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Kruskal最小生成树算法正确性证明

news 来源：原创 2025/6/21 3:28:25

Kruskal: 每次考虑最短一条边, 如果会形成回路则不选择该边, 如果不会形成回路则选择该边, 直到选出了n-1条边

要点: 每次都选择不会形成回路的最短边

数学归纳法

① n<=2时, 显然成立

② 设n = k时成立, 则当n = k+1时:

将图划分为子图A(k) 和 B(1)

∵ n = k时成立

∴ A(k)可以构造最小生成树, 设为T

对于子图B(1), 它与树T有若干条边

注意到:

∵ T是不含回路的, B(1)-T只选择一条边

∴ 选择 B(1)-T 的其中任意一条边都不会形成回路

如果选择B(1)-T中最短的一条边

∵ T是最小的, B(1)-T也是最小的

∴ 选出的树在全局上是最小的(且不含回路)

所以 n=k+1 时成立

这种划分更适用于Prim算法的证明

③ 从另一种角度划分, 设n=a时和 n=b 时成立, 则当n=a+b时:

将图划分为子图A(a) 和 B(b)

∵ n=a时成立

∴ A(a)可以构造最小生成树, 设为TA

同理, B(b) 可以构造最小生成树, 设为TB

TA与TB有若干条边

注意到:

∵ TA是不含回路的, TB也是不含回路的, TA-TB只选择一条边

∴ TA-TB 的其中任意一条边被选择都不会形成回路

如果选择TA-TB中最短的一条边

∵ TA是最小的, TB也是最小的, TA-TB也是最小的

∴ 选出的树在全局上是最小的(且不含回路)

所以 n=a+b 时成立

这种划分与Kruskal算法较为贴切: 每次选择不会形成回路的最短边, 就是在考虑局部的两个子树的合并, 局部最优递推出全局最优

Kruskal最小生成树算法正确性证明

Kruskal: 每次考虑最短一条边, 如果会形成回路则不选择该边, 如果不会形成回路则选择该边, 直到选出了n-1条边要点: 每次都选择不会形成回路的最短边数学归纳法 ① n<2时, 显然成立 ② 设n k时成立, 则当n k1时: 将图划分为子图A(k) 和 B(1) ∵ n k时成立 ∴ A(k)可…...

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12月11日—12日 ，中国集成电路设计业的年度盛会——ICCAD 2024在上海世博馆隆重举行。本次活动以“智慧上海，芯动世界”为主旨，汇聚了众多业界精英，共同探讨集成电路产业的未来。作为半导体测试行业领军企业，加速科技携…...

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关于源代码当前的openJDK的源代码已经被发布到了github上了，所以我们可以直接从github上下载到。 OpenJDK7u源码托管地址：https://github.com/openjdk/jdk7u 带后缀U的地址，或者发行的jdk包，表示当前版本下的持续跟新版。而他…...

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1. 认识微服务 1.1 单体架构很多创业公司早期或者传统企业会把业务的所有功能实现都打包在⼀个项⽬, 这就是单体架构. 业务的所有功能实现都打包在⼀个war包或者Jar包中, 这种⽅式就称为单体架构. 举个例子: 电商系统包括: ⽤⼾管理, 商品管理, 订单管理, ⽀付管理, 库存…...

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mvc如何给action传递参数

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【银河麒麟高级服务器操作系统】有关dd及cp测试差异的现象分析详解

了解更多银河麒麟操作系统全新产品，请点击访问麒麟软件产品专区：https://product.kylinos.cn 开发者专区：https://developer.kylinos.cn 文档中心：https://documentkylinos.cn dd现象使用银河麒麟高级服务器操作系统执行两次…...

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视频智能分析平台LiteAIServer未戴安全帽检测算法助力矿山安全：精准监督矿工佩戴安全帽情况

矿山作业环境复杂多变，安全隐患层出不穷。其中，矿工未佩戴安全帽这一行为，看似微不足道，实则潜藏着巨大的安全风险。一旦发生事故，未佩戴安全帽的矿工将极易受到重创，甚至危及生命。因此，确保每…...

编程日记 2025/6/4 1:31:26

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