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动态规划算法--01背包问题详细讲解步骤

news 来源：原创 2025/7/28 17:02:53

举个例子

要确定哪些物品被放入背包以达到最大价值，可以在计算 dp 数组的同时记录选择的物品。具体来说，可以使用一个额外的数组来记录每个状态的选择情况。以下是一个详细的步骤和代码实现：
在这里插入图片描述
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n = 3
W = 5
weights = [2, 1, 3]
values = [6, 3, 5]

初始化 dp 和 choice 数组

dp = [[0] * (W + 1) for _ in range(n + 1)]
choice = [[0] * (W + 1) for _ in range(n + 1)]print("初始状态:")
print("dp:")
for row in dp:print(row)
print("choice:")
for row in choice:print(row)

初始状态:
在这里插入图片描述

第1个物品（重量2，价值6）

# 第1个物品
for j in range(1, W + 1):if j >= weights[0]:if dp[0][j] < dp[0][j - weights[0]] + values[0]:dp[1][j] = dp[0][j - weights[0]] + values[0]choice[1][j] = 1else:dp[1][j] = dp[0][j]else:dp[1][j] = dp[0][j]print("处理第1个物品后:")
print("dp:")
for row in dp:print(row)
print("choice:")
for row in choice:print(row)

在这里插入图片描述

第2个物品（重量1，价值3）

# 第2个物品
for j in range(1, W + 1):if j >= weights[1]:if dp[1][j] < dp[1][j - weights[1]] + values[1]:dp[2][j] = dp[1][j - weights[1]] + values[1]choice[2][j] = 1else:dp[2][j] = dp[1][j]else:dp[2][j] = dp[1][j]print("处理第2个物品后:")
print("dp:")
for row in dp:print(row)
print("choice:")
for row in choice:print(row)

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第3个物品（重量3，价值5）

for j in range(1, W + 1):if j >= weights[2]:if dp[2][j] < dp[2][j - weights[2]] + values[2]:dp[3][j] = dp[2][j - weights[2]] + values[2]choice[3][j] = 1else:dp[3][j] = dp[2][j]else:dp[3][j] = dp[2][j]print("处理第3个物品后:")
print("dp:")
for row in dp:print(row)
print("choice:")
for row in choice:print(row)

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回溯路径

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# 回溯路径，确定选择的物品
selected_items = []
j = W
for i in range(n, 0, -1):if choice[i][j] == 1:selected_items.append(i - 1)  # 物品编号从0开始j -= weights[i-1]# 返回最大价值和选择的物品
max_value = dp[n][W]
selected_items = selected_items[::-1]print(f"最大价值: {max_value}")
print(f"选择的物品: {selected_items}")

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最终，选择的物品是第2个（编号1）和第3个（编号2）物品，最大价值为11。

完整代码

def knapsack_with_items(n, W, weights, values):# 初始化 dp 和 choice 数组dp = [[0] * (W + 1) for _ in range(n + 1)]choice = [[0] * (W + 1) for _ in range(n + 1)]# 填充 dp 和 choice 数组for i in range(1, n + 1):for j in range(1, W + 1):if j >= weights[i-1]:if dp[i-1][j] < dp[i-1][j-weights[i-1]] + values[i-1]:dp[i][j] = dp[i-1][j-weights[i-1]] + values[i-1]choice[i][j] = 1else:dp[i][j] = dp[i-1][j]else:dp[i][j] = dp[i-1][j]# 回溯路径，确定选择的物品selected_items = []j = Wfor i in range(n, 0, -1):if choice[i][j] == 1:selected_items.append(i - 1)  # 物品编号从0开始j -= weights[i-1]# 返回最大价值和选择的物品return dp[n][W], selected_items[::-1]# 示例
n = 3
W = 5
weights = [2, 1, 3]
values = [6, 3, 5]
max_value, selected_items = knapsack_with_items(n, W, weights, values)
print(f"最大价值: {max_value}")
print(f"选择的物品: {selected_items}")

一维数组的栗子

使用一维数组可以优化空间复杂度，将空间复杂度从O(nW) 降低到 O(W)。我们可以通过滚动数组的方式来实现这一点。
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注意：从后往前遍历背包容量

如果背包容量j从前往后会出现什么问题呢？

n = 3
W = 5
weights = [2, 1, 3]
values = [6, 3, 5]# 初始化 dp 数组
dp = [0] * (W + 1)print("初始状态:")
print("dp:", dp)# 第1个物品
for j in range(weights[0], W + 1):if dp[j] < dp[j - weights[0]] + values[0]:dp[j] = dp[j - weights[0]] + values[0]print("处理第1个物品后:")
print("dp:", dp)

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从前往后遍历背包容量 j 会导致同一个物品被多次选择，从而违反了01背包问题的约束。例如，在处理第1个物品时，当 j=4 时，dp[4] 被更新为 dp[2] + 6，而 dp[2] 已经被更新过，导致物品1被重复使用。

初始化

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第1个物品（重量2，价值6）

for j in range(W, weights[0] - 1, -1):if dp[j] < dp[j - weights[0]] + values[0]:dp[j] = dp[j - weights[0]] + values[0]choice[1][j] = 1print("处理第1个物品后:")
print("dp:", dp)
print("choice:")
for row in choice:print(row)

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第2个物品（重量1，价值3）

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在这里插入图片描述在这里插入图片描述

第3个物品（重量3，价值5）

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回溯路径

在这里插入图片描述

完整代码

def knapsack_with_items_one_dim(n, W, weights, values):# 初始化 dp 数组dp = [0] * (W + 1)# 初始化 choice 数组，用于记录选择的物品choice = [[0] * (W + 1) for _ in range(n + 1)]# 填充 dp 和 choice 数组for i in range(1, n + 1):for j in range(W, weights[i-1] - 1, -1):if dp[j] < dp[j - weights[i-1]] + values[i-1]:dp[j] = dp[j - weights[i-1]] + values[i-1]choice[i][j] = 1# 回溯路径，确定选择的物品selected_items = []j = Wfor i in range(n, 0, -1):if choice[i][j] == 1:selected_items.append(i - 1)  # 物品编号从0开始j -= weights[i-1]# 返回最大价值和选择的物品return dp[W], selected_items[::-1]# 示例
n = 3
W = 5
weights = [2, 1, 3]
values = [6, 3, 5]
max_value, selected_items = knapsack_with_items_one_dim(n, W, weights, values)
print(f"最大价值: {max_value}")
print(f"选择的物品: {selected_items}")

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引言&#xff1a;在我们的日常使用中&#xff0c;MOS就是个纯粹的电子开关&#xff0c;虽然MOS管也有放大作用&#xff0c;但是几乎用不到&#xff0c;只用它的开关作用&#xff0c;一般的电机驱动&#xff0c;开关电源&#xff0c;逆变器等大功率设备&#xff0c;全部使用MOS管…...

编程日记 2025/7/25 22:59:42

Leetcode 最长回文子串

目录 解法1&#xff1a;递归算法 解法2&#xff1a;Map取同字母位置法 解法3&#xff1a;中心扩展法 解法4&#xff1a;动态规划法 解法5: Manacher算法 示例 1&#xff1a; 输入&#xff1a;s "babad" 输出&#xff1a;"bab" 解释&#xff1a;&quo…...

编程日记 2025/7/13 1:29:50