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基于Hermite多项式的三维反时间波的生成

news 来源：原创 2025/7/3 14:51:59

原创：daode3056(daode1212)

反时间波，也称为时间反演波，是一种在特定条件下能够实现波的聚焦和传播的技术。反时间波的产生基于时间反演技术，其原理和方法通常有：
1. [时间反演信号处理原理]: 时间反演技术并不是指时间倒流，而是指运动的反演，类似于将电影胶片倒放的效果。它涉及接收到的目标反射回波时域信号在时序上进行反转，得到后向传输信号，再发射到目标所在的计算区域中，相当于信号的“先入后出”。反演波在虚拟重发后，由于反演波回传的杂波环境与实际的接收回波经历的杂波环境是一致的，因而信号将在目标位置上实现能量聚焦。这使得时间反演技术具有抗多路径的特点，并能在时间和空间上同步聚焦，也就是时间反演技术所具有的时空聚焦特性。
2. [时间反演技术的实现方式]: 电磁信号的时间反演实现方式可分为两类：基于数字信号处理技术和基于模拟信号处理技术。数字信号处理技术可以直接对时域信号进行采样处理或通过频域相位共轭，实现时域信号时间反演；而模拟信号处理技术是基于时域成像原理实现时间反演处理，包括微波光子技术和全电子技术两种方案。
3. [时间反演技术的应用原理]: 时间反演技术基于波函数的特性加上时间对称得到的：已知一个波函数的表达形式，则时间反演形式（使用负时间）也是一个表达形式。这之所以能成立是因为标准的波函数只包含偶数阶导数。一些介质是非互易的（比如损耗非常大的或者噪声非常大的介质），但是很多有用的介质是可以近似认为是互易的，包括在水中和空气中传递的声波，在人体中传播的超声波，和在自由空间传播的电磁波。这些介质也必须同样近似是线性的。
4. [时间反演镜（TRM）]: 时间反演镜是一个采用时间反演的原理使得波聚焦的装置。TRMs 也被称为时间反演镜阵列因为它通常由阵列形状的传感器组成，但并不一定是一个阵列。时间反演镜的主要作用是对接收到的信号进行时域翻转操作。
5. [实验与应用]: 时间反演技术的应用包括超声检测和成像，其中待测对象多是不均匀介质，如人体、地层等。时间反演技术可以克服介质分布非均匀性的影响，提高成像的清晰度和分辨率。
6. [时间反演技术的产生]: 时间反演技术源于对光学领域中相位共轭镜的推广，引入电磁场领域后，它结合了电磁波传输的基本原理和阵列信号处理技术。时间反演技术具有时空聚焦特性，能在复杂的多径散射环境中自适应地在目标位置聚焦，并以反演波的形式重建。
这些原理和方法共同构成了反时间波的产生机制，使其能够在多种应用中实现波的聚焦和传播。本文着重介绍由三支正交归一后的Hermite多项式，在球坐标下构成反时间波的数学算法，它在时空域上都具有对称特性，在外形上如同开放的扭结（左边：以Hermite多项式为核的反时间波，右边球面曲线为内核的反时间波，从颜色的覆盖关系看立体效果）：

在SU2群中，所有变量请使用对应的Pauli矩阵，这样构成的是对粒子的作用算子。
以下是C#+OpenGL的生成源码：

        //球面方程三维反时间波：//Spherical curved three-dimensional inverse time waveprivate void knotCurves(){GL.LineWidth(8); GL.Begin(BeginMode.LineStrip);for (float g = -7; g <= 7; g += 0.0017f){double q = 1 / g;if (q * q < 9.45){double xx = Math.Cos(q) * Math.Cos(4 * q);double yy = Math.Sin(q) * Math.Cos(4 * q);double zz = g + Math.Sin(4 * q);GL.Color3(0.5 + 0.5 * Math.Cos(g * 7), 0.5 + 0.5 * Math.Sin(g * 9), 0.5 - 0.5 * Math.Cos(g * 11));GL.Vertex3(xx, yy, zz);}}GL.End();}//Hermite三维反时间波//Normalized Hermite polynomial inverse time waveprivate void HermiteCurves(){GL.LineWidth(8);GL.Begin(BeginMode.LineStrip);double b=1;int n;for (float g = -16; g <= 16; g += 0.005f){//no squat：n = 3;b = .0543 * Math.Sqrt(2 * n);double kx =  Math.Sqrt(K2forHermite(n, g, b));double x =  HermitePolynomial(n, g, b);n = 5;b = .0543 * Math.Sqrt(2 * n);double ky =  Math.Sqrt(K2forHermite(n, g, b));double y =  HermitePolynomial(n, g, b);n = 7;b = .0543 * Math.Sqrt(2 * n);double kz =  Math.Sqrt(K2forHermite(n, g, b));double z =  HermitePolynomial(n, g, b);GL.Color3(0.5 + 0.5 * Math.Cos(g * 7), 0.5 + 0.5 * Math.Sin(g * 9), 0.5 - 0.5 * Math.Cos(g * 11));GL.Vertex3(kx * x, ky * y, kz * z);}GL.End();}/// <summary>/// 埃尔米特多项式归一化系数之平方/// </summary>/// <param name="n">阶,整数</param>/// <param name="x">自变量</param>/// <param name="a">x的系数或倍数</param>/// <returns>埃尔米特多项式归一化系数之平方</returns>double K2forHermite(int n,double x,double a){//for  n >= 0,  a > 0:            int nFact = Fact(n);double M = Math.Pow(2, n) * nFact * Math.Sqrt(PI) * Math.Exp(a * a * x * x);return a / M;}/// <summary>/// 【以递推方式】计算埃尔米特多项式值/// </summary>/// <param name="n">阶,整数</param>/// <param name="x">自变量</param>/// <param name="a">x的系数或倍数</param>/// <returns>【以递推方式】计算埃尔米特多项式值</returns>/// double HermitePolynomial(int n, double X,double a){double x = a * X;if (n == 0){return 1;}if (n == 1){return 2 * x;}else{double[] f = new double[n + 1];f[0] = 1;f[1] = 2 * x;for (int i = 2; i <= n; i++){f[i] = 2 * x * f[i - 1] - 2 * (i - 1) * f[i - 2];}return f[n];}}/// <summary>/// 阶乘函数/// </summary>/// <param name="n">整数，0,1,2,3,...</param>/// <returns>返回 n!</returns>int Fact(int n){int N = 1;if (n == 0 || n == 1) { return N;} else{for(int k = 2; k <= n; k++){N *= k;}}return N; }

目前，反时间波主要应用场景为以下几个方面：

1--无线通信：时间反演技术在无线通信领域具有很大的应用价值，特别是在复杂多散射环境下，能够利用多径分量，在空域获得远大于常规阵列信号处理的分辨率。
2--隐藏目标探测：时间反演技术对于探测隐藏目标具有重要意义，它通过充分利用多径分量，在时域获得与发送波形近似的信号。
3--健康监测：在复合材料、航空航天、土木工程等领域，时间反演技术可用于结构的健康监测，尤其是在复合材料中，可以有效地检测各类缺陷和损伤。
4--损伤检测：时间反演技术被用于检测大型板状结构的缺陷识别和定位，通过时间反转法可以在结构中实现声波自适应聚焦，提高对微小缺陷的检测能力。
5--电磁波调控：时间反演电磁波具有时-空同步聚焦、自适应聚焦、超分辨率等特性，可以有效地减弱电磁波在非均匀复杂环境中传播受到的干扰及多径延迟衰减。
6--无线电能传输（WPT）：时间反演无线输能技术可以精准地将电磁能量以“点聚焦波”方式输送至目标点，具有安全性好、输能效率高、输能范围大等优势。
7--机器人、飞行器的运动路径。

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编程日记 2025/7/3 14:51:59

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