambda_{1} \lambda_{2}... \lambda_{n}$ ， $tr(A)=\lambda_{1}+ \lambda_{2}+...+\lambda_{n}$
$\xi$ 是A的属于 $\lambda _{0}$ 的特征向量<=> $\xi$ 是 $(\lambda E-A)x =0$ 的解
k重特征值 $\lambda _{0}$ 至多只有k个线性无关的特征向量（k重特征值，是A对多个不同的k个特征向量有相同的作用效果）（特征值的“重数”表示矩阵 A 对某些方向（特征向量）的作用是重复的，但这些方向独立的最大数量（几何自由度）由重数 k 限制）其实跟没说一样，就是说当k个重复特征值的时候，仍可以有k个线性无关向量，只是提供一个上限，提示一下比k少的可以有。
若n个特征向量是A的属于不同特征值的特征向量，则这n个特征向量线性无关（线性相关的特征向量，A的特征值一定相同，而线性无关的可以相同也可以不同）
若 $\xi _{1},\xi _{2}$ 为A的属于同一（不同）特征值 $\lambda$ 的特征向量，则 $k_{1}\xi _{1}+k_{2}\xi _{2}$ 仍是（不是）A的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量（线性子空间的任意线性组合仍然属于这个子空间）
常规矩阵的特征值和特征向量

相似矩阵：

link:

$P^{-1}AP=B$ ,则AB相似记为A~B，这个相似有传递性
相似矩阵的必要性：|A|=|B|、r(A)=r(B)、tr(A)=tr(B)、 $\lambda _{A}=\lambda _{B}$ 、 $r(\lambda E-A)=r(\lambda E-B)$ 、A，B的各阶主子式之和分别相等
A~B则 $f(A)\sim f(B)$ 、 $A^{-1}\sim B^{-1},f(A^{-1})\sim f(B^{-1})$ 、 $A^{*}\sim B^{*}$ 。以上结论A到B的手段与其变化后A到B的手段相同； $A^{T}\sim B^{T}$ 。
若A~C，B~D则 $\begin{bmatrix} A &O \\ O&B \end{bmatrix}\sim \begin{bmatrix} C &O \\ O&D \end{bmatrix}$
如何求相似：定义、传递性、必要性反正不相似

相似对角化：

本质： $P^{-1}AP=\Lambda$ , $\Lambda$ 为对角矩阵，则A可相似对角化， $\Lambda$ 是A的相似标准型
可相似对角化的充要条件：n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量。（A对应每个k重特征值都有k个线性无关的特征向量）
可相似对角化的充分条件：n阶矩阵有n个不同的特征值；n阶矩阵为实对称矩阵（满秩）
计算：
通过求特征值的方式求得对角矩阵，然后根据A和 $\Lambda$ 求P
求可逆阵P：1、求特征值，2、求特征向量，3、把向量按列排就是P
由特征值、特征向量反推A： $A=P\Lambda P^{-1}$
可能会遇到求A的高次方，或其他形式，可以化为对角矩阵，然后再化回去。

实对称矩阵的相似对角化：

link:

对称阵A的不同特征值的特征向量相互正交
利用 $P^{T}=P^{-1}$ 的性质推出： $Q^{T}AQ=Q^{-1}AQ=\begin{bmatrix} \lambda _{1}& & \\ & \lambda _{2}...& \\ & & \lambda _{n} \end{bmatrix}$
求实对称矩阵的相似对角化的基本步骤是：1、求特征值，2、求特征向量，3、将特征向量正交化（why:因为要求正交矩阵Q），4、按列排就是Q
施密特正交化公式（将非正交积化为正交积）：

第六章：二次型：

二次型的定义：

link:

本质：就是个二元齐次多项式f(x)，写成的形式，用矩阵A表示。A为f(x)的二次型矩阵。

合同变换：

link:

本质：把x换成y，把一个二次型（ $f(x)=x^{T}Ax$ ）通过线性变换化为另一个二次型( $g(x)=y^{T}By$ )，A和B的关系 .若存在可逆矩阵C使 $C^{T}AC=B$ 。则 $A\simeq B$ 。（从表达式A表示，到表达式B表示（换系））
合同必等价、对称矩阵合同也是对称矩阵
合同标准型：没有交叉项，只有平方项
规范型：把标准型的系数都化为1,0,-1
定理：1、任何实对称矩阵A(任何二次型)，必存在可逆矩阵C，使得： $C^{T}AC=\Lambda$ （对角阵，且为规范型）2、扩展到正交变换Q， $Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=\Lambda$ 。
惯性定理：正系数（正惯性指数）和负系数（负惯性指数）的个数是不变的。合同变换下的不变量就是惯性指数（特别注意，惯性指数往往和特征向量相关2016）
秩r=正惯性指数+负惯性指数
合同的充要条件：有相同的正负惯性指数；
在对称条件下，相似一定合同
合同和相似的区别：？？
配方法化二次型：1、把二次型化成 $(x_{1}+x_{2}+..)^{2}+...(x_{a}+x_{b}+...)^{2}$ 的形式，2、令y1,y2,y3等于平方项内的x的和，3、解出x=y1+...，也就是x=Cy，4、然后换元带入，把二次型变为y的标准型，5、求出|C|不为0则可以做可逆线性变换。

正定二次型：

正定二次型<=> $x^{T}Ax>0$ <=>正惯性指数p=n<=>存在可逆矩阵D， $A=D^{T}D$ <=>A=E<=>A的特征值全部>0<=>A的全部顺序主子式均大于0
顺序主子式：看图
二次型正定的必要条件：系数都大于0；|A|>0

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编程日记 2025/5/31 18:12:11

Java-08

类的抽象是将类的实现和使用分离, 而类的封装是将实现的细节封装起来并且对用户隐藏,用户只需会用就行。类的合约指的是从类外可以访问的方法和数据域的集合以及与其这些成员如何行为的描述 isAlive()方法的返回值类型为布尔型（Boolean）。这个方法用于…...

编程日记 2025/6/4 6:44:06

四轴用的无刷电机到底是属于直流电机还是交流电机？

四轴用的无刷电机因其高效、稳定、体积小巧等特点，成为了广泛应用的动力系统之一。尽管其名称中包含“直流”二字，但无刷电机到底是属于直流电机还是交流电机，这一问题常常引发人们的探讨与困惑。一、无刷电机的工作原理首先，…...

编程日记 2025/6/3 3:32:53

Redis中的Hot key排查和解决思路

什么是Hot key Hot key其实就是被频繁访问的key，比普通的key访问量要高于十倍或者几十倍不等。例如： QPS集中在特定的Key：实例的总QPS（每秒查询率）为10,000，而其中一个Key的每秒访问量达到了7,000。带宽使…...

编程日记 2025/6/3 21:00:33

CMake 保姆级教程（上）

整理自视频【CMake 保姆级教程【C/C】】 https://www.bilibili.com/video/BV14s4y1g7Zj/?p5&share_sourcecopy_web&vd_source6eb8f46d194c5ef9f89d3331f623a9c3 1、cmake简介源文件（.cpp / .c）要经过工具链 1.1 工具链 1、预处理&#…...

编程日记 2025/6/1 16:13:34

C++类模板的应用

template <class T> class mylist{ public: // 这是一个链表的节点 struct Link{ T val; Link* next; } 增 ：insert(T val) 在链表中创建新节点，节点上保存的数据为 val 删：remove(T val) 移除链表中数据为 val 的节点改: operator[](…...

编程日记 2025/6/3 3:14:21

Ubuntu 18.04无有线图表且无法设置有线网络

问题背景： 今天在登陆自己的虚拟机Ubuntu系统的时候突然出现有线连接无法连接的问题，有线连接的图标变为没有了，无法点击网络菜单的Setting模块选项。我的虚拟机有线网络连接方式是NAT方式。没有如下有线连接图标解决方法： …...

编程日记 2025/5/31 17:02:14

QoS分类和标记

https://zhuanlan.zhihu.com/p/160937314 1111111 分类和标记是识别每个数据包优先级的过程。这是QoS控制的第一步，应在源主机附近完成。分组通常通过其分组报头来分类。下图指定的规则仔细检查了数据包头 ： 下表列出了分类标准： 普通二…...

编程日记 2025/6/3 6:31:13

企业内训｜阅读行业产品运营实战训练营-某运营商数字娱乐公司

近日，TsingtaoAI公司为某运营商旗下数字娱乐公司组织的“阅读行业产品运营实战训练营”在杭州落下帷幕。此次训练营由TsingtaoAI资深互联网产品专家程靖主持。该公司的业务骨干——来自内容、市场、业务、产品与技术等跨部门核心岗位、拥有8-10年实战经验的中坚力量…...

编程日记 2025/6/4 16:46:32

杭州乘云联合信通院发布《云计算智能化可观测性能力成熟度模型》

原文地址：杭州乘云联合中国信通院等单位正式发布《云计算智能化可观测性能力成熟度模型》标准 2024年12月3日，由全球数字经济大会组委会主办、中国信通院承办的 2024全球数字经济大会云AI计算创新发展大会（2024 Cloud AI Compute Ignite&…...

编程日记 2025/6/2 20:55:15

SimAI万卡集群模拟器，LLM大模型训练通信计算模拟

SimAI，是阿里巴巴构建的一个统一的模拟器，旨在大规模精确有效地模拟LLM训练过程。通过将训练框架、内核计算和集体通信库有选择地高保真集成到仿真过程中，SimAI在仿真中实现了高精度。简单点来说，SimAI就是模拟，大模…...

编程日记 2025/5/29 19:48:30

Axure9设置画布固定

在使用AxureRP9设计原型时，如果遇到画布在拖动时变得难以控制，可以尝试在Windows系统中通过‘文件’>‘首选项’，或在Mac系统中通过‘AxureRP9’>‘偏好设置’进行设置，以稳定画布的行为。现象页面底层的画布&#xff0…...

编程日记 2025/5/31 2:07:25

window.getSelection() 获取划线内容并实现 dom 追随功能

功能：鼠标对一段文本中某些文字进行划线之后，需要在当前划线文本处出现一个功能按钮显示对划线内容进行操作，比如收藏、添加样本库等功能。一、需要了解的鼠标事件对象属性给 dom 元素注册鼠标事件之后，会有 event 属性&#…...

编程日记 2025/6/3 10:39:19

mybatis-plus超详细讲解

mybatis-plus （简化代码神器） 地址：https://mp.baomidou.com/ 目录 mybatis-plus 简介特性支持数据库参与贡献快速指南 1、创建数据库 mybatis_plus 2、导入相关的依赖 3、创建对应的文件夹 4、编写配置文件 5、编写代码 …...

编程日记 2025/6/3 20:40:50

浏览器可以直接请求 websocket

一、原生支持浏览器原生支持 WebSocket 协议，这使得开发者可以直接在 JavaScript 代码中使用 WebSocket 来建立与服务器的双向通信通道。 const socket new WebSocket("ws://localhost:8080");socket.addEventListener("open", function (e…...

编程日记 2025/6/2 0:19:15

* 和 .* 的区别（MATLAB）

在 MATLAB 中，* 和 .* 都是用来进行乘法操作的运算符，但它们有不同的应用场景。我们将从数学和编程的角度详细解析这两者的区别，并且讲解 MATLAB 中 . 运算符的其他常见用法。 1. * 和 .* 的区别 *：矩阵乘法（线性代数…...

编程日记 2025/5/29 21:41:39

51c视觉~合集30

我自己的原文哦~ https://blog.51cto.com/whaosoft/12059371 #SaRA 修改一行代码就能实现高效微调！上海交大&腾讯开源：兼顾原始生成和下游任务仅修改一行训练代码即可实现微调过程。文章链接：https://arxiv.org/pdf/2409.06633 …...

编程日记 2025/5/31 17:57:31

JVM虚拟机总揽

为什么 Java 要在虚拟机里运行？ 先说结论： 可以一次编译，在各个硬件平台如 Windows_x64、Linux_aarch64）都可以执行建立一个托管环境（Managed Runtime），这个托管环境能够代替我们处理一些代码…...

编程日记 2025/6/2 20:02:58

PCL点云库入门——PCL库可视化之PCLVisualizer类显示复杂点云信息等（持续更新）

1、PCLVisualizer类可视化 PCLVisualizer类作为PCL库可视化到的高级功能，不仅支持点云等数据的可视化，还提供了丰富的交互功能和自定义选项，如颜色调整、视角切换、标注添加等。用户可以通过PCLVisualizer类轻松实现复杂的数据分析和处理任务…...

编程日记 2025/6/1 6:44:42

Hugface国内镜像

问题： urllib3.exceptions.MaxRetryError: HTTPSConnectionPool(hosthuggingface.co, port443): Max retries exceeded with url: /Salesforce/blip-image-captioning-base/resolve/main/preprocessor_config.json (Caused by ProxyError(Cannot connect to proxy.,…...

编程日记 2025/6/1 22:28:04

Vue3 重置ref或者reactive属性值

需要重新定义一个对象绑定复制给原对象。实例代码: const data () > ({groupId: ,groupCode: ,groupName: ,groupType: ,});const formData ref(data());//重置对象值 const reset()>{Object.assign(formData, data()…...

编程日记 2025/5/28 14:23:00

前端的Python入门指南（完）：错误和异常处理策略及最佳实践

《前端的 Python 入门指南》系列文章： （一）：常用语法和关键字对比（二）：函数的定义、参数、作用域对比（三）：数据类型对比 - 彻底的一切皆对象实现和包装对象异…...

编程日记 2025/6/3 8:19:02

c++：std::map下标运算符的不合理使用

这是我分析之前遗留代码时发现的一个隐藏点；不过我并不认为这样使用std::map是合理的。看看简化后的代码，v1、v2的值应该是多少呢？ #include <map>std::map<int, int> cm[2];int get_cm_value(int device, int ctrl) { auto …...

编程日记 2025/6/3 19:10:34

音频数据采样入门详解 - 给Python初学者的简单解释

音频数据采样入门详解 - 给Python初学者的简单解释声音是如何变成数字的？什么是采样率？为什么要懂这个？Python小例子总结大家好！今天我们来聊一个有趣的话题：音频数据是如何在计算机中处理的。让我用最简单的方式来解…...

编程日记 2025/5/31 15:52:54

vue el-dialog实现可拖拉

el-dialog实现拖拉，每次点击度居中显示，以下贴出代码具体实现，我是可以正常拖拉并且每次度显示在中间，效果还可以，需要的可以丢上去跑跑组件部分： <el-dialog:visible.sync"dialogVisible"…...

编程日记 2025/6/1 6:44:34

iOS在项目中设置 Dev、Staging 和 Prod 三个不同的环境

在 Objective-C 项目中设置 Dev、Staging 和 Prod 三个不同的环境，并为每个环境使用不同的 Bundle ID，可以通过以下步骤实现： 步骤 1: 创建不同的 Build Configuration 打开项目： 启动 Xcode 并打开你的项目。选择项目文件&…...

编程日记 2025/5/31 10:19:50

开源实时多模态AI Agent，搭载Gemini多模态API（在线体验）

今天发现一个惊艳的开源项目，利用多模态大模型API进行多智能体交互。支持RAG、搜索等。 TEN Agent 是一款由 TEN 提供支持的对话式 AI，集成了 Gemini 2.0 Multimodal Live API、OpenAI Realtime API、RTC 等。它提供实时的看、听和说功能&#xff0…...

编程日记 2025/6/3 16:04:01

第一章：行列式：

基本概念：

重要行列式：

行列式计算：

第二章：矩阵：

矩阵基本运算：

特殊矩阵：

矩阵的逆

伴随矩阵

初等矩阵：

矩阵方程：

等价矩阵和等价标准型：

矩阵的秩：

第三章：向量组：

线性相关、线性无关

极大线性无关组

等价向量组：

向量组的秩：

第四章：线性方程组：

齐次线性方程组：

非齐次线性方程组：

公共解：

同解方程组：

第五章：特征值与特征向量

矩阵的特征值和特征向量：

相似矩阵：

相似对角化：

实对称矩阵的相似对角化：

第六章：二次型：

二次型的定义：

合同变换：

正定二次型：

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