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「动态规划」线性DP：股票问题合集 / LeetCode 121|122|123|188 （C++）

news 来源：原创 2025/8/13 21:27:13

概述

Question1

思路

算法过程

Code

复杂度

Question2

思路

解题过程

Code

复杂度

Question3

思路

解题过程

Code

复杂度

Question4

思路

解题过程

Code

复杂度

总结

概述

我们已经了解过了线性DP：

「动态规划」线性DP：最长上升子序列（LIS）|编辑距离 / LeetCode 300|72（C++）

更进一步，我们来解决非常经典的线性DP问题系列：买卖股票。

Question1

LeetCode 121：

给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。

你只能选择 某一天 买入这只股票，并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。

返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。

示例 1：
输入：[7,1,5,3,6,4]
输出：5
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。

思路

我们来找到规模更小的子问题。

对于本题来说，什么是规模更小的子问题？

先来考虑有几个状态：现在第几天，手里有没有股票，是否交易过。

定义dp[i][j][k]，表示：

第i天，j为0代表未交易，j为1代表完成交易过（即发生了买入与卖出），k为0代表手中无股票，k为1表示手中有股票，此时所能拥有的最大利润。

初始条件：dp[0][0][0] = 0, dp[0][0][1] = -prices[0];

算法过程

每个子问题都要被求解，前提是比它小的问题被求解了，而不论大小规模，这些问题的求解过程是一样的。

对于dp[i][0][0]与dp[i][1][1]没有意义，因为dp[i][0][0]恒为0；而题意只能进行一次交易，故dp[i][1][1]无意义。

对于已完成交易且手中无票，这个状态来自前一天的相同状态或前一天为未完成交易且手中有票。

对于未完成交易且手中有票，这个状态来自前一天的相同状态或前一天为未完成交易且手中无票。

所以应该是这样的：

dp[i][1][0] = max(dp[i - 1][1][0], dp[i - 1][0][1] + prices[i]);
dp[i][0][1] = max(dp[i - 1][0][1], dp[i - 1][0][0] - prices[i]);

Code

class Solution {
public:int maxProfit(vector<int>& prices) {const int n = prices.size();vector<array<array<int, 2>, 2>> dp(n);dp[0][0][1] = -prices[0];for (int i = 1; i < n; i++){dp[i][1][0] = max(dp[i - 1][1][0], dp[i - 1][0][1] + prices[i]);dp[i][0][1] = max(dp[i - 1][0][1], dp[i - 1][0][0] - prices[i]);}return max(0, dp[n - 1][1][0]);}
};

复杂度

时间复杂度: O(n) //需求解n个状态，每次求解通过二分进行。

空间复杂度: O(n) //预留dp数组空间

Question2

LeetCode 122：

给你一个整数数组 prices ，其中 prices[i] 表示某支股票第 i 天的价格。

在每一天，你可以决定是否购买和/或出售股票。你在任何时候最多只能持有一股股票。你也可以先购买，然后在 同一天 出售。

返回 你能获得的最大利润 。

示例 1：
输入：prices = [7,1,5,3,6,4]
输出：7
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5 - 1 = 4。
随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6 - 3 = 3。
最大总利润为 4 + 3 = 7 。

思路

这次更简单了。

去掉第二维，只保留时间和有无票两个状态dp[i][j]。

初始条件：dp[0][0] = 0, dp[0][1] = -prices[0];

解题过程

去掉第二维后事情更简单了。

dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]);

Code

class Solution {
public:int maxProfit(vector<int>& prices) {const int n = prices.size();vector<array<int, 2>> dp(n);dp[0][0] = 0, dp[0][1] = -prices[0];for (int i = 1; i < n; i++) {dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]);}return dp[n - 1][0];}
};

复杂度

时间复杂度: O(n)

空间复杂度: O(n)

Question3

LeetCode 123：

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成两笔交易。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:
输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出：6
解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。

思路

两次交易依然是一次交易的思路。

定义dp[i][j][k]，表示：

第i天，j为0代表未交易，j代表已完成交易的次数，k为0代表手中无股票，k为1表示手中有股票，此时所能拥有的最大利润。

初始条件：

dp[0][0][1] = -prices[0];

dp[0][1] = {INT_MIN / 2, INT_MIN / 2};

dp[0][2] = {INT_MIN / 2, INT_MIN / 2};

考虑用INT_MIN表示非法状态，INT_MIN / 2来避免后续减法越界。

解题过程

我们用循环来处理2次交易。

单独计算j = 0，然后循环计算j = {1, 2}。

for (int i = 1; i < n; i++) {dp[i][0][1] = max(dp[i - 1][0][1], dp[i - 1][0][0] - prices[i]);for (int j : {1, 2}) {dp[i][j][0] = max(dp[i - 1][j][0], dp[i - 1][j - 1][1] + prices[i]);dp[i][j][1] = max(dp[i - 1][j][1], dp[i - 1][j][0] - prices[i]);}
}

*注意*:这里使用了对初始化列表{1, 2}的范围for循环，语法糖，不得不品鉴。

Code

class Solution {
public:int maxProfit(vector<int>& prices) {const int n = prices.size();vector<array<array<int, 2>, 3>> dp(n);dp[0][0][1] = -prices[0];dp[0][1] = {INT_MIN / 2, INT_MIN / 2};dp[0][2] = {INT_MIN / 2, INT_MIN / 2};for (int i = 1; i < n; i++) {dp[i][0][1] = max(dp[i - 1][0][1], dp[i - 1][0][0] - prices[i]);for (int j : {1, 2}) {dp[i][j][0] = max(dp[i - 1][j][0], dp[i - 1][j - 1][1] + prices[i]);dp[i][j][1] = max(dp[i - 1][j][1], dp[i - 1][j][0] - prices[i]);}}int ans = INT_MIN;for (int j = 0; j < 3; j++)ans = max(ans, dp[n - 1][j][0]);return ans;}
};

复杂度

时间复杂度: O(n)

空间复杂度: O(n)

Question4

LeetCode 188：

给你一个整数数组 prices 和一个整数 k ，其中 prices[i] 是某支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。也就是说，你最多可以买 k 次，卖 k 次。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1：
输入：k = 2, prices = [2,4,1]
输出：2
解释：在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2 。

思路

将之前的代码拓展到k天。

定义dp[i][j][k]，表示：

第i天，j为0代表未交易，j代表已完成交易的次数，k为0代表手中无股票，k为1表示手中有股票，此时所能拥有的最大利润。

初始条件：

dp[0][0][0] = 0;

dp[0][0][1] = -prices[0];

dp[0][p > 0][q] = {INT_MIN / 2, INT_MIN / 2};

解题过程

我们用循环来处理k次交易。

单独计算j = 0，然后循环计算j。

for (int i = 1; i < n; i++) {dp[i][0][1] = max(dp[i - 1][0][1], dp[i - 1][0][0] - prices[i]);for (int j = 1; j <= k; j++) {dp[i][j][0] = max(dp[i - 1][j][0], dp[i - 1][j - 1][1] + prices[i]);dp[i][j][1] = max(dp[i - 1][j][1], dp[i - 1][j][0] - prices[i]);}
}

Code

class Solution {
public:int maxProfit(int k, vector<int>& prices) {const int n = prices.size();vector<vector<array<int, 2>>> dp(n, vector<array<int, 2>>(k + 1, {INT_MIN / 2, INT_MIN / 2}));dp[0][0][0] = 0;dp[0][0][1] = -prices[0];for (int i = 1; i < n; i++) {dp[i][0][1] = max(dp[i - 1][0][1], dp[i - 1][0][0] - prices[i]);for (int j = 1; j<= k; j++) {dp[i][j][0] = max(dp[i - 1][j][0], dp[i - 1][j - 1][1] + prices[i]);dp[i][j][1] = max(dp[i - 1][j][1], dp[i - 1][j][0] - prices[i]);}}int ans = INT_MIN;for (int j = 0; j <= k; j++)ans = max(ans, dp[n - 1][j][0]);return ans;}
};

复杂度

时间复杂度: O(n * k)

空间复杂度: O(n * k)

总结

线性dp的状态定义是尤为重要的，希望你有所体会。

「动态规划」线性DP：股票问题合集 / LeetCode 121|122|123|188 （C++）

目录概述 Question1 思路算法过程 Code 复杂度 Question2 思路解题过程 Code 复杂度 Question3 思路解题过程 Code 复杂度 Question4 思路解题过程 Code 复杂度总结概述我们已经了解过了线性DP： 「动态规划」线性DP：最长…...

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编程日记 2025/8/9 14:19:18

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2.库的操作 2.1 创建数据库语法： CREATE DATABASE [IF NOT EXISTS] db_name [create_specification [,create_specification]….]create_spcification:[DEFAULT] CHARACTER SET charset_nam[DEFAULT] COLLATE collation_name说明： 大写的表示关键字 …...

编程日记 2025/6/29 4:20:42

1688拍立淘搜索相似商品API接口概述，json数据示例参考

1688拍立淘搜索相似商品API接口概述 1688拍立淘是阿里巴巴1688平台提供的以图搜图功能，允许开发者通过上传商品图片或图片URL，快速检索1688平台上的相似商品。该接口基于图像识别技术，结合1688的海量商品库，为商家、采购商或开发…...

编程日记 2025/8/9 23:27:48

使用 Java 11 的 HttpClient 处理 RESTful Web 服务

在现代 Web 开发中，与 RESTful Web 服务交互是一项核心任务。Java 作为一种广泛使用的编程语言，提供了多种处理 HTTP 请求的方法。在 Java 11 之前，开发者通常使用 HttpURLConnection 或第三方库（如 Apache HttpClient）。然而，这些方法要么过于底层，要么需要额外依赖。J…...

编程日记 2025/6/29 3:24:00

学习笔记：黑马程序员JavaWeb开发教程(2025.3.30)

11.6 案例-文件上传-阿里云OSS-集成从程序中获取URL给前端，前端显示图片拿到URL，但是在浏览器里面是直接下载，展示可以使用html中的<image>标签 Spring环境下，不建议再去new对象，将其交给IOC容器管理&#xff…...

编程日记 2025/6/29 4:30:49

【MySQL】-- 联合查询

文章目录 1. 简介1.1 为什么要使用联合查询1.2 多表联合查询时MySQL内部是如何进行计算的 2. 内连接2.1 语法2.2 示例 3. 外连接3.1 语法3.2 示例 4. 自连接4.1 应用场景4.2 示例4.3 表连接练习 5. 子查询5.1 语法5.2 单行子查询5.3 多行子查询5.4 多列子查询5.5 在from 子句中…...

编程日记 2025/6/29 3:47:00

《C++ Templates》：有关const、引用、指针的一些函数模板实参推导的例子

1.T按值传递最简单的模板例子： template<typename T> void func(T x) {std::cout << typeid(T).name() << std::endl;x 20;cout << x; } 这种情况下，T永远不会被推导成带顶层const或引用的类型【顶层const即变量本身不能…...

编程日记 2025/8/9 21:18:40

概述

Question1

思路

算法过程

Code

复杂度

Question2

思路

解题过程

Code

复杂度

Question3

思路

解题过程

Code

复杂度

Question4

思路

解题过程

Code

复杂度

总结

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