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AI大模型学习笔记｜多目标算法梳理、举例

news 来源：原创 2025/6/27 23:00:12

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学习笔记：
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一、多目标算法

学习资料1的内容整理：
智能优化算法是一种模拟自然进化过程的计算方法，用于寻找复杂问题的最优解。它们通过迭代过程，结合策略和保底（精英）机制，不断更新解集，以逼近问题的最优解。

（1）智能优化算法基本原理和流程

智能优化算法是一种模拟自然界中生物进化或其他智能行为的算法，它们通过模拟自然选择、遗传、交叉和变异等过程来寻找问题的最优解。这些算法的基本流程包括初始化一组候选解，评估这些解的质量（适应度），然后通过特定的策略（如遗传算法中的交叉和变异）生成新的解。接着，通过保底（精英）机制保留最优的解，淘汰较差的解，然后迭代这个过程直到找到满意的解或达到预定的迭代次数。

（2）多目标优化算法的前置知识

多目标优化算法处理的是同时优化多个目标的问题，这些目标之间往往存在冲突，即改善一个目标可能会导致另一个目标变差。在这种情况下，不存在单一的最优解，而是存在一系列权衡解，这些解被称为帕雷托最优解。帕雷托最优解构成了帕雷托前沿，它代表了在多个目标之间取得最佳权衡的解集。理解帕雷托最优的概念对于设计和应用多目标优化算法至关重要。

（3）智能优化算法的流程

智能优化算法的流程可以详细描述为以下几个步骤：首先，随机初始化一组候选解；然后，评估这些解的适应度；接着，根据适应度选择优秀的解，并应用特定的策略生成新的候选解；之后，将新旧解集合并，并进行筛选，保留最优的解；最后，重复上述过程直到满足停止条件。这个流程模拟了生物进化中的“适者生存”原则，通过不断的迭代，逐步逼近问题的最优解。

（4）多目标问题的解的生成

在多目标优化问题中，解的生成更为复杂，因为需要同时考虑多个目标。算法需要生成一组新的解，这些解不仅要与旧的解竞争，还要在多个目标之间取得平衡。这通常涉及到更复杂的策略，如同时考虑多个目标的适应度函数，或者在生成新解时采用多目标优化策略。

（5）解的排序：非支配排序

非支配排序是多目标优化中用于解排序的一种方法。它根据解是否被其他解支配来对解进行分层。在非支配排序中，一个解如果没有任何其他解在所有目标上都比它好，则认为它是非支配的。这种方法可以有效地识别出帕雷托最优解，并将解分为不同的前沿，每个前沿包含的解在目标空间中是相互非支配的。

（6）拥挤距离

拥挤距离是一种衡量解在目标空间中分布密度的指标。在多目标优化中，我们不仅希望找到帕雷托最优解，还希望这些解在帕雷托前沿上均匀分布。拥挤距离通过计算解与其邻居之间的距离来实现这一点，从而避免解的聚集，确保在不同区域的帕雷托前沿上都有解的存在。

（7）排序的具体计算

在具体计算排序时，首先需要对每个目标维度上的解进行排序，然后计算每个解与其最近邻解之间的距离。这个距离反映了解在目标空间中的拥挤程度。通过这种方式，我们可以识别出哪些解是孤立的，哪些解是拥挤的，从而在后续的迭代中对这些解进行适当的选择和淘汰。

（8）支配关系的判断

在多目标优化中，支配关系的判断是确定解优劣的关键。一个解A支配解B，意味着A在所有目标上都不比B差，并且在至少一个目标上严格优于B。这种判断不仅涉及到解的直接比较，还涉及到解在目标空间中的相对位置，是多目标优化算法中解评估和选择的基础。

二、多目标算法的补充内容

摘要：本章内容深入探讨了多目标优化的概念及其在处理多个互相冲突目标时的应用。通过一个生动的羊肉串选择例子，讲解了加权和法、补偿规划、目标约束法等方法，以及帕雷托最优的概念，旨在帮助学生理解理论基础和实践应用。加权和法通过给每个目标设定权重将多目标问题转化为单目标问题；补偿规划在不牺牲一个目标的同时改善另一个目标；目标约束法则通过设定优先级来解决目标冲突；帕雷托最优强调了在多目标优化中找到不可再优化的解决方案集的重要性。讨论强调了每种方法的适用场景和操作细节，鼓励学生通过编程实践加深理解。

（1）多目标优化的定义？

一般来说给定一个优化问题，有一些的约束条件，这，X是一个向量，我们定位一个为N行一列向量就是N个自变量。这边约束条件广义上来讲，它也并不是线性的，也可以是非线性的。那我们上节课讲内容是只有一个目标，但是我们现在有若干目标，有K目标，有大于等于一的，大于等于2。

优化问题三要素：，目标函数在这里。约束条件在这里，决策变量三要素，优化问题就这边。

可阅读的综述：Marler, R. Timothy, and Jasbir S. Arora. "Survey of multi-objective optimization methods for engineering." Structural and multidisciplinary optimization 26 (2004): 369-395.

（2）属性归一化，消除量纲

讲一下idea，关键点是把不同之间的属性先故意一化，消除量纲。会讲一个L2就是度量空间的采用这个距离公式。表示是某一列，因为这一列对应的是同一个属性。

（3）加权求和法

注意，我刚才说是两种思路不一样，所以说我这个价格20.1元人分一半。从这个约束条件入手。但是我们在这个本题中，就多目标优化，从数学的角度来讲，我们从这个目标函数下手。也就是说我们两个的目标函数，比如我是F1X它是F2X之间，加一个权重比较传统说法一人一半，比如说0.5F1X0.5F2X表示的权重是一样的。我们的如果说更一般，我们再加一个小小的权重，这个是这个W1W2咱们要加权。一般习惯性要求这个wi是大于等于零的，并且它们之和是等于一。

（4）compromise programming—均衡规划

我们把本来一个多目标优化问题，我先给它分解成K个单目标优化问题。因为F是F1X一直到FKX。我这边假设有M个约束条件，不管它Y的问题，给它分解成这个问题。就针对每个目标我算一个问题。对第一个问题就是我们是极大化，极大化是F1X满足一个约束条件，GIX小于等于0，然后在max。

（5）e-Constraint method、Weighted min-max method、Pareto optimal

其实总的来说做这种多秒优化问题，回顾一下这个key ideas就两点。第一点先是规划，最后已经现成代码摆在这里了。这个其实我用的是L二度量，可以有好多好多度量，感兴趣同学自己试试看。第二个就是把这个多目标给它转化成单目标或者一目标。那怎么转呢？下面讲一些方法，都是和我这个比如第一种是加权的，给个权重。后面几种类似，都是找我一个最理想点，从最理想点再反过来计算。这个很法很重要，我们会讲这个综合评价也会令人理想这个理想点，乌托邦点特别感兴趣。