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408考研逐题详解：2009年第13题

news 来源：原创 2025/6/29 0:11:23

2009年第13题

浮点数加、减运算过程一般包括对阶、尾数运算、规格化、舍入和判溢出等步骤。设浮点数的阶码和尾数均采用补码表示，且位数分别为 5 位和 7 位（均含 2 位符号位)。若有两个数 $X=2^7\times29/32$ ， $Y=2^5\times5/8$ ，则用浮点加法计算 $X + Y$ 的最终结果是（）

A. 00111 1100010 $\qquad$ B. 00111 0100010 $\qquad$ C. 01000 0010001 $\qquad$ D.发生溢出

详解

本题考查浮点数加减运算的基础知识，为了让初学者对此问题有完整的理解，此处按照浮点数加减运算的计算步骤，并同时讲解相关其他知识，完成本题计算。

浮点数表示

本题中将浮点数的阶码和位数用补码表示，并且阶码的位数是 5 位，尾数的位数是 7 位，阶码和位数中都含有两个符号位。于是将 X 和 Y 分别按照此要求表示为：

数字	阶码	尾数
$X=2^7\times29/32$	00, 111	00. 11101
$Y=2^5\times5/8$	00, 101	00. 10100

转换方法：

$X=2^7\times29/32$
- 阶码的十进制是 7，二进制是 111。阶码占 5 位，其中前两位是符号位，此处是正数，原码和补码相同，故阶码的二进制是 00, 111。
- 尾数 $29/32=\frac{29}{2^5}=29\times2^{-5}$ ，又 $29)_{10}=(11101)_2$ ，所以 $29\times2^{-5}$ 对应的二进制就是将 $11101)_2$ 的小数点向左移动 5 位（原来小数点在最右边）或者说将二进制数字向右移动 5 位（小数点不动），于是得到 $0.11101$ （此处是正数，原码和补码相同）。根据题目要求，尾数用 7 位存储，且含 2 位符号位，即 00.11101 。
$Y=2^5\times5/8$
- 阶码的十进制是 5，二进制是 101。按照题目要求存储，即为 00,101。
- 尾数 $5/8$ 。用上述同样的方法，并根据题目所要求的存储方式，得到 00.10100

浮点数相加

（1）对阶操作

先通俗地理解对阶的含义以及方法。

假设计算「1 元 2 角 5 分 + 5 角」，会自然把单位统一成「分」来计算（125 分 + 50 分）。浮点数加法也是一样的道理：两个数的指数（相当于「单位」）必须相同，才能直接相加尾数（相当于「数值」）。比如计算机里存的两个数：

数 A：1.25（二进制是 $1.01\times2^0$ ，即指数（阶）是 0，尾数是 1.01）
数 B：0.5（二进制是 $1.0\times2^{-1}$ ，即指数（阶）是 -1，尾数是 1.0）

它们的指数（阶）不同（一个是 0，一个是 -1），就像「元」和「角」不能直接相加，必须先把「单位」统一成相同的指数。

对阶的方法：

比较指数大小：先看哪个数的指数更大（这里数 A 的指数 0 更大）。
小指数向大指数看齐：把指数小的数（数 B）的尾数右移（相当于除以 2），指数每增加 1，尾数右移 1 位。

数 B 的指数从 -1 变成 0（和数 A 相同），尾数从 1.0 右移 1 位变成 0.1（相当于 0.5÷2=0.25，但二进制表示为 0.1）。
现在两个数变成： $1.01\times2^0$ 和 $0.1\times2^0$ ，小数点对齐了，可以直接相加尾数。

口诀：小阶向大阶对齐，左减右加（小数点不动，尾数向左移动，指数（阶）加相应移动的数；尾数向右移动，指数（阶）减去相应移动数）。

将上述方法用之于本题中，Y 的阶是 5（对应的二进制是 00, 101），比 X 的阶小，故应该向 X 的阶对齐：

Y 的阶码变成 00, 111（十进制是 7），即 $Y=2^5\times5/8=2^5\times(5\times2^{-3})=2^7\times(5\times2^{-3}\times2^{-2})$ 。
所以，将之前所得到的 Y 的尾数（二进制表示）00. 10100 向右移动 2 位，得到 00. 00101 。

于是得到如下对阶操作的结果：

数字	阶码	尾数
$X=2^7\times29/32$	00, 111	00. 11101
$Y=2^5\times5/8=2^7\times(5\times2^{-5})$	00, 111	00. 00101

（2）尾数运算

指数（阶码）调整相同之后，尾数相加。

    00. 11101+ 00. 00101------------01. 00010

于是得到的计算机结果是：

数字	阶码	尾数
-	00, 111	01. 00010

（3）规格化

以上计算得到的位数 01. 00010，则符号位由于相加进位变成了 01，故应该对其“右规”，即将尾数调整为 00. 1xxxx 的形式，并同时要调整阶码。

小数点不动，将 01. 00010 的数字向右移动 1 位，尾数变成 00. 10001。
阶码 00, 111 （十进制是 7）对应这加 1，变成 01, 000（十进制是 8）。

（4）舍入

在上述“右规”的时候，将 01. 00010 右移 1 位，由于舍去的最右一位是 0，所以舍入。

（5）判断溢出

经规格化之后，阶码为 01, 000（十进制是 8）。题目中规定阶码是 5 位，其中含 2 位符号位，即数值位最大值是 111 （十进制是 7），也就是指数最大值是 +7。现在得到的阶码显然超过此值，故发生溢出。

在两位符号位的补码中，只有当两位符号位一致时（00 或 11），才表示未溢出；若符号位不一致（01 或 10），则直接判定为溢出：

01：正溢出（结果大于正数最大值）
10：负溢出（结果小于负数最小值）

本题答案：D

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