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欧拉计划 Project Euler 21题解

news 来源：原创 2025/6/28 7:21:37

欧拉计划21

  • Project Euler Problem21
    • 题干
    • 亲和数
    • 约数和的计算

Project Euler Problem21

题干

亲和数

记 d ( n ) d(n) d(n) 为 n 的所有真约数(小于 n 且整除 n 的正整数)之和。

如果 d(a) = b , d(b) = a ，而且 a != b ，那么 a 和 b 构成一个亲和数对， a 和 b 都被称为亲和数。

例如：

  • 220 的真因数包括 1、2、4、5、10、11、20、22、44、55 和 110，因此 d ( 220 ) = 284 d(220) = 284 d(220)=284；
  • 而 284 的真因数包括 1、2、4、71 和 142，因此 d ( 284 ) = 220 d(284) = 220 d(284)=220。

求所有小于 10000 的亲和数之和。

初步的思路肯定是暴力枚举 以下是暴力的代码

// 31626#include <bits/stdc++.h>using namespace std;using ll = long long;
// 求真因数之和
int get(int n) {int sum = 1;for (int i = 2; i <= sqrt(n); ++i) {if (n % i == 0) {sum += i;if (i != n / i) {sum += n / i;}}}return sum;
}void solve() {const int LIMIT = 10000;vector<int> divs(LIMIT, 0);for (int i = 1; i < LIMIT; ++i) {divs[i] = get(i);}int ans = 0;for (int a = 1; a < LIMIT; ++a) {int b = divs[a];if (b < LIMIT && b != a && divs[b] == a) {ans += a;}}cout << ans << "\n";}int main() {ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);int tt = 1; // cin >> tt;while (tt--) {solve();}return 0;
}

约数和的计算

假设你想计算数字 72 的所有约数之和。列出所有约数并求和并不复杂：
1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 9 + 12 + 18 + 24 + 36 + 72 = 195。

然而，对于像 145600 这样的大数字，这种方法会变得既繁琐又困难。幸运的是，这里有一种简单优雅的方法。

定义

设 $ \sigma(n) $ 表示自然数 n的所有约数之和。

对于任何素数 ( p ):

σ ( p ) = p + 1 \sigma(p) = p + 1 σ(p)=p+1
因为它的唯一约数是 1 和 p 。

考虑 p a p^a pa:

σ ( p a ) = 1 + p + p 2 + ⋯ + p a (1) \sigma(p^a) = 1 + p + p^2 + \dots + p^a \tag{1} σ(pa)=1+p+p2+⋯+pa(1)

将其乘以 p :
p σ ( p a ) = p + p 2 + p 3 + ⋯ + p a + 1 (2) p \sigma(p^a) = p + p^2 + p^3 + \dots + p^{a+1} \tag{2} pσ(pa)=p+p2+p3+⋯+pa+1(2)

从 (2) 中减去 (1):
p σ ( p a ) − σ ( p a ) = ( p − 1 ) σ ( p a ) = p a + 1 − 1 p \sigma(p^a) - \sigma(p^a) = (p - 1) \sigma(p^a) = p^{a+1} - 1 pσ(pa)−σ(pa)=(p−1)σ(pa)=pa+1−1

因此:
σ ( p a ) = p a + 1 − 1 p − 1 \sigma(p^a) = \frac{p^{a+1} - 1}{p - 1} σ(pa)=p−1pa+1−1​

当然用等比数列求和公式也可以直接得到该结果

示例

例如:
σ ( 3 4 ) = 3 5 − 1 3 − 1 = 243 − 1 2 = 121 \sigma(3^4) = \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = \frac{243 - 1}{2} = 121 σ(34)=3−135−1​=2243−1​=121

验证一下：
1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121 1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121 1+3+9+27+81=121

可乘性

虽然这里没有提供证明，但函数 $ \sigma(n) $ 的一个重要特性是其 可乘性，即：
σ ( a × b × … ) = σ ( a ) × σ ( b ) × … \sigma(a \times b \times \dots) = \sigma(a) \times \sigma(b) \times \dots σ(a×b×…)=σ(a)×σ(b)×…
其中 a, b, …, 是互质的。

回到示例

利用这一性质，我们计算：
σ ( 72 ) = σ ( 2 3 × 3 2 ) \sigma(72) = \sigma(2^3 \times 3^2) σ(72)=σ(23×32)

由于 ( 2^3 ) 和 ( 3^2 ) 是互质的，我们分别计算：
σ ( 2 3 ) = 2 4 − 1 2 − 1 = 15 \sigma(2^3) = \frac{2^4 - 1}{2 - 1} = 15 σ(23)=2−124−1​=15
σ ( 3 2 ) = 3 3 − 1 3 − 1 = 13 \sigma(3^2) = \frac{3^3 - 1}{3 - 1} = 13 σ(32)=3−133−1​=13

因此： σ ( 72 ) = 15 ∗ 13 = 195 \sigma(72) = 15 * 13 = 195 σ(72)=15∗13=195

利用上诉的性质我们可以更好的优化该题

c++代码如下

// 31626#include <bits/stdc++.h>using namespace std;using ll = long long;int get(int n) {int originalN = n;int sum = 1;for (int p = 2; p * p <= n; ++p) {if (n % p == 0) {int powerSum = 1; // p^0 + p^1 + ... + p^kint curPower = 1;while (n % p == 0) {n /= p;curPower *= p;powerSum += curPower;}sum *= powerSum;}}// 如果剩下一个大于sqrt(n)的素因子if (n > 1) {sum *= (n + 1);}return sum - originalN;
}void solve() {const int LIMIT = 10000;vector<int> divs(LIMIT, 0);for (int i = 1; i < LIMIT; ++i) {divs[i] = get(i);}int ans = 0;for (int a = 1; a < LIMIT; ++a) {int b = divs[a];if (b < LIMIT && b != a && divs[b] == a) {ans += a;}}cout << ans << "\n";}int main() {ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);int tt = 1; // cin >> tt;while (tt--) {solve();}return 0;
}

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主要技术采用着色器的切割渲染，和之前写的风车可视化的文章不同，这次的切割效果是在着色器的基础上实现的，并新增了很多可调节的变量，兄弟们，走曲儿~ 线上演示地址，点击体验 源码下载地址，点击下载 正文 从图中大概可以看出以下信息，一个由线组成的无人机模型，一个由…...

编程日记 2025/6/25 5:03:51

360极速浏览器不支持看PDF

360安全浏览器采用的是基于IE内核和Chrome内核的双核浏览器。360极速浏览器是源自Chromium开源项目的浏览器&#xff0c;不但完美融合了IE内核引擎&#xff0c;而且实现了双核引擎的无缝切换。因此在速度上&#xff0c;360极速浏览器的极速体验感更佳。 展示自己的时候要在有优…...

编程日记 2025/6/24 18:21:55