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D. Apple Tree Traversing 【Codeforces Round 1023 (Div. 2)】

news 来源：原创 2025/8/4 3:14:42

D. Apple Tree Traversing

题目大意

有一个包含 $n$ 个节点的苹果树，初始时每个节点上有一个苹果。你有一张纸，初始时纸上没有任何内容。
你需要通过以下操作遍历苹果树，直到所有苹果都被移除：
• 选择一个苹果路径 $(u, v)$ 。当且仅当路径 $(u, v)$ 上的每个节点都有苹果时，该路径才称为苹果路径。
• 设 $d$ 为路径上的苹果数量，在纸上按顺序写下三个数字 $(d, u, v)$ 。
• 然后移除路径 $(u, v)$ 上的所有苹果。
这里的路径 $(u, v)$ 指的是从 $u$ 到 $v$ 的唯一最短路径上的所有节点序列。
设纸上的数字序列为 $a$ 。你的任务是找到字典序最大的可能序列 $a$ 。

思路：

根据字典序的需求，要优先找最长的路径，然后路径的两个端点序号要最大。那么可以通过两次dfs找直径的方式，找序号最大的最远点。每次找完一条直径就可以把树分成若干子树，继续在子树里找直径即可，最后把找到的直径排序输出。这是很容易想到的解法，时间复杂度是 $O(n\sqrt{n})$ 的。
（证明过程其实很经典，因为每次移除的直径严格递减， $\dfrac{k \cdot (k + 1)}{2} \le n$ ，进而推得 $\le 2 \cdot \sqrt{n}$ ）

具体实现见代码，dfs函数保存路径用pre前驱数组，避免用stl被卡常。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define endl '\n'
#define int long long
#define pb push_back
#define pii pair<int, int>
#define FU(i, a, b) for (int i = (a); i <= (b); ++i)
#define FD(i, a, b) for (int i = (a); i >= (b); --i)
const int MOD = 1e9 + 7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 2e5 + 5, MAXN = maxn;int n;
bool vis[maxn] = {};
vector<int> ed[maxn];struct way {int len, u, v;way(int a, int b, int c) : len(a), u(b), v(c) {};bool operator<(const way &o) const {if (len == o.len) {if (u == o.u)return v < o.v;return u < o.u;}return len < o.len;}
};
int p[maxn];
pair<int, int> dfs1(int u, int par) { // find farest maxpair<int, int> res = {1, u};p[u] = par;for (int v : ed[u]) {if (v != par && !vis[v]) {auto tmp = dfs1(v, u);tmp.first += 1;if (tmp.first > res.first ||(tmp.first == res.first && tmp.second > res.second))res = tmp;}}return res;
}void solve() {cin >> n;FU(i, 1, n) {ed[i].clear();vis[i] = 0;}FU(i, 1, n - 1) {int u, v;cin >> u >> v;ed[u].pb(v);ed[v].pb(u);}priority_queue<way> ans;for (int i = n; i >= 1; i--) {if (vis[i])continue;FU(j, 1, n) p[j] = -1;auto [d1, j] = dfs1(i, -1);auto [d2, k] = dfs1(j, -1);ans.push(way(d2, max(j, k), min(j, k)));while (k != -1) {vis[k] = true;k = p[k];}if (vis[i] == 0) i++; //如果当前点没有标记就重复遍历，不然会略掉i点}while (!ans.empty()) {auto e = ans.top();ans.pop();cout << e.len << " " << e.u << " " << e.v << " ";}cout << endl;
}signed main() {
#ifdef ONLINE_JUDGE
#elsefreopen("../in.txt", "r", stdin);
#endifcin.tie(0)->ios::sync_with_stdio(0);int T = 1;cin >> T;while (T--) {solve();}return 0;
}

题目大意

思路：

代码：

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