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高等数学第四章---不定积分（4.4有理函数的不定积分2）

news 来源：原创 2025/8/21 16:23:06

&4.4有理函数的不定积分2

篇幅有限制，例题的解答会占大量字符，html限制字符为22000个左右。这里继续探讨上文的有理函数的不定积分。

一、三角函数有理式的不定积分

由 $\sin x$ , $\cos x$ 以及常数经过有限次加、减、乘、除运算得到的函数，称为三角函数有理式。

例如：

$\frac{1}{1 + \sin x}$
$\frac{\cos x}{2 + \sin x}$
$\frac{1}{\cos x (1 + \cos x)}$
$tan^2 x + \sec x$

注：其他三角函数（ $\tan x, \cot x, \sec x, \csc x$ ）本身也是由 $\sin x, \cos x$ 通过除法和常数 1 得到的，因此包含它们的有理式也属于三角函数有理式。

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$
$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$
$\sec x = \frac{1}{\cos x}$
$\csc x = \frac{1}{\sin x}$

二、三角函数有理式的不定积分计算方法

根据被积函数的具体形式，可以采用不同的技巧。

（一）处理奇次幂情况： $\int \sin^n x \cos^{2k+1} x \, dx$ 或 $\int \sin^{2k+1} x \cos^n x \, dx$

特点：被积函数中 $\sin x$ 或 $\cos x$ 至少有一个是奇数次幂。

方法： 提出一个奇次幂的因子，将其余偶数次幂用平方关系转换，然后凑微分。

对于 $\int \sin^n x \cos^{2k+1} x \, dx$ （ $\cos x$ 是奇次幂）
$\begin{aligned} \int \sin^n x \cos^{2k+1} x \, dx &= \int \sin^n x \cos^{2k} x \cdot \cos x \, dx \\ &= \int \sin^n x (\cos^2 x)^k \cdot \cos x \, dx \\ &= \int \sin^n x (1 - \sin^2 x)^k \cdot \cos x \, dx \\ &= \int \sin^n x (1 - \sin^2 x)^k \, d(\sin x) \quad (\text{因为 } d(\sin x) = \cos x \, dx) \end{aligned}$
令 $\sin x$ ，积分变为 $\int t^n (1 - t^2)^k \, dt$ 。这是一个关于 $t$ 的多项式积分，积分后将 $t$ 换回 $\sin x$ 。
对于 $\int \sin^{2k+1} x \cos^n x \, dx$ （ $\sin x$ 是奇次幂）
$\begin{aligned} \int \sin^{2k+1} x \cos^n x \, dx &= \int \sin^{2k} x \cos^n x \cdot \sin x \, dx \\ &= \int (\sin^2 x)^k \cos^n x \cdot \sin x \, dx \\ &= \int (1 - \cos^2 x)^k \cos^n x \cdot \sin x \, dx \\ &= - \int (1 - \cos^2 x)^k \cos^n x \, d(\cos x) \quad (\text{因为 } d(\cos x) = -\sin x \, dx) \end{aligned}$
令 $\cos x$ ，积分变为 $-\int (1 - t^2)^k t^n \, dt$ 。积分后将 $t$ 换回 $\cos x$ 。

例 1： 计算 $\int \sin^4 x \cos^3 x \, dx$

解： ( $\cos x$ 是奇次幂)
$\begin{aligned} \int \sin^4 x \cos^3 x \, dx &= \int \sin^4 x \cos^2 x \cdot \cos x \, dx \\ &= \int \sin^4 x (1 - \sin^2 x) \cos x \, dx \\ &= \int \sin^4 x (1 - \sin^2 x) \, d(\sin x) \\ &\xrightarrow{\text{令 } t = \sin x} \int t^4 (1 - t^2) \, dt \\ &= \int (t^4 - t^6) \, dt \\ &= \frac{1}{5}t^5 - \frac{1}{7}t^7 + C \\ &= \frac{1}{5}\sin^5 x - \frac{1}{7}\sin^7 x + C \end{aligned}$

例 2： 计算 $\int \sin^5 x \cos^6 x \, dx$

解： ( $\sin x$ 是奇次幂)
$\begin{aligned} \int \sin^5 x \cos^6 x \, dx &= \int \sin^4 x \cos^6 x \cdot \sin x \, dx \\ &= \int (\sin^2 x)^2 \cos^6 x \cdot \sin x \, dx \\ &= \int (1 - \cos^2 x)^2 \cos^6 x \cdot \sin x \, dx \\ &= - \int (1 - \cos^2 x)^2 \cos^6 x \, d(\cos x) \\ &\xrightarrow{\text{令 } t = \cos x} - \int (1 - t^2)^2 t^6 \, dt \\ &= - \int (1 - 2t^2 + t^4) t^6 \, dt \\ &= - \int (t^6 - 2t^8 + t^{10}) \, dt \\ &= - \left( \frac{t^7}{7} - \frac{2t^9}{9} + \frac{t^{11}}{11} \right) + C \\ &= -\frac{1}{7}t^7 + \frac{2}{9}t^9 - \frac{1}{11}t^{11} + C \\ &= -\frac{1}{7}\cos^7 x + \frac{2}{9}\cos^9 x - \frac{1}{11}\cos^{11} x + C \end{aligned}$

（二）处理偶次幂情况： $\int \sin^{2n} x \cos^{2k} x \, dx$

特点：被积函数中 $\sin x$ 和 $\cos x$ 都是偶数次幂。

方法： 利用降幂公式（或称半角公式）将幂次降低，转化为关于倍角（如 $\dots$ ）的三角函数积分。

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$
$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$
$\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$ （有时也用）

例 3： 计算 $\int \sin^2 x \cos^2 x \, dx$

解：
方法一：使用 $\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$
$\begin{aligned} \int \sin^2 x \cos^2 x \, dx &= \int (\sin x \cos x)^2 \, dx \\ &= \int \left(\frac{1}{2} \sin 2x\right)^2 \, dx \\ &= \frac{1}{4} \int \sin^2 (2x) \, dx \\ &= \frac{1}{4} \int \frac{1 - \cos(4x)}{2} \, dx \quad (\text{降幂公式，注意角度变为 } 4x) \\ &= \frac{1}{8} \int (1 - \cos 4x) \, dx \\ &= \frac{1}{8} \left( \int 1 \, dx - \int \cos 4x \, dx \right) \\ &= \frac{1}{8} \left( x - \frac{1}{4} \int \cos 4x \, d(4x) \right) \\ &= \frac{1}{8} \left( x - \frac{1}{4} \sin 4x \right) + C \\ &= \frac{x}{8} - \frac{\sin 4x}{32} + C \end{aligned}$
方法二：直接用降幂公式（如原笔记）
$\begin{aligned} \int \sin^2 x \cos^2 x \, dx &= \int \left(\frac{1 - \cos 2x}{2}\right) \left(\frac{1 + \cos 2x}{2}\right) \, dx \\ &= \frac{1}{4} \int (1 - \cos^2 (2x)) \, dx \\ &= \frac{1}{4} \int \sin^2 (2x) \, dx \\ &= \frac{1}{4} \int \frac{1 - \cos(4x)}{2} \, dx \\ &= \frac{1}{8} \int (1 - \cos 4x) \, dx \\ &= \frac{1}{8} (x - \frac{1}{4}\sin 4x) + C \\ &= \frac{x}{8} - \frac{\sin 4x}{32} + C \end{aligned}$

（三）处理正切、正割特定次幂情况： $\int \sec^n x \tan^{2k+1} x \, dx$ 或 $\int \sec^{2k} x \tan^n x \, dx$

特点： $\tan x$ 是奇次幂 或 $\sec x$ 是偶数次幂。

方法： 利用 $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ 以及 $\sec x$ 和 $\tan x$ 的微分关系 $d(\sec x) = \sec x \tan x \, dx$ 和 $d(\tan x) = \sec^2 x \, dx$ 。

对于 $\int \sec^n x \tan^{2k+1} x \, dx$ ( $\tan x$ 是奇次幂)
提出一个 $\sec x \tan x$ 因子凑 $d(\sec x)$ ，将其余 $tan^2 x$ 换成 $sec^2 x - 1$ 。
$\begin{aligned} \int \sec^n x \tan^{2k+1} x \, dx &= \int \sec^{n-1} x \tan^{2k} x \cdot (\sec x \tan x) \, dx \\ &= \int \sec^{n-1} x (\tan^2 x)^k \cdot (\sec x \tan x) \, dx \\ &= \int \sec^{n-1} x (\sec^2 x - 1)^k \, d(\sec x) \quad (\text{因为 } d(\sec x) = \sec x \tan x \, dx) \end{aligned}$
令 $\sec x$ ，积分变为 $\int t^{n-1} (t^2 - 1)^k \, dt$ 。
对于 $\int \sec^{2k} x \tan^n x \, dx$ ( $\sec x$ 是偶数次幂, $\ge 1$ )
提出一个 $sec^2 x$ 因子凑 $d(\tan x)$ ，将其余 $sec^2 x$ 换成 $1 + \tan^2 x$ 。
$\begin{aligned} \int \sec^{2k} x \tan^n x \, dx &= \int \sec^{2k-2} x \tan^n x \cdot \sec^2 x \, dx \\ &= \int (\sec^2 x)^{k-1} \tan^n x \cdot \sec^2 x \, dx \\ &= \int (1 + \tan^2 x)^{k-1} \tan^n x \, d(\tan x) \quad (\text{因为 } d(\tan x) = \sec^2 x \, dx) \end{aligned}$
令 $\tan x$ ，积分变为 $\int (1 + t^2)^{k-1} t^n \, dt$ 。

例 4： 计算 $\int \tan^3 x \sec x \, dx$

解： ( $\tan x$ 是奇次幂)
$\begin{aligned} \int \tan^3 x \sec x \, dx &= \int \tan^2 x \cdot (\sec x \tan x) \, dx \\ &= \int (\sec^2 x - 1) \, d(\sec x) \\ &\xrightarrow{\text{令 } t = \sec x} \int (t^2 - 1) \, dt \\ &= \frac{1}{3}t^3 - t + C \\ &= \frac{1}{3}\sec^3 x - \sec x + C \end{aligned}$

例 5： 计算 $\int \sec^6 x \, dx$

解： ( $\sec x$ 是偶数次幂, $tan^n x$ 中 $n = 0$ )
$\begin{aligned} \int \sec^6 x \, dx &= \int \sec^4 x \cdot \sec^2 x \, dx \\ &= \int (\sec^2 x)^2 \cdot \sec^2 x \, dx \\ &= \int (1 + \tan^2 x)^2 \, d(\tan x) \\ &\xrightarrow{\text{令 } t = \tan x} \int (1 + t^2)^2 \, dt \\ &= \int (1 + 2t^2 + t^4) \, dt \\ &= t + \frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{5}t^5 + C \\ &= \tan x + \frac{2}{3}\tan^3 x + \frac{1}{5}\tan^5 x + C \end{aligned}$

（四）处理不同频率乘积： $\int \sin(Ax) \cos(Bx) \, dx$ , $\int \sin(Ax) \sin(Bx) \, dx$ , $\int \cos(Ax) \cos(Bx) \, dx$

方法： 利用积化和差公式将乘积转化为和差，然后分别积分。

$\cos(Ax) \cos(Bx) = \frac{1}{2}[\cos((A - B)x) + \cos((A + B)x)]$
$\sin(Ax) \sin(Bx) = \frac{1}{2}[\cos((A - B)x) - \cos((A + B)x)]$
$\sin(Ax) \cos(Bx) = \frac{1}{2}[\sin((A + B)x) + \sin((A - B)x)]$
$\cos(Ax) \sin(Bx) = \frac{1}{2}[\sin((A + B)x) - \sin((A - B)x)]$

例 6： 计算 $\int \cos(3x) \cos(2x) \, dx$

解： ( $A = 3, B = 2$ )
$\begin{aligned} \int \cos(3x) \cos(2x) \, dx &= \int \frac{1}{2}[\cos((3 - 2)x) + \cos((3 + 2)x)] \, dx \\ &= \frac{1}{2} \int (\cos x + \cos 5x) \, dx \\ &= \frac{1}{2} \left( \int \cos x \, dx + \int \cos 5x \, dx \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( \sin x + \frac{1}{5} \int \cos 5x \, d(5x) \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( \sin x + \frac{1}{5} \sin 5x \right) + C \\ &= \frac{1}{2}\sin x + \frac{1}{10}\sin 5x + C \end{aligned}$

（五）一般情况：万能代换

对于任何三角函数有理式 $R(\sin x, \cos x)$ 的不定积分 $\int R(\sin x, \cos x) \, dx$ ，都可以通过万能代换（Universal Trigonometric Substitution） 转化为有理函数 $r (t)$ 的积分 $\int r(t) \, dt$ 。

代换关系：
令 $\tan\left(\frac{x}{2}\right)$ 。则：

$\arctan t$
$\frac{2}{1 + t^2} \, dt$
$\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}$
$\cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$
$\tan x = \frac{2t}{1 - t^2}$

将 $\sin x$ , $\cos x$ , $d x$ 全部用 $t$ 的表达式代入原积分，即可得到关于 $t$ 的有理函数积分。然后使用上一讲的有理函数积分方法（部分分式分解）计算，最后将 $t$ 替换回 $\tan(x/2)$ 。

优点： 理论上可以解决所有三角函数有理式的积分。
缺点： 计算量通常较大，得到的关于 $t$ 的有理函数可能很复杂。优先考虑前面几种特殊方法，只有在它们不适用时才考虑万能代换。

例 7： 计算 $\int \frac{1}{1 + \cos x} \, dx$

解：（方法一：万能代换）
令 $\tan(x/2)$ 。
$\begin{aligned} \int \frac{1}{1 + \cos x} \, dx &= \int \frac{1}{1 + \frac{1 - t^2}{1 + t^2}} \cdot \left(\frac{2}{1 + t^2} \, dt\right) \\ &= \int \frac{1}{\frac{(1 + t^2) + (1 - t^2)}{1 + t^2}} \cdot \frac{2}{1 + t^2} \, dt \\ &= \int \frac{1}{\frac{2}{1 + t^2}} \cdot \frac{2}{1 + t^2} \, dt \\ &= \int \frac{1 + t^2}{2} \cdot \frac{2}{1 + t^2} \, dt \\ &= \int 1 \, dt \\ &= t + C \\ &= \tan\left(\frac{x}{2}\right) + C \end{aligned}$

解：（方法二：利用半角公式，更简单）
$\begin{aligned} \int \frac{1}{1 + \cos x} \, dx &= \int \frac{1}{2 \cos^2\left(\frac{x}{2}\right)} \, dx \quad (\text{因为 } 1 + \cos x = 2 \cos^2(x/2)) \\ &= \frac{1}{2} \int \sec^2\left(\frac{x}{2}\right) \, dx \\ &= \int \sec^2\left(\frac{x}{2}\right) \, d\left(\frac{x}{2}\right) \quad (\text{因为 } d(x/2) = \frac{1}{2} dx) \\ &= \tan\left(\frac{x}{2}\right) + C \end{aligned}$
(注： 这个例子说明，即使万能代换可行，也应优先寻找更简洁的方法。**)

例 8： 计算 $\int \frac{1 + \sin x}{\sin x (1 + \cos x)} \, dx$

解： (这种复杂形式通常需要万能代换)
令 $\tan(x/2)$ 。代入 $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$ , $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ , $\frac{2}{1+t^2} dt$ 。
$\begin{aligned} \text{分子部分: } & 1 + \sin x = 1 + \frac{2t}{1+t^2} = \frac{1+t^2+2t}{1+t^2} = \frac{(1+t)^2}{1+t^2} \\ \text{分母的第一个因子: } & \sin x = \frac{2t}{1+t^2} \\ \text{分母的第二个因子: } & 1 + \cos x = 1 + \frac{1-t^2}{1+t^2} = \frac{1+t^2+1-t^2}{1+t^2} = \frac{2}{1+t^2} \\ \text{没有dx的被积函数: } & \frac{\frac{(1+t)^2}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2} \cdot \frac{2}{1+t^2}} = \frac{(1+t)^2}{1+t^2} \cdot \frac{(1+t^2)^2}{4t} = \frac{(1+t)^2 (1+t^2)}{4t} \end{aligned}$

现在进行积分：
$\begin{aligned} \int \frac{1 + \sin x}{\sin x (1 + \cos x)} \, dx &= \int \left( \frac{(1+t)^2 (1+t^2)}{4t} \right) \cdot \left( \frac{2}{1+t^2} \, dt \right) \\ &= \int \frac{(1+t)^2 \cdot 2}{4t} \, dt \\ &= \frac{1}{2} \int \frac{(1+t)^2}{t} \, dt \\ &= \frac{1}{2} \int \frac{1 + 2t + t^2}{t} \, dt \\ &= \frac{1}{2} \int \left( \frac{1}{t} + 2 + t \right) \, dt \\ &= \frac{1}{2} \left( \ln|t| + 2t + \frac{t^2}{2} \right) + C \\ &= \frac{1}{2}\ln|t| + t + \frac{1}{4}t^2 + C \\ &= \frac{1}{2}\ln\left|\tan\frac{x}{2}\right| + \tan\frac{x}{2} + \frac{1}{4}\tan^2\frac{x}{2} + C \end{aligned}$

&4.4有理函数的不定积分2

一、三角函数有理式的不定积分

二、三角函数有理式的不定积分计算方法

（一）处理奇次幂情况： ∫ sin ⁡ n x cos ⁡ 2 k + 1 x d x \int \sin^n x \cos^{2k+1} x \, dx ∫sinnxcos2k+1xdx 或 ∫ sin ⁡ 2 k + 1 x cos ⁡ n x d x \int \sin^{2k+1} x \cos^n x \, dx ∫sin2k+1xcosnxdx

（二）处理偶次幂情况： ∫ sin ⁡ 2 n x cos ⁡ 2 k x d x \int \sin^{2n} x \cos^{2k} x \, dx ∫sin2nxcos2kxdx

（三）处理正切、正割特定次幂情况： ∫ sec ⁡ n x tan ⁡ 2 k + 1 x d x \int \sec^n x \tan^{2k+1} x \, dx ∫secnxtan2k+1xdx 或 ∫ sec ⁡ 2 k x tan ⁡ n x d x \int \sec^{2k} x \tan^n x \, dx ∫sec2kxtannxdx

（五）一般情况：万能代换

相关文章：

（一）处理奇次幂情况： $\int \sin^n x \cos^{2k+1} x \, dx$ 或 $\int \sin^{2k+1} x \cos^n x \, dx$

（二）处理偶次幂情况： $\int \sin^{2n} x \cos^{2k} x \, dx$

（三）处理正切、正割特定次幂情况： $\int \sec^n x \tan^{2k+1} x \, dx$ 或 $\int \sec^{2k} x \tan^n x \, dx$