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代码随想录算法训练营第三十二天|动态规划理论基础|LC509.肥波那些数|LC70.爬楼梯|LC746.使用最小花费爬楼梯

news 来源：原创 2025/6/24 20:36:02

动态规划理论基础

        解释：动态规划，英文：Dynamic Programming，简称DP；如果某一问题有很多重叠子问题，使用动态规划是最有效的。

动态规划五部曲：

        1、确定dp数组（dp table）以及下标的含义；

        2、确定递推公式；

        3、dp数组如何初始化；

        4、确定遍历顺序；

        5、举例推导dp数组；

        为什么要先确定递推公式，然后在考虑初始化呢？因为一些情况是递推公式决定了dp数组要如何初始化！

509. 斐波那契数 - 力扣（LeetCode）

 做动态规划的题目，严格按照五部曲走，分别对应5步，然后写出对应的代码；

①确定dp数组以及下标的含义：

        dp[i]的定义为：第i个数的斐波那契数值是dp[i]

②确定递推公式：

        文中已给：F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)公式，则状态转移方程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]；

③dp数组如何初始化；

        文中已给：F(0) = 0，F(1) = 1，则dp[0]=0，dp[1]=1；

④确定遍历顺序；

        dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的；

⑤举例推导dp数组；

        按照这个递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]，我们来推导一下，当N为10的时候，dp数组应该是如下的数列：0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55，如果代码写出来，发现结果不对，就把dp数组打印出来看看和我们推导的数列是不是一致的；

class Solution:def fib(self, n: int) -> int:# 首先排除边的情况if n == 0:return 0# 创建dp表dp = [0]*(n+1)# 初始化dp数组dp[0] = 0dp[1] = 1# 遍历顺序，从前向后，for i in range(2, n+1):# 确定状态转移公式dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]return dp[n]if __name__ == '__main__':n = 2res = Solution().fib(n)print(res)

70. 爬楼梯 - 力扣（LeetCode）

①确定dp数组以及下标的含义：

        dp[i]的定义为： 爬到第i层楼梯，有dp[i]种方法

②确定递推公式：

        自己手推dp[1]=1，dp[2]=2，dp[3]=3，dp[4]=5，则状态转移方程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]；

③dp数组如何初始化；

         dp[0]是存在争议的，但是对于dp[1]=1，dp[2]=2是没有争议的，那就从i=3开始遍历；

④确定遍历顺序；

        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]，表示从前向后遍历；

⑤举例推导dp数组；

        按照这个递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]，我们来推导一下，当N为5时，的时候，dp数组应该是如下的数列：1，2，3，5，8；

class Solution:def climbStairs(self, n: int) -> int:# 边缘判断if n <= 1:return n# 定义一个空数组dp = [0]*(n+1)# 初始化参数dp[1] = 1dp[2] = 2for i in range(3, n+1):# 状态方程dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]return dp[n]if __name__ == '__main__':n = 5res = Solution().climbStairs(n)print(res)

746. 使用最小花费爬楼梯 - 力扣（LeetCode）

①确定dp数组以及下标的含义：

        dp[i]的定义为：到达第i台阶所花费的最少体力为dp[i]。-

②确定递推公式：

        题目中解释到一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。即可以有两个途径得到dp[i]，一个是dp[i-1] 一个是dp[i-2]。

        dp[i - 1] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 1] + cost[i - 1]。

        dp[i - 2] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 2] + cost[i - 2]。

        那么究竟是选从dp[i - 1]跳还是从dp[i - 2]跳呢？一定是选最小的，所以dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);

③dp数组如何初始化；

         题目描述中明确说了 “你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。” 也就是说 到达 第 0 个台阶是不花费的，但从 第0 个台阶 往上跳的话，需要花费 cost[0]。

        所以初始化 dp[0] = 0，dp[1] = 0;（因为还没有开始爬，开始爬开需要消耗）

④确定遍历顺序；

        dp[i]由dp[i-1]dp[i-2]推出，所以是从前到后遍历cost数组就可以了

⑤举例推导dp数组；

        拿示例2：cost = [1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1] ，来模拟一下dp数组的状态变化，如下：

from typing import List
class Solution:def minCostClimbingStairs(self, cost: List[int]) -> int:dp = [0]*(len(cost)+1)# 初始化，表示从起点开始和第一个索引下开始不需要花费体力dp[0] = 0dp[1] = 0for i in range(2, len(cost)+1):# 选择其中花费体力较小的路径，加上当前步的花费，更新dp数组dp[i] = min(dp[i-1]+cost[i-1], dp[i-2]+cost[i-2])# 返回达到楼顶的最小花费return dp[len(cost)]if __name__ == '__main__':cost = [1,100,1,1,1,100,1,1,100,1]res = Solution().minCostClimbingStairs(cost)print(res)

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编程日记 2025/6/21 15:37:20