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深度学习中的autograd与jacobian

news 来源：原创 2025/8/15 15:17:27

1. autograd

对于一个很简单的例子，如下图所示，对于一个神经元z，接收数据x作为输入，经过\sigma激活函数，获得激活后的结果，最后利用损失函数L获得损失，然后梯度反向回传。

 上图右侧即梯度反向回传的过程，其中字母上加一条线代表损失函数对该参数的偏导

  1. 损失函数L对自己的偏导为0
  2. 损失函数对y的偏导为\bar{y} = \bar{L}\cdot (y-t) = y-t
  3. 损失函数对z的偏导为\bar{z} = \bar{y}\cdot {\sigma }'(z)
  4. 损失函数对w的偏导为\bar{w} = \bar{z}\cdot x
  5. 损失函数对b的偏导为\bar{b} = \bar{z}\cdot 1 = \bar{z}

在实际使用中我们会将复杂的操作分解成若干个简单操作：

1.1 标量 梯度反向回传

以下是pytorch官网的一个小示例：

import torch

x = torch.ones(5)  # input tensor
y = torch.zeros(3)  # expected output
w = torch.randn(5, 3, requires_grad=True)
b = torch.randn(3, requires_grad=True)
z = torch.matmul(x, w)+b
loss = torch.nn.functional.binary_cross_entropy_with_logits(z, y)

loss.backward()  # 这里需要注意，只有标量才能直接调用，如果loss是一个张量的话需要在backward()中传入一个向量，且这个向量和loss的shape必须一样，一般而言向量元素全为1

print(w.grad)

print(b.grad)

 

 1.2 张量 梯度反向回传

inp = torch.eye(4, 5, requires_grad=True)  # 创建一个对角矩阵，shape: [4, 5]
out = (inp+1).pow(2).t()  # 矩阵元素加1，然后平方，再转置，shape: [5, 4]
out.backward(torch.ones_like(out), retain_graph=True)  # 梯度反向回传，并且设置了保留梯度，可以多次调用，这个例子中out是一个shape: [5,4] 的张量，因此在backward中传入了一个shape:[5, 4] 的全1矩阵。
print(f"First call\n{inp.grad}")
out.backward(torch.ones_like(out), retain_graph=True)  # 第二次调用，由于梯度未清零，因此会叠加
print(f"\nSecond call\n{inp.grad}")
inp.grad.zero_()  # 梯度清零
out.backward(torch.ones_like(out), retain_graph=True)
print(f"\nCall after zeroing gradients\n{inp.grad}")

First call
tensor([[4., 2., 2., 2., 2.],
        [2., 4., 2., 2., 2.],
        [2., 2., 4., 2., 2.],
        [2., 2., 2., 4., 2.]])

Second call
tensor([[8., 4., 4., 4., 4.],
        [4., 8., 4., 4., 4.],
        [4., 4., 8., 4., 4.],
        [4., 4., 4., 8., 4.]])

Call after zeroing gradients
tensor([[4., 2., 2., 2., 2.],
        [2., 4., 2., 2., 2.],
        [2., 2., 4., 2., 2.],
        [2., 2., 2., 4., 2.]])

 

2. 向量与张量的jarobian 矩阵计算

from torch.autograd.functional import jacobian
import torchdef func(x):return x.exp().sum(dim=1)x = torch.rand(2,3)
print(jacobian(func, x))

经过func之后的x由原来的shape: [2, 3] 变为了shape: [2]，而jacobian计算的过程是shape: [2]中的每个元素，对shape: [2, 3]中的每个元素求偏导，结果中为0的元素，代表func返回的结果中的第一个元素与x中第二行没关系，func返回的结果中的第二个元素与x中第一行没关系。

tensor([[[1.0939, 2.4570, 1.3270],
         [0.0000, 0.0000, 0.0000]],

        [[0.0000, 0.0000, 0.0000],
         [1.3719, 1.8973, 1.8708]]])

torch.manual_seed(5)
a = torch.randn(3)
print(a)
def func2(x):return a+x
x = torch.rand(3)
print(jacobian(func2, x))

 tensor([[1., 0., 0.],
        [0., 1., 0.],
        [0., 0., 1.]])

 其他的示例懒得写了，代码放在这，有兴趣的可以自己看看，拷贝下来之后，把日志部分删掉或者改成print就可以跑了。

'''
1.讲解jarcobin矩阵
2.讲解向量和矩阵的梯度求解
'''
from torch.autograd.functional import jacobian
import torch
import loggerlogger1 = logger.logger_(__file__)def func(x):return x.exp().sum(dim=1)x1 = torch.rand(2,3, requires_grad=True)
print(jacobian(func, x1))'''经过func之后的x由原来的shape: [2, 3] 变为了shape: [2]，
而jacobian计算的过程是shape: [2]中的每个元素，对shape: [2, 3]中的每个元素求偏导，
结果中为0的元素，代表func返回的结果中的第一个元素与x中第二行没关系，
func返回的结果中的第二个元素与x中第一行没关系。'''
torch.manual_seed(5)
a = torch.randn(3)
print(a)
def func2(x):return a+x
x2 = torch.rand(3)
print(jacobian(func2, x2))#- 利用jacobian矩阵与某个全1的矩阵相乘，获得与反向回传相同的结果
def func(x):return x.exp().sum(dim=1)x1 = torch.rand(2,3, requires_grad=True)
print(jacobian(func, x1))y = func(x1)
y.backward(torch.ones_like(y))  # 这里为什么要加一个torch.ones_like(y)呢？
# 其实可以理解为Loss就是y，即loss = func(x1), Loss对Loss本身求偏导，那自然是全1，然后再对x求偏导，得到x' = loss'× func'(x1)
print(x1.grad)logger1.info(torch.ones_like(y) @ jacobian(func, x1))a = torch.randn(2, 3, requires_grad=True)
b = torch.randn(3, 3, requires_grad=True)
print(a)
print(b)
y = a @ b
y.backward(torch.ones_like(y))
logger1.info(f'a.grad is : {a.grad}')
logger1.info(f'b.grad is : {b.grad}')def func_a(a):return a @ b
def func_b(b):return a @ b
jacobian_a0 = jacobian(func_a, a[0])
jacobian_a1 = jacobian(func_a, a[1])
logger1.info(f'jacobian_a0 is : {jacobian_a0}')
logger1.info(f'jacobian_a1 is : {jacobian_a1}')
loss_jacobian_a0 = torch.ones_like(func_a(a[0])) @ jacobian_a0
loss_jacobian_a1 = torch.ones_like(func_a(a[1])) @ jacobian_a1
logger1.info(f'loss_jacobian_a0 is : {loss_jacobian_a0}')
logger1.info(f'loss_jacobian_a1 is : {loss_jacobian_a1}')jacobian_b0 = jacobian(func_b, b[:, 0])
jacobian_b1 = jacobian(func_b, b[:, 1])
jacobian_b2 = jacobian(func_b, b[:, 2])
logger1.info(f'jacobian_b0 is : {jacobian_b0}')
logger1.info(f'jacobian_b1 is : {jacobian_b1}')
logger1.info(f'jacobian_b2 is : {jacobian_b2}')
loss_jacobian_b0 = torch.ones_like(func_b(b[:, 0])) @ jacobian_b0
loss_jacobian_b1 = torch.ones_like(func_b(b[:, 1])) @ jacobian_b1
loss_jacobian_b2 = torch.ones_like(func_b(b[:, 2])) @ jacobian_b2
logger1.info(f'loss_jacobian_b0 is : {loss_jacobian_b0}')
logger1.info(f'loss_jacobian_b1 is : {loss_jacobian_b1}')
logger1.info(f'loss_jacobian_b2 is : {loss_jacobian_b2}')

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编程日记 2025/8/15 16:52:17

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文章目录 引言一、技术概述二、环境准备三、关键代码解析1. 人脸关键点定义2. 获取人脸掩模3. 计算仿射变换矩阵4. 检测并提取人脸关键点5. 颜色校正 四、完整流程五、效果展示六、总结 引言 本文将介绍如何使用Python、OpenCV和dlib库实现人脸融合技术&#xff0c;将一张人脸…...

编程日记 2025/8/15 16:52:15

Codeforces Round 1022 (Div. 2)

Problem - A - Codeforces 看这数据量&#xff0c;算出每个排列来&#xff0c;是不现实的&#xff0c;需要找找规律 来看找规律代码 #include <bits/stdc.h> using namespace std;int main() {int t;cin >> t;while (t--){int n;cin >> n;vector<int&g…...

编程日记 2025/8/15 16:52:13

uniapp 震动功能实现

项目场景&#xff1a; 提示&#xff1a;这里简述项目相关背景&#xff1a; 在项目中有时候需要一些功能&#xff0c;比如震动 描述 提示&#xff1a;这里描述项目中遇到的问题&#xff1a; 在移动应用中&#xff0c;震动反馈是提升用户体验的重要方式。uniapp 提供了两种震…...

编程日记 2025/8/15 16:52:11

uniapp 搭配 uCharts

在插件市场导入插件到项目中 <view class"charts-box-main"> <qiun-data-charts type"area" :opts"opts" :chartData"chartData" /> </view> data&#xff08;&#…...

编程日记 2025/8/15 16:52:09

Kubernetes(k8s)学习笔记(八)--KubeSphere定制化安装

1执行下面的命令修改上一篇中yaml文件来实现定制化安装devops kubectl edit cm -n kubesphere-system ks-installer 主要是将devops几个配置由False改为True 然后使用下面的命令查看安装日志 kubectl logs -n kubesphere-system $(kubectl get pod -n kubesphere-system -l …...

编程日记 2025/8/15 16:52:07

阿里云codeup以及本地gitclone+http

cmd命令行乱码问题、解决 chcp 65001 git代码提交 git add . git commit -m init git push origin master...

编程日记 2025/8/15 16:52:05