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每日c/c++题 备战蓝桥杯（洛谷P1440 求m区间内的最小值 详解（单调队列优化））

news 来源：原创 2025/7/13 17:58:17

洛谷P1440 求m区间最小值：单调队列优化详解（从暴力到O(n)的蜕变）

tags: [算法, 数据结构, 滑动窗口, 洛谷, C++]

引言

在处理序列数据的区间查询问题时，暴力枚举往往难以应对大规模数据。本文以洛谷P1440为切入点，深入剖析如何通过单调队列数据结构，将时间复杂度从O(nm)优化至O(n)，完美解决百万级数据下的实时查询需求。

题目解析

问题定义
给定长度为n的序列和滑动窗口大小m，要求输出每个窗口内的最小值。当m>n时输出全0。

输入格式

  • 第一行：两个整数n, m
  • 第二行：n个整数表示序列元素

输出格式
输出n-m+1行，每行一个整数表示对应窗口的最小值

数据范围

  • 1 ≤ m ≤ n ≤ 2×10⁶
  • 元素值域：1 ≤ a_i ≤ 10⁹

算法演进：从暴力到优化

暴力解法（O(nm)）
for (int i=0; i<=n-m; i++) {int min_val = INF;for (int j=i; j<i+m; j++) {min_val = min(min_val, a[j]);}cout << min_val << endl;
}

缺陷：当n=2×10⁶时，总操作次数达4×10¹²次，远超时限。

单调队列优化（O(n)）

核心思想：维护一个双端队列，使其满足：

  1. 队列元素对应值严格单调递增
  2. 队首元素始终是当前窗口的最小值下标
  3. 自动清理失效元素（超出窗口范围或被新元素"淘汰"）

代码实现与优化

完整代码（C++）
#include <iostream>
using namespace std;const int MAXN = 2e6 + 5;
int a[MAXN];       // 原始数组（1-based）
int deque[MAXN];    // 手动实现双端队列
int front = 0, rear = -1;int main() {ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);int n, m;cin >> n >> m;// 特殊情况处理if (m > n) {for (int i=0; i<n; i++) cout << "0\n";return 0;}for (int i=1; i<=n; i++) cin >> a[i];// 初始化队列（前m个元素）for (int i=1; i<=m; i++) {while (rear >= front && a[deque[rear]] >= a[i]) rear--;deque[++rear] = i;}// 处理剩余窗口for (int i=m+1; i<=n; i++) {cout << a[deque[front]] << "\n";// 移除失效队首while (deque[front] <= i - m) front++;// 维护单调性while (rear >= front && a[deque[rear]] >= a[i]) rear--;deque[++rear] = i;}// 输出最后一个窗口cout << a[deque[front]] << "\n";return 0;
}
关键优化点

  1. 输入优化

    • 关闭同步流ios::sync_with_stdio(false)
    • 解除cin绑定cin.tie(nullptr)
      使输入速度提升3-5倍

  2. 数组下标处理

    • 采用1-based索引，避免处理0号元素的特殊情况
    • 显式处理m>n的边界条件

  3. 空间优化

    • 使用静态数组模拟双端队列，避免STL动态内存分配的开销
    • 相比STL deque，内存访问更连续，缓存命中率更高

算法流程详解

以输入序列[1,3,2,4,5], m=3为例：

窗口位置队列状态（下标）最小值操作说明
[1,3,2]1 → 3 → 21初始化队列
[3,2,4]2 → 42移除过期1号元素，加入4
[2,4,5]2 → 4 → 52维护单调性，加入5

执行流程：

  1. 初始化阶段：处理前m个元素，构建初始单调队列
  2. 滑动阶段：
    • 输出当前窗口最小值（队首元素）
    • 移除窗口左边界外的元素
    • 从队尾开始移除所有≥新元素的元素，保持单调性
    • 将新元素下标加入队列

复杂度分析

指标复杂度说明
时间复杂度O(n)每个元素最多入队、出队各一次
空间复杂度O(m)队列长度不超过窗口大小

常见问题解决方案

  1. 队列为空检查
    通过while (rear >= front)保证队列操作安全性

  2. 重复元素处理
    使用>=而非>判断，确保相同值元素正确弹出，维护严格单调性

  3. 窗口左移边界
    当deque[front] <= i - m时，队首元素已不在当前窗口

扩展应用场景

  1. 滑动窗口最大值：修改比较符号方向即可
  2. 动态规划优化：如最大矩形面积问题（LeetCode 84）
  3. 实时流处理：维护最近m条记录的统计信息

总结

单调队列通过三个核心操作：

  • 失效元素清理：保证窗口有效性
  • 单调性维护：确保最小值在队首
  • 元素淘汰机制：避免无效比较

实现了时间复杂度的质的飞跃。该算法思想是解决滑动窗口类问题的基石，掌握其精髓对算法进阶至关重要。建议配合LeetCode 239（滑动窗口最大值）进行巩固练习。

“优秀的算法工程师不是在发明新算法，而是在合适场景选择最优雅的工具。” —— 本题解正是对这一理念的实践诠释。

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